基于小波变换的光电传感器信号去噪技术

光电传感器是现代工业以及光电研究开发中一个重要的器件。在实际应用中，光电传感器易受到环境因素的干扰，导致采集的信号会不同程度存在噪声，进而对生产研究造成了干扰。目前，对于光电传感器的信号去噪问题讨论较少[1]。对于光电传感器信号去噪所处的现状及所存在的问题，本文讨论和研究了基于小波变换的光电传感器去噪技术。

小波变换是在傅里叶变换的基础上所建立的一种信号处理算法。从本质上，该变换是利用特别选择的小波基函数来表示所要研究的信号[2-4]。在信号去噪中，通常使用离散小波变换对含噪信号进行处理，本文利用离散小波变换中的小波阈值去噪技术对接收到的光电传感器信号进行去噪处理。通过对比Sym小波系和Db小波系的信号处理结果所对应的信噪比，采用了信噪比较大的Sym5和Db6小波基函数。利用选择的两组小波基函数对含噪信号进行处理，得到的处理结果与参考信号相差较小，实现了对接收信号的去噪处理。

1 小波变换

小波变换（Wavelet Transform，WT）是信号处理中普遍使用的一种分析方法，其在一定程度上继承了加窗傅里叶变换的局部化思想，并对其进行了改进和发展。具体表现在，小波变换没有采用窗的思想，也没有做傅里叶变换。小波是将傅里叶变换的无限长的三角函数基，变成了有限长且会衰减的小波基[5-7]。这样变换的优势在于，不仅能获取到频率且能够准确地定位到时间。

小波变换本质上与傅里叶变换类似，均通过特别选择的基来表示信号方程。同时，每个小波变换均包含有一个母小波（Mother Wavelet）和一个父小波或者尺度函数（Scaling function）。任何小波变换的基函数均是对上述所提到的母小波与父小波缩放和平移的集合，且缩放倍数是2的级数，而平移的大小与当前小波的缩放程度是紧密相关的。小波变换由于基函数选择的母小波和父小波的不同而产生了不同的小波基，但是其近似形式如式（1）所示。

其中，ψj,k(t)称之为小波级数，aj,k则为小波展开系数。

小波变换利用一个有限长且具有快速衰减和振荡的小波基，在一定的条件下，任何一能量信号可按照小波基在时——频域上进行分解，得到具有可变的时间——频率窗，以此满足不同分辨率的要求。小波变换所得到的时频域相平面，如图1所示。

图1 小波变换时频相平面

由图1可知，在小波变换中窗函数在时频相平面中随着中心频率的改变而不同。在频率较高处，时窗变得较窄；而在频率较低处，频窗则相应变窄。此特性实现了使用小波变换对信号进行时频的讨论和分析。

通常小波变换可以划分为：连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。下面将对这两类变换进行简单的介绍[8]。

1.1 连续小波变换

对于Hilbert空间中的一平方可积函数Ψ(t)∈L2(R)，其在频域对应的傅里叶变换为 ，若满足完全重构条件（容许条件）：

则将Ψ(t)称之为母小波函数或者基本小波。将该母小波函数进行伸缩变换和平移便可得到连续小波变换的小波序列为：

式中，除了Ψ(t)为母小波函数外，a指伸缩系数（尺度变换因子），b是小波平移量的大小（称为平移因子），通常取连续变化的值。同时，a,b∈R且a不等于0，系数的功能是保证在不同a值的情况下小波Ψa,b(t)的能量保持相等[9]。

对于任意一个连续信号 f(t)∈L2(R)，根据小波序列公式（3）可得其连续小波变换如式（4）所示：

式中，Ψ*(t)为母小波Ψ(t)函数的复共轭函数。

信号（ft）所对应的小波变换的逆变换（重构公式）如下式：

1.2 离散小波变换

为方便计算机的处理，在信号处理中通常需要将连续小波变换离散化，包括信号（ft）、伸缩系数a以及平移因子b的离散化[10]。信号（ft）对应的离散化小波变换的定义为：

其所对应的逆变换为：

在离散化的小波变换时，常采用的是二进制的离散网络，即a0=2，b0=1。这样使得小波函数离散化的尺度为2j，由此所得到的二进制小波变换的定义为：

2 小波去噪

小波去噪是一种建立在离散小波变换基础上的信号处理算法，其去噪框架图如图2所示。总体的去噪思路是[11-13]：利用接收到的信号中有用信号与噪声在不同频率范围内的对应的映射系数具有不同强度分布的性质，将对应各频域上与噪声相关的映射系数置0。同时，有用信号的系数保持不变。最后，通过小波重构的方法得到接收信号中的有用信号。

目前，小波去噪的方法主要包括4种：经典滤波去噪（频域低通滤波）、基于小波变换的模极大值去噪、小波阈值去噪以及小波包去噪等。下面将对这几种常用的去噪方法进行简单的讨论，并在其中选择更符合光电传感器去噪的技术和方法。

