气垫导轨上橡皮筋滑块系统自由振动研究

橡胶具有高弹性、绝缘性、不透水和不透空气等优良性质，使得它成为日常生活和生产中广泛使用的材料。橡胶材料具有两方面的特点，其一，无论是天然橡胶还是合成橡胶采用诸如硫化、参杂和塑化等不同的工艺加工之后，其性质差异巨大；其二，橡胶材料会出现老化，其优良性质会随时间推移逐渐散失，而老化的快慢程度与橡胶材料所处的外部环境如温度、氧气和臭氧氛围、水分及油分等密切相关。这些特点使得橡胶材料性质随工艺或环境状况改变的情况一直是研究的热点[1-3]，而力学性质的研究一般局限于拉伸实验相关参数和压缩永久形变测量。现有的橡胶力学性质测量的国家标准也多是针对静态拉伸和压缩的，有关橡胶材料动态力学性质的测量和研究较少[4]。在所见到的涉及橡胶动态力学性质测量的文章中[5]，采用了静态弹性模量和动态弹性模量不同的方式进行处理，但在采用的微分方程中出现了应该由系统性质确定的圆频率这样的可测量，使得物理意义不明确。因此，探索橡胶材料运动时的普遍性质，确定描述其动态力学性质的参数，具有积极意义。

气垫导轨装置中气泵产生的压缩空气，可使导轨和滑块之间形成气垫层，实验过程中可以忽略摩擦力的影响，使实验更加突出主要因素的作用,因此在气垫导轨上研究物体的运动成为现代大学物理力学实验最常见的方式[6]，比如牛顿第二定律的验证、碰撞实验以及简谐振动研究等经典力学实验均可在导轨上进行研究。在导轨上进行振动研究，常采用两根分别固定在导轨两端的金属弹簧拉住滑块的方式进行。橡皮筋虽然也具有弹性，但由于其力学性质的复杂性，在大学物理力学实验中没有用橡皮筋替代金属弹簧的情况。

本文将采用市售橡皮筋代替弹簧组成橡皮筋滑块系统进行实验，观察振动情况，测量振动特征参量，并设法进行理论分析，得出有用的信息。

1 气垫导轨上橡皮筋滑块系统的自由振动

将通过拉伸实验检验的具有相同静态弹性系数的两根橡皮筋的一端与滑块相连，另一端分别固定在气垫导轨的两端，滑块处于调平后的气垫导轨上，可左右移动。在滑块左右移动的范围内保证两根橡皮筋均处于拉伸状态。将滑块静止时，其上的I型挡光片的一端对应位置选为原点，并且将光电门置于原点处，光电门与计时器连接，可测多个振动周期的时间。实验发现，橡皮筋滑块系统振幅衰减较快，难以准确辨别滑块振动的位置，故采用手机进行滑块运动全过程的视频录制。由于导轨侧面附着直尺，滑块移动的位置可以由视频逐帧回放准确确定。滑块与橡皮筋质量用电子天平称量。

1.1 滑块运动观察

将滑块沿水平方向拉离平衡位置，使滑块运动过程中两根橡皮筋均处于拉伸状态，观察滑块振动情况。

滑块被释放后，围绕平衡位置左右往复运动，但每次振动振幅都发生较大衰减，一般振动十几次(与滑块初位置有关)就静止在平衡位置。更换不同的橡皮筋进行实验，发现橡皮筋的橡胶类型及橡皮筋的粗细程度都会影响滑块的运动情况，最明显的是振幅衰减的快慢程度会发生变化。

