基于因子分析法的SCARA型硅片传输机器人灵活性综合评价模型

1 引言

随着集成电路制造装备的高速发展，快速而准确地评价硅片传输机器人灵活性性能便成为了硅片传输机器人领域的研究热点之一[1]。在机器人运动学领域，运动灵活性是重要研究方向，它体现了整个系统对运动学特性的全局转化能力[2]。文献[3]定义了各向同性指标，讨论了条件数与各项同性指标之间的关系。文献[4]针对步行机器人，研究了其在行走过程中的灵活性评价指标。文献[5]针对Stewart并联机器人，构建了一种局部灵活度的解析模型，揭示了局部灵活度各向同性与机器人尺寸参数之间的关系。文献[6]定义了基于任务的方向可操作度，给出了其解析表达式，并利用方向可操作度作为目标函数进行冗余度机器人的运动学优化。文献[7]提出了棱角与同轴度两个新的灵活性指标来评价并联机器人运动平台的运动灵敏度。

在进行机器人灵活性性能评价时，不仅要考虑单一的性能要求，还要全面考察机器人的综合运动灵活性性能。目前应用综合运动性能指标对SCARA型硅片传输机器人运动灵活性进行评价的研究相对稀少[8]。文献[9]基于雅克比矩阵、可操作度，结合统计学理论提出了全局性能指标系统来评价机器人在工作空间的全局运动学性能。文献[10]对机械臂的运动灵活性性能通过主成分分析法进行综合评价。因子分析法对观测的变量进行相应的分类重组，通过构造公共因子，对原始变量进行化简进而解决复杂问题[11]。

尝试将因子分析法应用在不同尺寸的SCARA型硅片传输机器人的灵活性性能综合评价中，构造一种SCARA型硅片传输机器人的灵活性性能评价的综合评价模型。在分析SCARA型硅片传输机器人的D-H模型的基础上，首先从经典的单一灵活性性能评价指标中选择几种评价指标作为SCARA型硅片传输机器人的灵活性性能指标，进而挑选出因子分析法中需要分析的变量。计算相关系数矩阵来分析各种运动灵活性性能之间的相关性。然后，计算初等载荷矩阵及因子贡献率，以此来确定公共因子个数，最后做因子旋转，构建了SCARA型硅片传输机器人综合性能指标评价函数。

2 SCARA机器人结构模型及灵活性性能指标的选取

2.1 SCARA型硅片传输机器人结构模型

选定SCARA型硅片传输机器人作为因子分析的对象，建立其结构分析模型，按照一般的D-H坐标系建立步骤，将此类机器人结构中现有的柔性结构忽略，由此获得的SCARA型硅片传输机器人D-H模型，如图1所示。

图1 SCARA型硅片传输机器人
Fig.1 SCARA Silicon Wafer Transfer Robot

为了便于求解正运动学传递矩阵，将以上D-H模型的结构参数绘制，如表1所示。

表1 D-H坐标系连杆参数对照表
Tab.1 Contrast Table of Connecting Rod Parameters in D-H Coordinate System

只考虑SCARA型硅片传输机器人末端位置而不考虑末端姿态，使SCARA型硅片传输机器人末端达到工作空间中某固定点，分别让多种不同尺度的机器人完成这一任务。假设SCARA型硅片传输机器人的杆长之和为一定值L，这样可以保证机器人的展开级别相同，对于SCARA型机器人，我们只考虑其在水平面的灵活性，可以获得针对水平方向的简化模型，如图2所示。所以有L1+L2=L，在SCARA机器人中，从图2可以得到末端B点的相应的位置坐标解析式：

分别对上述方程组中的两个变量θ1，θ2求微分可得雅克比矩阵J：

图2 SCARA型硅片传输机器人水平面上的机构简图
Fig.2 The Horizontal Mechanism of SCARA Silicon Wafer Transmission Robot

2.2 SCARA型硅片传输机器人灵活性性能指标的选取

机器人的灵活性性能指标一般包括3个比较经典的灵活性性能指标，以及一些改进的单一灵活性性能指标，从因子分析法对变量相关性有所要求的角度选取了运动学条件数（x1）、方向可操作度（x2）、运动学可操作度（x3）、各向同性指标（x4）、其他指标（x5）作为将要分析的单一灵活性指标。

3 因子分析法

主要从两个方面应用因子分析法来评价SCARA型硅片传输机器人的运动灵活性：首先是构建综合评价模型，获得不同尺度的SCARA型硅片传输机器人运动灵活性综合得分；其次是通过计算初等载荷矩阵及因子贡献率将多个单一性能指标的信息综合为少数公共因子，再利用因子旋转区分出运动灵活性中的几个不同方面。分析计算主要有以下几个步骤。

