基于自易校准技术的柱面会聚波超声功率测量研究

1 引 言

在临床上，腔体组织内热消融超声治疗手段的关键部件是微型凹圆柱面聚焦换能器[1,2]。其一方面要实现聚焦消融的治疗功能，另一方面还可能要完成实时超声成像的监控任务。这样，它的辐射声功率的阈值和电声特性将关系到人体安全和健康，应是给予严格控制的参数。对于这类的新型换能器，目前尚缺乏统一规范的标准测量方法[3]。

在已有的测量声功率研究中， IEC推荐的首选方法是辐射力法，该方法也是液体中超声功率测量的一种基本方法[4]，其最大优点是不需要通过计算波束横截面内的声场积分即可直接获得总的声功率；而且整套设备简单易操作，便于校准和推广应用。但辐射力法适用于测量时间平均声功率，当其用于测量重复频率很低的猝发音超声功率信号时则表现出灵敏度不够，存在较大测量误差，需要采取防风、隔振、防热对流等措施，其在现有条件下已达到量程下限[5]。同时，当测量大功率时，需要采取清除气泡及其隔声流等措施，而且系统的稳定速度较慢[6]。

为此需要设计更为简单并极其精确的装置，将测量误差降到最低。以前有的研究利用平面波或球面波声场互易原理既可以校准水听器也可以测量声功率[7～10]，但对于凹圆柱面聚焦声场的互易原理及其在换能器校准中的应用尚不完善。本文主要系统研究了凹圆柱面聚焦换能器的电声特性，并对已有的平面波及球面会聚波声功率自易测量公式作出了重要修正，提高了测量精度,从而完整实现了基于自易原理的柱面会聚波声功率测量。

2 柱面会聚波自易测量原理

2.1 理想凹圆柱面聚焦换能器的电声互易原理和互易常数

电声互易原理是一种电路互易的声学类比[11]。在类比过程中，电声换能器被视为一个线性无源的四端口网络，该网络的一对端口是电学信号，另一对端口是声学信号，换能器必须是线性无源和可逆的。

假设一个理想的凹圆柱面聚焦换能器所形成的声场中无衍射效应，在电流I1的激励下向理想的无衰减媒质发射声波，表面法向振速为v；假定有一个位于此聚焦换能器焦线位置的线声源，发出柱面发散的理想柱面波在到达此换能器表面处，波阵面上的自由场法向振速为v(假想此时换能器移去)。

理论上在理想的自易校准中，使用猝发音脉冲信号电流激励换能器，在声焦平面上设置理想的平面反射器(反射系数rf=1)，其反射的回波声场即是假想的线声源柱面波的声场。在原来位置处的换能器若处于表面钳定(挟紧，振速为零)状态时所受的回波声场作用力为Fb，输出的开路电压为U。根据电声互易定理，式(1)关系成立：

(1)

由理想的无衰减和无衍射柱面波的对称性质和理想的刚性反射面的性质知：换能器表面参考声压为p0=ρcv；虚拟线声源距离曲率半径R处的柱面波阵面上自由场声压为p2=ρcv，在该处刚性钳定的曲率半径为R的凹圆柱面换能器表面声压为pt=2p2，故有Fb=2p2·A=2ρcv·A。其中，ρ,c分别为水的密度和声速；A为凹圆柱面的有效面积。把上述关系代入式(1)后，即:

(2)

式中:换能器的自由场发送电流响应为电压灵敏度为理想的凹圆柱面聚焦换能器的互易常数即:

(3)

(4)

(5)

