摘 要：为了激发粘接结构中的导波或界面波，通常需要将声波从两半无限介质同相位或反相位地同时入射多层系统。针对此问题，基于矩阵方法，推导了界面处于理想连接的情况下，对称或反对称纵波从上下半无限空间入射时，三层板状粘接结构中纵、横波的反射与透射系数表达式。分析了入射角度、粘接层厚度以及基体材料等对声波反射(或透射)特性的影响。结果表明，对称或反对称纵波垂直入射时不发生波型转换。粘接结构中声波的反射(或透射)特性与入射角度、频率以及粘接层厚度等参数密切相关。在相同的粘接层厚度(或频率)范围内，随着声波频率(或粘接层厚度)的增加，谐振频率曲线向低频漂移。该方法可作为粘接结构中体波或导波传播特性研究的重要理论基础。
关键词：粘接结构；矩阵方法；对称和反对称纵波；反射和透射系数；谐振
随着现代飞机高性能发展的需要和新技术、新材料的应用，粘接结构因具有比强度、比模量高，以及密封、减振等优越性能，已成为飞机机体的重要结构形式[1]，其中金属板-板粘接结构是飞机粘接结构的主体[2-4]。由于粘接界面脱粘或粘接强度不足而导致的灾难性事件时有发生[5-6]，因此，发展有效的金属板-板结构粘接质量的检测方法不仅具有重要的学术价值，而且具有广泛的工程应用前景[7]。
关于多层板状粘接结构中超声波传播特性的研究一直受到重视。在利用超声体波对粘接结构的研究上，BREKHOVSKIKH等[8]利用阻抗和声压连续的方法推导了多层均匀介质中体波的反射和透射系数表达式。李明轩等[9]建立了共振匹配理论，利用纵横波综合判断方法从实验上对粘接界面的强度进行了定量评价。基于传递矩阵方法，THOMSON[10]利用斜入射声波的反射和透射系数从理论上分析了粘接层的特性。ROKHLIN等[11-12]将粘接界面作为粘弹性层，对有限厚度界面层处于两半无限各向同性介质之间的多层粘接结构中的体波传播特性进行了研究，较好地区分出了理想连接和脱粘界面。王耀俊[13]利用传递矩阵方法研究了具有刚性(即理想)连接和滑移界面的层状固体介质的声反射和透射特性，推导了纵波或横波由单侧基体入射时的反射和透射系数解析表达式。在弹簧模型法的基础上，QIU等[14-15]采用垂直入射和斜入射的方法研究了弱粘接结构中的体波传播特性，并利用COMSOL进行了数值仿真。吴斌等[16]研究了浸水斜入射条件下粘接结构的纵波透射特性，得出了完整的纵波透射系数表达式。安志武等[17]在忽略粘接层厚度的前提下结合弹簧模型法利用“右峰”漂移特性定性地分析了铝-粘接层-铝弱粘接结构中超声波的低频反射特性。
利用超声导波对粘接结构的研究方面，BANERJEE[18]从理论上分析了粘接结构中的导波传播模式，研究发现，垂直激发时响应信号被一阶反对称模态所控制。LE-CROM等[19]通过数值模拟得到了铝-复合板粘接结构的SH波频散曲线。CASTAINGS[20]利用有限元和实验的方法研究了处于不同界面形式的铝-树脂玻璃-铝搭接结构中SH波的传播。YEW等[21]利用SH波评估了粘接结构粘接层的质量，研究表明，粘接结构中SH波二阶模态的截止频率主要依赖于粘接层的厚度和力学性能。张海燕等[22]采用全局矩阵法研究了层状各向异性复合板中Lamb波的传播特性，给出了不同层数的复合板中Lamb波的相速度频散曲线以及模态A0和S0沿板厚方向的应力分布。宁伟等[23]基于弹簧模型法研究了三层粘接结构中Lamb波两个最低阶模态A0和S0所产生的质点位移沿厚度方向的分布。
由以上分析可知，许多学者采用不同的方法或界面简化模型结合超声体波或导波对粘接结构开展了研究并取得了相应的成果。实际上，多数针对粘接结构的研究往往指的是对于界面特性的研究。相对于体波来讲，利用超声导波或界面波对粘接结构进行无损检测可获取更多关于界面的局部特征信息。若想激发结构中的导波或界面波，通常需要将声波从两半无限介质(即粘接结构的上下基体)同相位或反相位地同时入射进多层粘接系统。但在以往的文献报道中，大多采用的是超声波由单侧基体入射的方法，未见有关于对称(反相位)或反对称(同相位)模式的超声波由两侧基体同时入射粘接结构的研究。与超声波由单侧基体入射检测粘接结构不同的是，若采用超声波由两侧基体同时入射，则可以提取到更纯净、更单一的导波模态，因此很有必要研究超声波由两侧基体同时入射时粘接结构中声波的反射与透射情况。