3.1 分析变量的选择

针对原始变量首先采用定性分析，然后采用定量分析，再综合二者的结果来选择变量。变量间相关程度较大是进行因子分析的关键，所以应该选择有较强相关性的原始变量。

3.2 标准化性能指标数据

由于原始数据计量单位不同，需要将数据转化为可以进一步利用的数据。假设选择P个灵活性性能指标变量（x1，x2，x3，L，xp）进行因子分析，则由n个不同尺寸的SCARA型硅片传输机器人样本所组成的指标数据矩阵为如下所示：

第i个待评价样本的第j个灵活性指标的取值为xij，将各评价指标值xij通过数学运算转化为标准化的指标aij：

即为样本均值与标准差，由此获得如下标准化以后的矩阵：

3.3 计算相关系数矩阵R

原始数据存在一定的信息重叠，为了将多个性能指标综合为少数几个指标，又不遗漏过多的评价信息，需要分析单一灵活性指标间的相关性。利用相关系数矩阵可以充分了解灵活性性能指标间的相关性。计算相关系数矩阵R=（rij）p×p

式中：rii=1，rij=rji，rij—灵活性性能指标间的相关系数，反映相关性大小。

3.4 初等载荷矩阵的获取

根据特征方程 λE-R =0得到p个特征值，λ1≥λ2≥…≥λp≥0，由方程组：

得到对应的特征向量u1，u2，L，up，式中uj=（u1j，u2j，…unj）T，则初等载荷矩阵：

3.5 选择k（k≤p）个主因子，进行因子旋转

因子旋转的数学模型：

设Xi（1，2，…，p）个变量，如果表示为：

体育教学信息化对提高教学质量发挥着重要的作用，现如今教学理念有了新的发展，实现全面教育信息化还需要实行有效的教学手段。

根据每个公共因子的贡献率大小从中选出主因子。然后对载荷矩阵进行相应的旋转。

并由矩阵B得到因子模型：X=BF

模型中，F（f1，f2，f3，…，fk）是 X（x~1，x~2，x~3，…，x~p）的公共因子，是互相独立的理论变量。公共因子的具体意义要针对不同的实际研究问题来选定。B（bij）定义为因子载荷矩阵，元素bij（i=1，2，…p；j=1，2，…k）定义为因子载荷，是第i个原始变量在第j个公共因子上的载荷。

3.6 计算因子得分，并进行综合评价

用回归方法求单个因子得分函数：

4 计算与分析

设点（1.8，1.3，0）为机器人工作空间中的一个末端固定点，机器人末端执行器的操作任务方向选为［1，0，0］。假定有21个不同尺寸的SCARA型机器人样本被纳入评价模型，可以选择更多的尺寸样本。SCARA型硅片传输机器人的尺寸可以任意给定，可以令 L1+L2=2.6，则 L=2.6，L1的取值范围是（0.3～2.3）个单位长度，每个尺寸相差0.1个单位长度。分别计算出各个SCARA型硅片传输机器人尺寸样本的5个灵活性性能指标数值。

4.1 原始数据的标准化处理

由于所选的单一灵活性性能指标在量纲上差别较大，故通过数据标准化公式，对已选择的单一灵活性性能指标进行标准化处理，以便于数据的分析，如表2所示。

表2 标准化数据
Tab.2 Standardized Data

4.2 计算相关系数矩阵R

由于因子分析法分析数据是基于相关系数矩阵进行的，故必须对所选择的变量进行相关性分析。分析结果，如表3所示。

表3 相关系数矩阵
Tab.3 Matrix of Correlation Coefficients

从上表可以看出，5个单一的灵活性性能指标正相关，且相关系数数值较大，说明5个单一的灵活性性能指标相关性较强，故应用因子分析法较为合适。

4.3 初等载荷矩阵的计算

根据以上所得的相关性矩阵，利用公式（9）计算特征值及对应的特征向量，得到特征值个数。由特征值的累积比例值确定主因子数为2，此时第一个公共因子的累积贡献率已经大于85%，基本可以涵盖原始变量的绝大多数信息，但由于只选了较少的几个原始变量，故应该考虑第二个公共因子，累积比例值可达99.18%，可以使综合得到的信息更加全面。累积贡献比例，如表4所示。载荷矩阵情况，如表5所示。通过以上的分析确定了公共因子的数量，因子载荷矩阵的维数由公共因子的个数来确定，即获得因子载荷矩阵的难易程度。通过对以上因子载荷分析可以看到，公共因子不容易被赋予具体的含义，虽然由所构造的因子分析数学模型找出了公共因子，但要进行深入的分析，就要知道每个公共因子所代表的具体含义。如果每个公共因子被赋予的意义模糊，则很难对特定的工程问题进行较好的解释。