上面各式中,U,I1,p0,p2和v仅代表各自的幅度,即|U|,|I1|,|p0|,|p2|和|v|。

2.2 实际自易校准中换能器的电声互易原理和互易常数

在实际的自易校准中，要考虑声传播中的衍射效应。为此引入一个物理量，即自由场柱面会聚波的衍射修正系数G1，专用于计量衍射效应的影响。其定义为：在无衰减媒质(α=0)的自由场中，以凹柱面聚焦换能器A的焦平面为假想的平面反射镜面(rf=1)，在其背后位于离换能器两倍焦距处的换能器的声虚像凹圆柱面A′上的平均声压p2，与换能器发射面上参考声压p0的比值，即图1示出凹柱面换能器辐射面A和它的虚像凹柱面A′的几何关系。 其中lf为柱面换能器的焦距，h为换能器的柱高，D为换能器的圆柱面孔径(即a=D/2为半孔径)，αb为换能器的半孔径角，其聚焦声场的形成是在y-z平面。

假设在声轴上离换能器发射面中心距离2lf的地方有一个以相同中心轴的假想凹圆柱面A′,即A为换能器的凹圆柱形辐射面，A′为圆柱轴为对称轴的镜像对称凹圆柱面，由于它们的声场特性是关于焦线对称的，故面积A与A′相等，即 A=2αb·lf·h。在x-y 平面上,换能器发出的柱面波在焦线之前呈会聚波，而在焦线之后逐渐发散。

图1 凹圆柱面聚焦换能器的辐射面A和以它的焦平面 yoz为对称中心平面的虚像A′之间的几何关系
Fig.1 Geometry of a cylindrically concave focusing transducer for the radiation surface A and its imaginary mirror symmetric surface A′ with the focal plane yoz

这样，当计及媒质水的衰减系数α、衍射效应和平面反射器的反射系数0<rf≤1时，则换能器移去时，原接收凹柱面A′上的的自由场声压降低为p2=p0·rf·G1·e-2α·lf,实际的换能器开路输出电压eoc也等比例地降低为eoc=U·rf·G1·e-2α·lf。定义则此时自由场柱面会聚波的互易常数仍为:

2.3 凹圆柱面聚焦换能器的自易校准

将 代入式(4)和式(5)，可导出:

(7)

换能器辐射面上的自由场参考声压(近似等于平均声压):

(8)

这样，换能器辐射面上脉冲平均声强:

(9)

输出声功率(脉冲平均声功率或等声压幅度的连续波声功率)为:

(10)

应该说明的是，式(10)的推导纠正了以前文献[7～9]关于平面波及球面会聚波声功率自易测量研究中的一个失误，这些文献中的声功率自易测量计算公式为将其与式(10)比较，很显然，对P′的转换需要乘以一个修正因子才能得到本文的声功率自易测量计算公式(10)，从而使自易测量更为合理准确。

3 重要参数的计算

3.1 反射系数的计算

通常的声压幅度反射系数被定义为反射波振幅与入射波振幅之比，它依赖于入射角、波速，还可能与频率有关，而频率取决于界面条件。按照物理学和波动力学，入射波到达两种介质的界面时，将产生新的波，而新的波依赖于两种介质的波速和入射角。

在无黏性的液体(水)中只存在纵波,然而在固体介质中可能同时存在纵波和横波。在液-固界面上，尽管入射只是一种纵波，而在固体界面上除了产生折射纵波外，还会激发处折射横波，并且这两种折射波的折射角是不同的。所以在液-固界面上，当波型转换时要考虑纵波反射系数，纵波折射系数和横波折射系数。关于纵波反射系数按下式计算[12]：

(11)

式中：θi、θr、θtT和θtL分别是入射角、反射角、横波折射角和纵波折射角；各参数脚标的含义为：1—入射媒质(水)； 2—反(透)射媒质(固体)；L—纵波；T—横波；t—折射(角)。其中和分别是斜入射时相应的法向声阻抗率，并且和

应该说明的是，以前文献[7～9]关于平面波及球面会聚波声功率自易测量研究中，关于反射系数的计算没有考虑到固体介质中可能存在的横波，所以计算时根据Snell定理进行，即

式中：mi=ρ2/ρ1和ni=c1/c2； ρ1,c1和ρ2,c2分别是媒质Ⅰ (水)和媒质Ⅱ (不锈钢平面反射板)的密度和声速。而本文的研究考虑到了不锈钢平面反射板上的横波现象，对该参数的计算进行了修正，即式(11)，从而使得结果更为合理准确。