针对上述未研究的问题，本文基于矩阵方法，首先从理论上推导出粘接结构界面处于理想连接的情况下，对称或反对称纵波同时从上下半无限固体空间入射时，三层板状粘接结构中纵、横波的反射与透射系数表达式；接着以实际工业生产中常用的粘接结构为例，利用数值模拟的方法计算结构中纵、横波的反射与透射系数曲线；最后分析声波入射角度、粘接层厚度等参数的变化对声波反射与透射特性的影响。
1 理论研究
图1所示为板状粘接结构几何模型，将笛卡尔坐标系的x轴置于粘接结构的下界面(界面2)，板厚沿z方向。半无限固体介质2和0分别为粘接结构的上、下基体，介质1是厚度为h的粘接层，且介质0、1和2均为各向同性弹性固体介质。
图1 体波斜入射条件下粘接结构的声学模型
Fig.1 Acoustic model of the adhesive structure underthe condition of body waves oblique incidence
图1中φ i2、φ r2和φ i0、φ r0分别为基体2和0中入射、反射纵波的位移势幅值；ψ i2、ψ r2和ψ i0、ψ r0分别为基体2和0中入射、反射横波(此处及下文提及的横波均指SV横波)的位移势幅值。θ l2和θ l0分别为基体2和0中的纵波入射或反射角；θ t2和θ t0分别为基体2和0中的横波入射或反射角。若令角频率同为ω的简谐平面纵波和横波同时从上、下基体入射到多层粘接结构，这些波沿着x方向应具有相同的波矢量分量δ。容易知道，当声波遇到两侧声阻抗不同的结合界面时，会发生反射与折射，形成反射纵、横波与折射纵、横波。根据Snell定律，所有的反射波与折射波的波矢量沿着x方向的分量也为δ。若忽略波传播的非线性效应，则在同一介质中入射波和反射波可以线性叠加。另外需要说明的是，本文的研究暂不考虑声波在结构中传播时的衰减。
假设声波的入射平面为x-z平面，那么在基体0中纵波和横波的总位移势Φ0和Ψ0可分别写为[24-26]
(1)
式中
和
分别为纵波和横波矢量的z轴分量，且这里Cl0与Ct0分别为基体0中纵波与横波的速度；ω为角频率；t为时间。
基于式(1)，可将基体0中的声场所产生的位移与应力分量写成
(2)
式中：ux和σzx、uz和σzz分别为沿着x，z方向的位移和应力分量，即切向与法向的位移和应力分量；λ0和μ0为介质0的拉梅常数。
在z=0处，将式(1)和(2)相结合可以得到基体0中的声场和界面2上的力学参量之间的关系，将其写成矩阵的形式如下
(3)
式中
和
和
分别为界面2上切向、法向的质点位移和应力分量。矩阵[A0]为一与基体0材料特性相关的四阶矩阵，其值见附录1。
采用与式(1)～(3)类似的分析，在z=h处可以写出界面1上的质点位移和应力与基体2中的声场之间的关系
(4)
式中和和分别为界面1上切向、法向的质点位移和应力分量。矩阵[A2]与[A0]形式相同但值不同。将式(4)两边同时乘以矩阵[A2]的逆矩阵，则可以得到式(5)
(5)
式中：矩阵[B2]=[A2]-1为一与基体2材料特性相关的四阶矩阵，其值见附录2。
由于粘接结构各界面均为理想连接，因此界面上的质点位移和应力连续。在此种条件下，我们可将上下基体中的声场联系起来并写成式(6)的形式
(6)
式中：矩阵[H]=[B2]·[E1]·[A0]，这里矩阵[E1]为与粘接层1材料特性相关的矩阵，其各个元素的值见附录3。本文着重研究对称或反对称纵波入射粘接结构，因此式(6)中ψi2与ψi0的值为0。将ψi2=0和ψi0=0代入式(6)并重新整理可以得出式(7)
(7)
式中：Hgm(g,m=1,2,3,4)为矩阵[H]的元素。按照式(7)可求出不同模式的平面纵波入射时，所产生的纵、横波的反射与透射系数。一般地，大多研究均采用纵波或横波从上或下半无限空间入射多层结构，这里若令式(7)中的φi0或φi2=0，则可以分别得出纵波从上或下半无限介质入射时的反射与透射系数。作为例子，本文假定任意形式的频率均为ω的两列简谐平面纵波同相位(反对称)或反相位(对称)地同时入射多层粘接结构，研究不同形式声波与界面的相互作用。
针对反对称纵波同时从上下基体入射多层结构，此时令φi0=φi2并代入式(7)，可以得出式(8)