但无论橡皮筋怎样更换，气垫导轨上的橡皮筋滑块系统，当滑块被拉离平衡位置后，将作振幅衰减的振动。

由于滑块与导轨间存在气垫，它们之间的摩擦力可忽略，因而使滑块振幅衰减的阻力只能来源于橡皮筋自身，我们将其称为“内禀”阻尼振动。

1.2 实验研究

利用计时计数仪，测量滑块振动10个周期所需时间，算出每个周期的时间；通过慢放观看录制的视频，读出经历1个周期后滑块的振幅值，算出振动的对数减缩。

2 理论分析

若将橡皮筋滑块系统(如图1)看成受黏性阻尼作用的谐振子，设系统质量为μ,两根橡皮筋的弹性系数相同，设为k，源于橡皮筋自身性质的黏性阻尼系数为c,由牛顿第二定律可得

图1 橡皮筋滑块系统

Fig.1 Rubber band slider system

(1)

化为常见形式

(2)

式中：

当0<ξ<1时，系统做衰减振荡，运动方程为[7]

x=Ae-ξω0tsin(ωd+θ)

(3)

式中：频率小于系统的固有频率，或者说周期大于系统的固有周期。

由表1的数据可知，橡皮筋滑块系统的折合质量μ=M+2m0/3=215.26 g=0.215 26 kg,而由橡皮筋拉伸实验测得的两根橡皮筋的弹性系数k=4.232 Nm-1,从而算得T0=1.002 02 s;由表2中的对数减缩和周期值，利用Λ=ξω0T，可得ξ=0.044 4。若按黏性阻尼考虑，Td≈1.002T0，将使振动周期比T0略大。但实验测出的该橡皮筋振动系统的周期T=0.940 69 s,比T0还小6.1%。

表1 橡皮筋振动系统参数

Tab.1 Parameters of rubber band vibration system

表2 滑块振动测量数据

Tab.2 Measurement data of sliding block vibration

从上面的分析可见，对由双橡皮筋和滑块构成的橡皮筋滑块系统按谐振子受黏性阻尼振动模型处理是失效的，或者说不能将橡皮筋滑块系统的自由振动视为谐振子的粘性阻尼振动。

3 含分数阶导数的振子模型

3.1 模型建立

橡胶材料是既有高弹性也存在黏弹性的高分子材料，而对材料黏弹性描述的最新模型是分数阶导数模型[8，9]。若设橡皮筋的黏弹性力与伸长量随时间的分数阶导数成正比，分数阶导数采用Caputo定义[10]，其阶次0<α≤1，我们将其称为黏弹度，记为α，是一个无量纲的纯实数；将分数阶导数项的系数称为黏弹系数，记为kv，单位为Nsαm-1。黏弹度和黏弹系数由构成橡皮筋的橡胶材料性质及几何尺寸决定。由牛顿第二定律，可将滑块运动微分方程写为

(4)

改写成常见形式

(5)

式中：振动系统的初始条件记为

3.2 数值模拟

当δ≠0，0<α<1时，式(5)表示的分数阶常微分方程的精确解难以求出，至今未见报道。为考察该方程代表的系统的运动特性，我们拟采用数值方法得出具体参数下系统的数值解。利用分数阶导数运算的可加性，对方程式(1)进行降阶处理。令

(6)

则其中β=2-α，

(7)

采用预估校正方法[11]对式(7)进行迭代，

(8)

(9)

(10)

相应的预估值为

yp(k+1)=

(11)

(12)

(13)

上面各式中的h为步长值。采用Matlab编程按式(8)～式(13)对方程(5)进行数值计算，步长h取0.01，初始值对不同α、δ和ω0的系统进行数值模拟，并且将计算结果图示出来，观察位移随时间的变化关系。

图2是ω0=πs-1，δ=0.5 sα-2，α分别取0.2、0.5、0.8和1.0时位移随时间的变化情况，从图中可以看出，随分数导数阶次α的增大，系统的振幅衰减加快，表明分数导数的阶次越大，系统所受阻尼越大。

   

图2 不同分数阶系统的位移时间图

Fig.2 Displacement and time diagrams of the systems with different fractional order

图3是ω0=πs-1，α=0.5，δ分别取0.1 s-1.5和0.5 s-1.5时位移随时间的变化情况，从图中可看出分数导数项的系数不仅影响振幅衰减的快慢程度，同时也影响了振动的周期。随分数导数项系数的增加，系统振幅衰减加快，同时振动周期减小。