实际测量时，柱面会聚声束正入射到平面反射器表面时，需要用平均声压反射系数rav(αb)来替代式(10)里的rf，它是半孔径角αb的函数。凹圆柱面聚焦换能器的平均反射系数rav(αb)定义为：在无衰减媒质中，不计衍射效应条件下，凹圆柱面换能器聚焦声束主声轴正入射于平面反射界面，反射波在换能器被移去时，原来换能器辐射面所处空间的凹圆柱面上的平均自由场声压pav(αb)与换能器发射面上的参考声压p0的比值，即其功能是为了修正因聚焦 声束的复杂反射引入的误差。它与通常定义的平面波声压幅度反射系数的定义是不同的。

当平面反射界面无限大，且点源和接收点到反射面的距离远大于波长(本文所述情况)，平面界面上的问题可近似用镜像法处理。在几何声学基础上，把点源发出的声波用辐射声线来代替。

在凹圆柱聚焦换能器的x-y平面上，波阵面为聚焦扇面角内的一系列同心圆弧，辐射声线是扇面角内的无数向心矢径。正入射时主声轴的声线入射角为零，入射声场和反射声场具有左右交叉的轴对称性：接收面上的任一点，只能接收到发射面上与其轴对称的唯一对应点源所发出的辐射声线的反射声线。发射的所有声线完全被接收面接收，二者完全匹配。θi为辐射声线的入射角，半孔径角(聚焦半角)为αb= arcsin (α/R)，于是有：

这样，平均声压反射系数可表示如下：

(12)

式中：rav(αb)是作为半孔径角αb的函数，同时dS是在凹圆柱表面A上的面积元，凹圆柱的表面积是A=2αb·R·h。图2所示为在水与不锈钢界面上凹圆柱面聚焦换能器平均反射系数与半孔径角的关系。

图2 平均声压反射系数rav与凹圆柱面聚焦 换能器半孔径角αb的关系(水/不锈钢)
Fig.2 Average pressure reflection coefficient rav versus the half-aperture angle αb of a cylindrically concave focusing transducer (water/stainless steel)

3.2 衍射系数的的计算

为了计算衍射系数积分[13]将分别应用于计算场点声压p和镜像面A′上的声压p2,需要说明的是，Rayleigh积分仅适用于平面波及其弱聚焦条件下的高频会聚波声辐射研究，即：

(13)

(14)

式中：dS是凹柱面A上的面积元； dS′是镜像凹柱面A′上的面积元；  是dS′上的场点(x′,y′,z′)到dS的距离，并且A′=2αb·lf·h是镜像凹圆柱面的面积。

这样，

(15)

G1计算结果的精确程度对于实际声功率测量的准确性非常重要，在数值计算过程中，先分别将p 和p2曲面积分化为直角坐标系的二重积分，然后将计算G1的式(15)的四重积分离散化，即：

(16)

式中： 并且，

(17)

为了确保计算的精确性，离散点数N应使得微元长度Δy,Δz,Δy′和Δz′均小于波长λ。

在不同的半孔径角αb设定下，衍射系数G1与柱高h的关系如图3所示。

图3 衍射系数G1与柱高h的关系
Fig.3 Diffraction correction coefficient G1 versus height h

4 实验测量

4.1 自易法测量装置

表1列出了实验用的一个空气背衬的凹圆柱面聚焦换能器参数表。

自易法测量的实验装置如图4所示。测量是在去气水中进行的。测量设备由凹圆柱面聚焦换能器(参数见表1)，猝发音信号源(型号NF1500,Nantong Electronic Instrument Factory,Nantong,China)，标准的电流探头(型号411,Pearson Electronics,Inc.,Palo Alto,CA),数字存储示波器(型号DSO-X 2002A,Agilent Tech.,Palo Alto,CA),消声水槽以及光洁平整的不锈钢平面反射板(厚度50 mm)构成。