(8)
对式(8)进行繁琐的运算，可以得到反对称纵波入射时结构中所产生的纵、横波的反射与透射系数表达式
(9)
这里，
F1=H23H31-H21H33+H21(H12H33-H13H32)+
H22(H31H13-H11H33)+H23(H11H32-H31H12)
F2=H43H31-H41H33+H41(H12H33-H13H32)+
H42(H31H13-H11H33)+H43(H11H32-H31H12)
式中，R表示反射系数，T表示透射系数，且第一个下标表示入射波型，第二个下标表示反射或透射波型。例如Rlt指采用纵波反对称入射所产生的横波的反射系数。
针对对称纵波同时从上下基体入射多层结构，此时令φi0=-φi2并代入式(7)，则可以得出：
(10)
同样地，对式(10)进行计算，可以得到对称纵波入射时产生的纵、横波的反射与透射系数表达式
(11)
这里，
F3=H23H31-H21H33+H21(H13H32-H12H33)+
H22(H11H33-H31H13)+H23(H31H12-H11H32)
F4=H43H31-H41H33+H41(H13H32-H12H33)+
H42(H11H33-H31H13)+H43(H31H12-H11H32)
式中，R′、T′的含义与前文的R、T相同，均指反射、透射系数，但前者为对称纵波入射下的反射、透射系数，后者为反对称纵波入射下的反射、透射系数。实际上，式(9)和(11)中的反射和透射系数一般为复数，表明反射波和透射波相对于入射波存在相位差。
需要指出，针对对称或反对称纵波入射粘接结构，由于上、下基体皆有声波进入，因此在称呼上并无反射与透射之分。可将基体2中的Ψr2、φr2称作反射波，基体0中的Ψr0、φr0称之为透射波；也可以将基体0中的Ψr0、φr0称作反射波，基体2中的Ψr2、φr2称为透射波。本文为便于读者理解以及避免混淆，暂且将基体2中的Ψr2、φr2分别称之为反射横、纵波；将基体0中的Ψr0、φr0分别称之为透射横、纵波。物理意义上讲，尽管式(9)中的Rll和Tll 、Rlt 和Tlt 的表达式的形式有所不同，但它们的数值计算结果应该相等，式(11)也应如此。
2 数值算例及结果分析
基于上述模型，利用MATLAB软件编写相应的程序计算对称或反对称纵波入射下的纵、横波的反射、透射系数，研究纵、横波的反射、透射特性。文中选取常见的铝、钢或铜作为粘接结构的基体材料，环氧树脂为粘接剂，它们的材料参数见表1。表1中ρ、Cl和Ct分别为材料的密度、纵波和横波速度。
表1 材料特性
Tab.1 Material properties
2.1 入射角度对声波反射或透射特性的影响
图2和3计算了对称或反对称纵波以不同角度入射的情况下，铝-环氧树脂-铝粘接结构中纵、横波的反射与透射系数。图中纵波的入射角度分别取0°、20°、40°和60°，粘接层的厚度为0.3 mm。
对比图2(a)和3(a)、2(b)和3(b)可以发现，当入射角度为20°、40°或60°，对称和反对称纵波入射下的纵、横波的反射(或透射)系数有较为明显的区别。表明声波倾斜入射时，对称和反对称纵波与同一粘接结构的相互作用不同。当入射角为0°(垂直入射)时，无论纵波对称或反对称入射，结构中横波的反射(或透射)系数的幅值始终为0，而纵波的反射(或透射)系数的幅值始终为1，这是由于对称或反对称纵波垂直入射时不发生波型转换，使得结构中仅有纵波存在。纵波倾斜入射会发生波型转换形成新的纵、横波，所有纵、横波的反射(或透射)系数曲线随着频率的增加出现了谐振，这与多层结构中声传播理论相符合。在谐振频率点处，横波的反射(或透射)系数呈现极小值，而纵波的反射(或透射)系数呈现极大值，这说明当声波的频率处于谐振点附近时，粘接结构中大多以纵波的形式存在而形成的横波较少。此外，仔细观察图2和3可知，无论纵波对称或反对称入射，也不论纵波的入射角度或频率为多大，粘接结构中纵波或横波的反射与透射系数曲线均完全重合，这证实了前文的猜测：尽管式(9)、(11)中纵波或横波的反射与透射系数表达式的形式有所不同，但它们的数值计算结果相等，同时也间接反映出本文所推导公式的正确性。
(a) 横波
(b) 纵波
图2 不同角度对称纵波入射下的体波反射与透射系数