表4 累积贡献比例
Tab.4 Cumulative Contribution Ratio

表5 载荷矩阵情况
Tab.5 Load Matrix

4.4 主因子的选取与因子旋转

利用因子旋转式（11）～式（13）可以获得新的因子载荷矩阵，如表6所示。机器人运动灵活性一般包括速度“大小”与速度“均匀”的两个不同方面。“大小”是指在关节输入速度一定时，SCARA型机器人末端获得较大的速度；“均匀”是指SCARA型机器人末端在各个方向上速比大致相同。由以上因子旋转后的载荷矩阵可以看出运动学条件数（X1）、各向同性指标（X4）、其他指标（X5）在因子F1上的载荷比较大的，说明F1反映了雅克比转换矩阵向各个方向的变化均一性。解释为速度“均匀”因子；而方向可操作度（X2）、运动学可操作度（X3）在因子F2上的载荷比较大，说明F2反映运动灵活性中的速度“大小”，解释为速度“大小”因子。

表6 方差极大正交旋转矩阵
Tab.6 Maximum Variance Orthogonal Rotation Matrix

4.5 求单个因子得分函数

通过以上数据，利用公共因子模型计算单个公共因子得分函数，速度“均匀”因子F1与速度“大小”因子F2得分函数：

从正交因子得分图可以明显的看出两个正交因子的得分变化趋势。单个因子变化趋势图，如图3所示。

图3 单个因子变化趋势图
Fig.3 Trend Chart of Single Factor Change

若要分别分析两个公共因子随21个不同尺寸样本的变化趋势，从图7中的等高线图可以看出两个公共因子的变化趋势基本一致。但也存在差异，两个因子分别反映了运动灵活性中的两个不同方面，在对SCARA型硅片传输机器人进行灵活性评价时，有时可能会侧重灵活性中的某一方面，如侧重运动灵活性中的速度“大小”因子，那么因子1的大小将作为评价的主要影响因素；如若侧重运动灵活性中的速度“均匀”因子，那么因子2的大小加工作为评价的主要影响因素。如果综合考虑两个因子的作用，可以利用综合因子得分公式：

4.6 评价结果的分析与讨论

分别对5个不同的单一灵活性指标：方向可操作度（DM）、运动学条件数（K）、各向同性指标（deta）、运动学可操作度（W）、其他指标（deta1）进行评价，从下图可以看出，5个单一的灵活性性能指标变化趋势基本一致。

图4 各个性能指标变化趋势图
Fig.4 Trend Charts of Performance Indicators

根据综合评价函数解析式可以计算出综合因子得分值，分别对所选出的样本按照得分大小进行排序，由于选取的单一指标的大小能够分别反映出SCARA型硅片传输机器人的各类灵活性的优劣，所以综合评价得分数值越大表示SCARA型硅片传输机器人的灵活性性能越好，由此可得到SCARA型硅片传输机器人灵活性性能的综合评价结果：

图5 最优尺寸对比图
Fig.5 Optimal Size Comparison Chart

一般情况下，当调整SCARA型硅片传输机器人的位姿，SCARA型硅片传输机器人简化模型的末端到达工作空间的中间位置时，其运动灵活性性能最优。可以看出17号SCARA型硅片传输机器人的性能最优，对应的尺寸为L1=1.8，L2=1.8，这与一般情况下的优化结果是完全符合的。也说明了应用因子分析法对SCARA型硅片传输机器人灵活性性能进行综合评价的有效性。但是，由于进行实例计算时只选择了5个相对比较典型的灵活性指标，而综合评价指标还并不能反映SCARA型硅片传输机器人灵活性的各个方面，可以结合公共因子得分来突出某一方面的特性，若要更加全面的评价SCARA型硅片传输机器人的运动灵活性性能，需要在后续的综合评价模型中考虑更多的评价指标。

5 结论

针对SCARA型硅片传输机器人的灵活性指标，首次提出了将因子分析法应用在SCARA型硅片传输机器人的灵活性性能综合评价中，在分析SCARA型硅片传输机器人的D-H模型的基础上，构造了一种SCARA型硅片传输机器人的灵活性性能评价的综合评价模型。通过因子旋转较好的区分出了运动灵活性中速度“大小”和速度“均匀”两个方面，并利用分析得到的两个公共因子能较好的解释这两个方面的内容。

通过仿真研究，证明了因子分析法可有效地对SCARA型硅片传输机器人灵活性性能进行综合评价，量化了SCARA型硅片传输机器人综合灵活性性能与机器人尺寸之间的关系，为进一步改进SCARA型硅片传输机器人综合灵活性性能做理论准备，并为SCARA型硅片传输机器人最佳尺寸的选取提供了简单而实用的方法。