表1 实验用空气背衬的凹圆柱面聚焦换能器参数表
Tab.1 Parameters of a cylindrically concave focusing transducers with air backing

图4 自易法测量实验装置图
Fig.4 Measurement arrangement of the self-reciprocity method

为了得到最大的第一回波电压，在实验过程中，需要在轴向和两个方位角方向反复仔细调节换能器与反射板的相对位置和方向，使聚焦换能器的声轴垂直于声反射板，通过第一回波电压的传播时间和水的声速可以计算得到声焦距。

根据图4,实验过程中，先将开关K1接通到位置2，同时开关K2开路，此时，就能够从数字示波器上读到换能器的驱动电压UT和第一回波电压U′，然后，开关K1接通到位置1，同时开关K2短路，这时，在示波器上就能读出对应于短路电流的电压信号，接着，短路电流IK可通过电流探头的灵敏度计算获得。

应该说明的是，由于信号的输出终端连接的是阻抗匹配网络，所以，在实验中测得的第一回波电压U′并不是实际换能器开路输出电压eoc。根据Thevenin定理，有U′=eoc·Ze/(Ze+ZT)和I1=EV/(Ze+ZT)，并且输出的短路电流为IK=EV/Ze，其中Ze是匹配网络的输出阻抗,ZT是换能器的输出电阻抗，EV是换能器发射时匹配网络的开路输出电压 (电动势)。这样:

U′·IK=eoc·I1

(18)

所以:

(19)

(20)

(21)

4.2 声功率测量

将测得的U′和 IK代入式(21)即可得到声功率。为了验证实验结果，在这里，也引入了辐射电导Gr的定义：

(22)

式中:UTrms 是驱动换能器的有效激励电压。在实验中，平均辐射电导由测量所得的声功率和有效激励电压的平方决定，并采用最小二乘法进行拟合。

图5 声功率与驱动电压有效值平方之间的关系
Fig.5 The dependence of acoustic power on the square of driving rms voltage

对于表1列出的实验用凹圆柱面聚焦换能器换能器，采用辐射力法和自易法分别对其进行声功率测量所得的结果比较如图5所示。由自易法和辐射力法测得的平均辐射电导分别是18.6 mS 和 17.8 mS，它们之间的偏差是4.49 %，可见，自易法测得的结果和辐射力法测得的结果基本上是吻合的。

5 结 论

本文在电声互易原理基础上，系统研究了测量柱面会聚波声功率的自易测量方法，推导了应用自易法测量凹圆柱面聚焦换能器发射声功率的公式，更新计算了反射系数及衍射系数，对已有的平面波及球面会聚波声功率自易测量公式作出了重要修正，从而使得自易测量方法更为合理，并有助于提高测量精度。然后在此基础上进行了实际声功率与辐射电导的测量，同时将自易法测量结果与辐射力法测量结果进行了比较。复现性测量结果表明，这两者偏差可以控制在8%之内，即这两种测量方法的有效性得以相互验证，从而通过理论和实验证明了，自易法和辐射力法均可用于凹圆柱面聚焦换能器声功率的测量。

特别说明的是，自易法提供了相对独立于环境变化的很宽测量范围、高信噪比、准确稳定等辐射力法难以实现的独特优点，功率量程可达毫瓦级。而辐射力法由于易受诸如温度(热漂移)、气泡、声冲流及空气对流振动等物理现象和环境因素的限制与影响，几乎难以实施在毫瓦级声功率情况下的测量。所以,自易法在测量过程中对周边环境影响所保持的稳定性比传统的辐射力法更具优势。

最后，本文所述的自易校准法目前只适用于在弱聚焦及高频条件下，并限于线性、无源的具有互易性的凹圆柱面压电晶片式换能器，同时该换能器及其声场须工作在线性区，声场中无诸如如空化效应等非线性现象，并且测量中宜采用除气水和高空化阈值的流体等作为传声媒质。

致谢：上海市交通大学附属第六人民医院超声医学科胡兵教授为本文的实验测量提供了实质性帮助，使本文得以顺利完成。特此深表谢忱。