Fig.2 Body wave reflection and transmission coefficients ofdifferent angles of symmetric longitudinal waves incident
(a) 横波
(b) 纵波
图3 不同角度反对称纵波入射下的体波反射与透射系数
Fig.3 Body wave reflection and transmission coefficients ofdifferent angles of anti-symmetric longitudinal waves incident
2.2 粘接层厚度对声波反射或透射特性的影响
图4和5计算了铝-环氧树脂-铝粘接结构在不同粘接层厚度下的纵、横波的反射与透射系数，其中粘接层的厚度分别为0.01 mm、0.1 mm和1 mm，纵波的入射角取20°。
(a) 横波
(b) 纵波
图4 不同粘接层厚度下对称纵波入射时的体波反射与透射系数
Fig.4 Body wave reflection and transmissioncoefficients of symmetric longitudinal waves incident at different adhesive layer thickness
(a) 横波
由图可见，即便粘接层的厚度有微小的变化也会对声波的反射(或透射)特性造成较大的影响。无论纵波对称或是反对称入射，横波的反射(或透射)系数的极小值均接近于0，极大值皆不超过0.3。纵波的反射(或透射)系数的极大值均接近于1且所有频率点处的幅值不低于0.9，表明当入射角为20°时不论粘接层的厚度是多少，粘接结构中纵波的能量始终远大于横波。此外还可以发现，在相同的频率范围(即0～10 MHz)内，随着粘接层厚度的增加，纵、横波的反射(或透射)系数曲线逐渐出现了谐振现象，并且粘接层的厚度越大，曲线谐振点(见图4(b))的数目越多。这是由于随着粘接层厚度的增加，声波在粘接层上下界面(见图1)来回反射、干涉或叠加的次数在增多，因此产生了更多的谐振频率点。但是所形成的多阶谐振并无明显的变化规律，也即没有明显的谐振周期。另外，与2.1节类似，无论纵波对称还是反对称入射，也无论粘接层的厚度是多少，纵波或横波的反射与透射系数曲线依然完全重合。
(b) 纵波
图5 不同粘接层厚度下反对称纵波入射时的体波反射与透射系数
Fig.5 Body wave reflection and transmission coefficients ofanti-symmetric longitudinal waves incidentat different adhesive layer thickness
2.3 基体材料对声波反射特性的影响
本节仅计算纵波与横波的反射系数，透射系数图不再绘制。图6～图8所示为对称或反对称纵波入射时，不同形式粘接结构中的体波反射特性，其中粘接层的厚度固定在0.3 mm，声波入射角度仍取20°。
(a) 横波
(b) 纵波
图6 不同基体材料下对称纵波入射时的体波反射系数
Fig.6 Body wave reflection coefficients of symmetric longitudinalwaves incident at different substrate material
(a) 横波
(b) 纵波
图7 不同基体材料下反对称纵波入射时的体波反射系数
Fig.7 Body wave reflection coefficients of anti-symmetriclongitudinal waves incident at different substrate materials
(a) 对称纵波入射
(b) 反对称纵波入射
图8 不同基体材料下对称与反对称纵波入射时的纵波反射系数
Fig.8 Longitudinal wave reflection coefficients of symmetric and anti-symmetric longitudinal waves incident at different substrate materials