图2 小波去噪框架

2.1 经典滤波去噪

经典滤波的方法适用于，接受信号中的有用信号的频率与噪声频率存在一定的差别。例如，有用信号的频率低于噪声频率。该种去噪方法通常均是使用低通滤波器滤波，如理想的低通滤波器、梯形低通滤波器以及指数型低通滤波器等[14]。其中，理想和梯形滤波器的示意图如图3所示。

图3 理想低通滤波器与梯形低通滤波器示意图

图3左为理想低通滤波器，右为梯形低通滤波器。纵轴H表示的是该滤波器的传递调制函数，横轴f为滤波器的工作频率，f0则为滤波器的截止频率。

2.2 模极大值去噪

小波变换的模极大值去噪方法的基本原理是利用接收信号中纯净信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，删除由于噪声所形成的模极大值点。同时，对信号对应的模极大值点不做任何处理。最后，通过对剩下的模极大值点重构小波系数，实现对接收信号的去噪处理。

2.3 小波包去噪

小波包变换是在小波变换的基础上所建立的一种信号处理算法，与小波变换相比具有正交的基函数。而区别在于，小波包变换支持信号的多层分解，且分解程度更加精细，对信号的分析也相对细致[15]。在应用方面，在随机性强不稳定的信号去噪表现中发挥更为出色，同时也提高了信号的时频分辨率。小波包的多层分解示意图，如图4所示。A和D分别代表低频与高频，而末尾的数字则代表的是所处的分解层次。

图4 小波包三层分解

3 光电传感器信号去噪

文中对于光电传感器的信号去噪，采用了目前发展相对完善以及优势明显的小波阈值去噪方法。此部分主要讨论该技术的基本原理及在光电传感器去噪中的应用。

在对所接受到的光电传感器信号处理中，假设包含噪声的信号为S（t），有用信号为A（t），噪声为E（t），则基本的信号数学模型可表示为：

其中，μ指的是噪声的强度。对信号的去噪处理目的在尽可能地抑制噪声，同时恢复有用信号。

3.1 小波阈值去噪

接收信号中的噪声是随机的，同时噪声的能量相比整个信号而言是较小的。小波阈值去噪的基本思想是[16-18]，根据接收到的信号，找到一个适当的值作为噪声和有用信号之间的阈值。然后通过与小波分解出的系数相比较，大于该阈值的系数所对应的部分就是有用信号，同时保留该小波系数。而对于小于该阈值的系数则为噪声，在处理时将该系数置0。最后对于留下的小波系数做小波逆变换处理，重构出所去噪后的光电传感器信号。图5所示为小波的3层分解示意图。其中，S为接收到的原始信号；A1、A2、A3为分解所得到的低频系数，D1、D2、D3则为高频系数。

图5 三层小波分解

3.2 去噪流程分析

利用小波阈值去噪技术对光电传感器信号的处理过程主要包括3个方面：1）通过选择合适的小波基函数，实现对传感器信号进行小波分解得到对应的小波系数；2）对小波分解中的高频系数进行阈值量化；3）利用小波低频系数和阈值量化的高频系数进行小波的重构，得到光电传感器的纯净信号。

对于小波基函数的选择，常使用Daubechies（Db）小波系和Symlets（Sym）小波系。信号最终的去噪效果，由于小波基函数选择的差异而有所不同。通常选择小波系中对称性和正则性好的小波基函数对信号进行处理，从而能够获得相对较好的去噪信号。

3.3 去噪结果

利用上述提到的Sym小波系和Db小波系对光电传感器信号进行去噪处理，通过对比处理后信号的信噪比与最小均方差来确定最优的小波分解层数及小波基函数。通过选择合适的阈值函数，含噪信号经过小波阈值去噪后的信噪比值，如表1所示。

表1 各小波去噪信噪比

通过对比各小波系去噪后的信噪比值，选择信噪比取最大值时所对应的小波基函数，分别为Sym5和Db6进行去噪试验。

对于选择的两组小波基函数，通过分析小波不同分解层数下含噪信号处理效果可发现，对于Sym5小波基函数其最佳的分解层数为5层；同时，Db6小波基函数的最佳分解层数则在第7层。这两种小波基函数在各自最优的分解层数下对光电传感器含噪信号的处理效果图，如图6所示。

在效果图6中，（a）为含噪信号；（b）为参考纯净信号；（c）为利用Sym5小波基函数对信号去噪后效果；（d）为采用Db6小波基函数对信号的去噪结果。两种去噪方法对于含噪信号的处理均具有良好的效果，可达到要求。为了较好地对比两种方法的效果，计算了信号去噪后的最小均方差值，分别为0.007 8和0.012 4。Sym5的最小均方差相对较小，说明去噪效果比Db6更好。

图6 小波去噪效果图

4 结束语

文中介绍了小波变换的两种形式，连续小波变换和离散小波变换。在离散小波变换的基础上，简单介绍了目前常用的几种去噪方法，包括经典滤波去噪、模极大值去噪以及小波包去噪等技术，并选择较为成熟的小波阈值去噪方法对接收到的光电传感器含噪信号进行了处理。其处理结果达到了预期效果，可以满足对光电传感器信号的去噪要求。