摘 要：由于内部激励和外部扰动的存在，罗茨真空泵在工作过程中会产生很大的振动问题。为了更好地对罗茨真空泵转子系统进行动力学分析，采用集中质量法，考虑电机、齿轮、罗茨转子等结构的基础上对系统进行动力学建模。采用牛顿欧拉法分别建立了转子系统的纯扭转模型以及偏心弯扭耦合模型的振动微分方程并考虑了重力的影响。研究发现由于齿轮啮合时变刚度的存在，转子系统存在稳定性问题。同时由于偏心的存在，转子的弯曲振动和扭转振动存在相互耦合。研究内容为之后对系统的稳定性分析以及弯扭耦合振动分析奠定了基础。
关键词：罗茨真空泵；转子系统；动力学建模；集中质量法；弯扭耦合振动
1 引言
罗茨真空泵由其高的抽速从而得到广泛的应用，但是随着科技的进步人们对它的要求也越来越高。同国外罗茨真空泵相比，国产优质真空泵在主要技术指标如抽速、极限压力、能耗方面已经接近国外泵的水平，说明我国的设计和制造水平有了很大的进步[1]。但是目前国产泵普遍存在振动噪声较大等问题，因此将真空泵的振动噪声控制在一个合理的范围之内是目前需要解决的一项重大问题。对于罗茨真空泵的振动问题许多学者专家对这方面进行了大量的研究。文献[2]对罗茨真空泵的振动噪声机理进行了研究，他采用多种信号测试和分析处理方法，分析罗茨真空泵振动噪声产生的机理，得出罗茨泵的转子存在制造和装配误差，以及转子不平衡将引起很大的振动问题等相关结论。文献[3]对罗茨泵的噪声机理进行了探讨，详细的阐释了噪声产生的原因和噪声控制的措施。文献[4-6]还对罗茨泵的转子型线进行了研究，以提高转子的平稳性，延长设备的使用寿命。但是以上的研究都没有从转子系统本身来研究真空泵的振动问题。因此采用集中质量法[7]，考虑电机、齿轮、罗茨转子等结构的基础上对系统进行动力学建模，分别建立了转子系统的纯扭转模型以及偏心弯扭耦合[8]模型的振动微分方程。为对罗茨转子系统的进一步分析打好基础，也为罗茨泵的设计提供一定的理论依据。
2 转子系统动力学模型
2.1 罗茨泵的工作原理
罗茨泵结构简图，如图1所示。工作所需要的动力由左端输入，两个罗茨转子相互垂直安装的在两个平行轴上。通过齿轮传动（i=1），两个罗茨转子将发生等速旋转。由于转子与泵壳内壁之间保持有一定的间隙，因此被抽气体被封闭在固定容器中。随着转子的不断旋转，被抽气体将被排出泵外，从而实现抽气的目的。
图1 罗茨真空泵结构简图
Fig.1 Schematic Diagram of Roots Vacuum Pump
2.2 齿轮啮合模型
由于罗茨转子系统存在齿轮啮合模型，因此需要首先分析齿轮的力学模型，如图2所示。
图2 齿轮啮合模型图
Fig.2 Meshing Model of Gear
根据齿轮的啮合机理，啮合线上的综合变形δi可写为：
因此，齿轮的啮合力、啮合力矩和反力矩分别为：
式中：rb1,rb2—主、从动齿轮的基圆半径；kv、cv—齿轮的啮合刚度和阻尼；
由于齿轮动力系统齿轮在啮合过程中的单齿啮合和双齿啮合的交替变化，因此啮合刚度kv具有明显的周期性。
2.3 纯扭转模型
对于罗茨转子系统的模型简化，这里采用集中质量法考虑电机、联轴器、齿轮以及罗茨转子的质量和转动惯量，并将轴的质量和转动惯量计算两边的联轴器。将系统简化为六质量系统模型，简化模型，如图3所示。
图3 纯扭转模型
Fig.3 Pure Torsional Model
取（φ1，φ2，φ3，φ4，φ5，φ6）为系统的广义坐标，用牛顿-欧拉方法建立系统的动力学方程为：
式中：T1—电机的驱动力矩；kt，ct—扭转刚度和扭转阻尼；φi—第 i个圆盘的旋转角度；Tf、T′f—转子的负载力矩；Ji—第i个轮盘的转动惯量。
将式（2）带入到式（3）中，发现转子系统的纯扭转模型由于时变刚度kv的存在，系统将存在稳定性问题。因此在后续研究过程中需要对系统进行稳定性分析，确定稳定性边界。以防止系统工作在非稳定性区域而造成异常的振动问题。
2.4 考虑偏心的弯扭耦合振动模型
由于转子系统的弯曲振动受到轴承刚度的影响，因此在分析带偏心的弯扭耦合振动时需要引进轴承刚度。kb3、kb4、kb5、kb6分别为轴承刚度，如图5所示。利用集中质量法建立系统的弯扭耦合振动模型并考虑偏心的影响。
图4 弯扭耦合振动模型
Fig.4 Coupled Flexural-Torision VibrationModel
由于圆盘的质量偏心，在圆盘旋转过程中将产生离心力，经推导圆盘1的离心力在x、y方向的分量W1x和W1y分别为：
由于扭转振动位移加速度引起的质心沿x、y的平移加速度，会使圆盘产生沿x、y方向的惯性力W1x，和W1y，分别为：
同时考虑扭转和弯曲的影响，系统为18个自由度系统。由此建立系统的振动微分方程：
式中：ei—第i个轮盘的偏心距；g—重力加速度；mi—第i个轮盘的集中质量。
由方程（6）可以发现，由于齿轮啮合力F和啮合力矩Me的存在，考虑偏心的弯扭耦合振动模型仍然存在稳定性的问题。而且由于偏心距e的存在，弯曲振动和扭转振动耦合在一起相互影响。如果令方程（6）中的e=0，那么方程（6）中的一部分将会变成方程（3），即为纯扭转模型。而剩余其他方程即为转子系统纯弯曲振动微分方程。由此可见偏心距e是弯曲振动和扭转振动相互耦合的前提。
3 结论
采用集中质量法，考虑电机、齿轮、罗茨转子等结构对系统进行动力学建模。采用牛顿欧拉法分别建立了转子系统的纯扭转模型以及偏心弯扭耦合模型的振动微分方程。通过分析方程的性质可得到如下结论：（1）由于齿轮时变刚度kv的存在，转子系统的纯扭转模型以及考虑偏心的弯扭耦合振动模型都存在稳定性的问题，这将有可能造成异常的振动问题。（2）转子系统弯扭耦合振动是通过偏心距e耦合在一起。如果令e=0那么弯曲振动和扭转振动将会独立存在，不会发生耦合现象。