由图可知，若粘接结构的基体为不同材料，纵波或横波的反射系数存在比较明显的区别，说明基体材料对声波的反射特性有一定影响。图6(a)与7(a)中，无论对称还是反对称纵波入射，四种不同形式粘接结构中的横波反射系数曲线整体走势大致相同。铝-环氧树脂-钢、铝-环氧树脂-铜以及铜-环氧树脂-铝三种形式粘接结构中的横波反射系数差别不大，但是钢-环氧树脂-铝中的横波反射系数与上述三种粘接结构差别明显。对于图6(b)与7(b)，在对称或反对称纵波入射的情况下，铝-环氧树脂-钢和铝-环氧树脂-铜、钢-环氧树脂-铝和铜-环氧树脂-铝粘接结构中的纵波反射系数差别较小，但是铝-环氧树脂-钢(或铝-环氧树脂-铜)和钢-环氧树脂-铝以及铜-环氧树脂-铝中的纵波反射系数差别非常明显。铝-环氧树脂-钢与铝-环氧树脂-铜结构中的纵波反射系数介于1～2.5之间，远大于钢-环氧树脂-铝与铜-环氧树脂-铝中的纵波反射系数。此外，比较图6(a)和6(b)以及7(a)和7(b)可以发现，即使粘接结构和入射声波的类型固定，结构中纵波与横波的反射系数之间的差别也异常显著。
与图6和7不同的是，图8中粘接结构的上下基体均为同种介质。分析可知，对于纵波对称入射，铝-环氧树脂-铝、钢-环氧树脂-钢以及铜-环氧树脂-铜中纵波反射系数的差别不大。类似地，对于纵波反对称入射，除了9.2 MHz处，三种形式粘接结构中纵波反射系数的差别亦不大。比较图8(a)和6(b)可以得出，同为对称纵波入射的情况下，铝-环氧树脂-铝和铝-环氧树脂-钢、铝-环氧树脂-铜(或钢-环氧树脂-铝、铜-环氧树脂-铝)中纵波反射系数的差别明显。这表明，若保持粘接结构的粘接层和上(或下)基体的材料不变，仅改变下(或上)基体，结构中声传播模式同样会发生较大的变化。图8(b)和7(b)的分析方法与此类似，这里不做过多描述。
上述现象表明，当其它参数固定，粘接结构中声波的传播特性与粘接层两侧基体材料的特征参数密切相关。不仅基体材料的种类对声传播特性的影响较大，基体所处的位置对声传播的影响同样不可忽略。这对于检测人员利用对称或反对称纵波检测粘接结构具有较好的参考价值。
2.4 频率、粘接层厚度与横波反射特性的三维关系研究
如前文所言，对于粘接结构的检测，入射角度、频率和粘接层厚度一直是重要的参数。因此，有必要研究对称或反对称纵波以不同角度入射的情况下，频率、粘接层厚度与声波反射(或透射)特性的关系。图9～14为对称或反对称纵波分别以5°、15°或30°入射铝-环氧树脂-铝粘接结构时，纵波频率、粘接层厚度与横波反射系数之间的关系。图中颜色的深浅代表反射系数幅值的大小，类似曲线的部分代表反射系数的极小值点，其余红色部分代表反射系数的极大值点。分析可以发现，随着声波频率以及粘接层厚度的改变，横波反射系数均出现了多阶谐振。
(a)
(b)
图9 对称纵波以5°入射时的频率、粘接层厚度与横波反射系数的关系
Fig.9 The relationship between the frequency, the thickness ofadhesive layer and the reflection coefficient of transverse wavein the case of the angle of symmetrical longitudinal wave is 5°
(a)
(b)
图10 对称纵波以15°入射时的频率、粘接层厚度与横波反射系数的关系
Fig.10 The relationship between the frequency, the thicknessof adhesive layer and the reflection coefficient of transverse wavein the case of the angle of symmetrical longitudinal wave is 15°
(a)
(b)
图11 对称纵波以30°入射时的频率、粘接层厚度与横波反射系数的关系
Fig.11 The relationship between the frequency, the thicknessof adhesive layer and the reflection coefficient of transverse wavein the case of the angle of symmetrical longitudinal wave is 30°