图3 不同分数导数项系数系统的位移时间图

Fig.3 Displacement and time diagrams of the systems with different coefficients of fractionalderivative term

总结数值模拟情况，可以看出：含分数阶导数振子自由振动时，表现为阻尼振动，分数阶导数的阶次(黏弹度)及分数阶导数项的系数(黏弹系数)将同时影响系统振动的周期及振幅衰减的快慢程度。这表明，模型至少在定性上与橡皮筋滑块系统的运动是一致的。

3.3 近似解析解

为探究分数导数项的阶次及系数如何影响系统的运动特性，我们采用弱非线性系统振动分析中行之有效的平均法，求解方程式(5)的近似解析解。当方程中的δ很小时，可设式(5)的解具有简谐振动的形式即

x(t)=A(t)cos ψ

(14)

(15)

且位移对时间的α阶分数导数为[12]

(16)

式中，ψ=ω0t+φ(t)。

将式(14)对时间求导，并与式(15)比较可得

(17)

将式(15)对时间求导数得

(18)

将式(14)～式(16)和(18)代入方程式(5)得

(19)

由式(17)×cos ψ+式(19)×sin ψ得

(20)

由式(17)×sin ψ-式(19)×cos ψ得

(21)

令

按平均法的思想，将式(20)、(21)右端由其在ψ的一个周期(2π)内的平均值代替，得

(22)

(23)

由式(22)和(23)积分，考虑到初始条件可得

(24)

(25)

将式(24)、(25)代入式(14)得方程式(5)的近似解析解为

(26)

3.4 模型理论与实验数据对照

由式(26)可以看出，含分数阶导数项的振子模型的振动圆频率为

(27)

则模型振动周期Tm<T0，这与实验结果一致。

由于分数阶导数项的存在，阶数α和系数δ均不为零，由式(26)可以看出，含分数阶导数项的振子振动的振幅将指数型衰减，这与实验观察到橡皮筋滑块系统做振幅衰减的振动情况一致。

由式(27)可得

(28)

利用对数减缩的定义，由式(26)可得

(29)

由式(28)、(29)可得

(30)

利用T0的表达式得

(31)

由kv=μδ及式(29)可得

(32)

利用表2中实验测得的周期和对数减缩值，代入式(31)可得到本次实验所用橡皮筋的黏弹度α=0.381，黏弹系数kv=0.332 Nm0.381m-1。

将得到橡皮筋的黏弹度、黏弹系数、弹性系数及系统的质量代入式(4)，取初始条件数值求解得出橡皮筋滑块系统振动曲线。实验测出该初始条件下系统在3个周期的时间内，每隔半周期时刻的位移值，并将它们与振动曲线显示在一个图形中，如图4所示。从图中可看出，实测数据点基本落在数值仿真振动曲线的相应位置上，说明采用分数阶导数模型描述橡皮筋系统的自由振动是有效的。

图4 橡皮筋滑块系统数值仿真与实测位移值的比较

Fig.4 Comparison between numerical simulation and measured displacement of rubber band slider system

4 结 论

本文在气垫导轨上进行了橡皮筋滑块系统的自由振动实验，观察到系统作振幅衰减的振动，测量了振动周期和对数减缩。理论分析发现将橡皮筋滑块系统视为谐振子阻尼振动处理是失效的；数值模拟和近似解析解分析证明，本文提出的含分数阶导数振子自由振动模型可以解释橡皮筋滑块系统的自由振动实验，橡皮筋的力学性质可以由弹性系数、黏弹度和黏弹系数三个表征材料自身性质的物理量确定。

综上所述，本文所做工作，为橡胶类材料力学性质的研究提供了一种新的思路。当然，用弹性系数(模量)、黏弹度和黏弹系数三个量表征同时具有高弹性和黏弹性材料力学性质的有效性还需在今后的工作中进行更广泛的研究。