(a)
(b)
图12 反对称纵波以5°入射时的频率、粘接层厚度与横波反射系数的关系
Fig.12 The relationship between the frequency, the thicknessof adhesive layer and the reflection coefficient of transverse wavein the case of the angle of anti-symmetrical longitudinal wave is 5°
(a)
(b)
图13 反对称纵波以15°入射时的频率、粘接层厚度与横波反射系数的关系
Fig.13 The relationship between the frequency, the thicknessof adhesive layer and the reflection coefficient of transverse wavein the case of the angle of anti-symmetrical longitudinal wave is 15°
(a)
(b)
图14 反对称纵波以30°入射时的频率、粘接层厚度与横波反射系数的关系
Fig.14 The relationship between the frequency, the thicknessof adhesive layer and the reflection coefficient of transverse wavein the case of the angle of anti-symmetrical longitudinal wave is 30°
针对对称纵波入射的情形(图9～图11)，随着入射角度的增加，虽然反射系数的极大值在逐渐增大，但是谐振频率曲线的总体数目并未随角度的变化而改变。除此以外，还可以得到另外一个重要现象：在特定角度(例如5°)下，当声波的频率范围固定不变，随着粘接层厚度的增大，谐振频率曲线的数目在增多，如图9(b)中水平椭圆圈所示，当粘接层的厚度为0.2 mm，椭圆圈内仅存在两条谐振频率曲线，当粘接层厚度增大到0.6 mm时，谐振频率曲线的数目增加到七条，反过来也是如此。可将这种现象理解为：在相同的粘接层厚度(或频率)范围内，随着声波频率(或粘接层厚度)的增加，谐振频率曲线向低频产生了漂移。反对称纵波入射下(图12～图14)的分析方法与图9～图11类似，这里不再赘述。
3 结 论
假定粘接界面为理想连接的情况下，本文基于矩阵方法建立了对称或反对称纵波穿过三层板状粘接结构的声反射和透射模型，推导了结构中体波的反射和透射系数表达式。基于上述数值模拟结果，得到以下结论：
(1) 与体波由单侧基体入射的情形类似，对称或反对称纵波垂直入射时，经过界面不发生波型转换，但是倾斜入射波型转换会发生。不同形式的粘接结构会引起不同的声反射(或透射)特性。对于特定的粘接结构，超声波在其中的传播模式主要依赖于入射角度、频率等参数，即使这些参数有微小的变化也会对声波的反射(或透射)特性造成较大的影响。因此，若采用对称或反对称纵波检测粘接结构，合理的选取这些参数尤为重要。
(2) 对称或反对称纵波入射粘接结构时纵、横波的反射(或透射)系数曲线会产生多阶谐振。在相同的粘接层厚度(或频率)范围内，随着声波频率(或粘接层厚度)的增加，谐振频率曲线将向低频漂移。
本文的理论分析模型对于界面为理想连接且基体和粘接层均为各向同性弹性固体介质的粘接结构具有普适性。对于粘接结构的研究，除了体波以外还有不少学者采用导波(例如Lamb波)或界面波进行检测，虽然本文主要针对对称或反对称纵波入射下的体波反射(或透射)系数展开讨论，但是所提方法同样可以作为粘接结构中导波传播特性研究的重要理论基础，比如若令式(9)或(11)中的分母为0，就可以得到结构中沿x方向传播的导波模式的频散方程。需要指出的是，鉴于实验条件的挑战性，目前尚未对理论计算结果开展相关的仿真或实验过程，但所述方法的有效性与所推公式的正确性已在文中得以证实。
