摘要：以压电方程和内能为出发点，在压电片面积不变的情况下，利用ANSYS有限元软件和数学建模的方法分别建立了不同长宽比例(L/w)的双晶片悬臂梁压电俘能器的模型。分析了压电振子的不同长宽比对双晶片压电振子的输出电压大小的影响。仿真结果表明，压电俘能器输出电压的解析解和有限元仿真的数值解基本吻合，验证了数学模型的正确性；而且双晶片压电振子在串联的连接方式下输出电压值最高，而且压电振子的输出电压与压电片的长宽的比成线性的关系。
关键词：压电俘能器；悬臂梁；MATLAB解析解；ANSYS数值解
在驱动和俘能领域，双晶片作为一种关键的元件，在做微尺度高频运动方面具有非常普遍的应用[1]。随着微电子机械系统的发展，如何向为电子产品供能成为了当前研究的一个热点问题。传统的微型机械系统供能一般采用电池供电，但使用寿命、尺寸大小和环境的适应性都导致了化学电池作为给微电子机械系统电源具有一定局限性。相对于传统的电池供电的方式，无源供能技术具有较大优势，目前基于力电转换的新型俘能系统得到了广泛研究。研究表明，只需要微瓦级的功率即可实现对微电子领域的供电，而且无源供能技术可以适合各类复杂的应用场合，这使得环境能量采集技术给微电子领域供电具备了可行性[2]。通常将机械能转换为电能的方式有三种，静电式、电磁式和压电式。压电俘能装置常用的结构包括矩形和圆形，该种俘能装置多是通过外部激励引起压电振子的振动进而实现机械能和电能之间的相互转化。其中，矩形压电俘能器的发电元件多采用悬臂梁支撑的方式，该支撑方式可产生最大的挠曲和柔顺系数，具有较低的谐振频率和较宽的动态范围[3-4]。本文利用ANSYS 15.0有限元软件和数学建模的方法，在压电片面积不变的情况下，分别建立了不同长宽比例(L/w)的双晶片悬臂梁俘能器的模型，分析了压电振子的长宽比例对双晶片压电振子的输出电压的影响，验证数学建模的正确性。
1 悬臂梁压电振子的数学建模
压电材料具有正压电效应和逆压电效应两种现象。其中，压电材料的正压电效应就是压电体在收到外界激励的作用时，会产生电荷(束缚电荷)的物理现象。悬臂梁压电双晶片作为一种发电元件，利用悬臂梁的振动变形，可以将压电振子的振动机械能转化为电能[5]。
悬臂梁式压电俘能器分为压电单晶片和压电双晶片两种[6]。压电单晶片由单个压电片粘贴在金属悬臂梁上；压电双晶片是由两个在一起且极性相反的压电层组成，其间用导电胶粘接，构成一端夹持另一端自由的悬臂梁的形式，从连接形式上可以分为串联压电双晶片振子和并联压电双晶片振子，其具体的连接形式如图1和图2所示[7]。
图1 串联压电双晶片振子
图2 并联压电双晶片振子
1.1 单层晶片压电振子的建模
由第一类压电方程[8，9]，有
(1)
式中，p表示压电振子，其材料为压电陶瓷P-5；
表示压电材料柔度系数；
表示压电材料介电常数；d31表示压电材料压电系数，
表示压电体长度方向上的应力，E3和分别表示电场和电位移。
压电材料可以看作是无数个有限振动单元体构成的，内能密度可以表示为
(2)
将式(1)带入式(3)
(3)
同理，基板的内能密度
(4)
由此可以解出悬臂梁的总能量
U=∭
(5)
若在悬臂梁端部施加一力F，则由外力在梁上任意一点x产生的力矩为
M=F(L-x)
(6)
式中，L表示压电振子的长度。
由E3=
，得到压电振子产生的电荷
Q=
=-
+-
(7)
最后，可以推出单晶片的电压输出模型
=
(8)
n=
=
(9)
B=
+
+
+
+
(10)
式中，tP是压电晶片的厚度，tm是基板的厚度，Ym和Yp分别表示压电片和基板的弹性模量，c是L/w的比值，S是压电片的面积。
1.2 双层晶片压电振子的建模
按照与单晶片压电振子建模相同的过程进行分析，可以推出串联压电振子的电压输出模型
=
=
(11)
同理，并联压电振子的电压输出模型
==
(12)
A=
+
(13)
式中，Ym和Yp分别表示基板和压电片的刚度系数。
2 双晶片压电振子的输出电压仿真分析
2.1 双晶片压电振子的基本参数
表1 压电振子的基本属性
双晶片压电晶体的面积为800mm，厚度为0.5mm；基板采用尺寸设置为60mm×40mm×1mm的结构钢；设置双晶片压电振子长宽的比例(L/w)分别为0.5、1、2、3和4等5种不同的值，在悬臂梁的端部分别施加外力F=20N。具体的双晶片压电振子的基本属性如表1所示。悬臂梁压电振子振动的边界条件为：悬臂梁双压电振子一端固定，另一端自由振动，在固定端的边界上，各点的挠度和转角都为零。设双压电晶片振子固定端到自由端的长度为L，因此有限元分析时的边界条件为[10]
(14)
在ANSYS 15.0有限元仿真中，双晶片压电振子的面积保持一定的条件下，基板和不同长宽比(L/w)的压电振子的网格划分与变形量的云图如图3和图4所示。
图3 基板和不同长宽比的压电振子的网格划分
(a)L/w=0.5；(b)L/w=1；(c)L/w=2；(d)L/w=3；(e)L/w=4
图4 基板和压电振子的变形量云图
(a)L/w=0.5；(b)L/w=1；(c)L/w=2；(d)L/w=3；(e)L/w=4
由基板和双晶片压电振子的变形量云图可得到，在双晶片压电振子面积一定的条件下，在悬臂梁的自由端施加外力F=20N时，基板的最大形变量随着压电振子的长宽比(L/w)值的逐渐增大而增大。与此同时，双晶片压电振子的固定端的形变量也在逐渐增大，对应得产生的输出电压也在逐渐增大。
2.2 数值模拟和有限元仿真的分析比较
根据式(11)和式(12)，利用MATLAB分别对串并联双晶片压电振子的输出电压进行计算。在ANSYS 15.0中分别建立串并联双晶片压电振子的有限元模型，并查看电压的输出结果。在同一坐标系中比较双晶片串并联压电振子电压输出值解析解和有限元模拟的数值解，电压输出结果如图5和图6所示。
图5 双晶片串联压电振子解析解和数值解的比较
图6 双晶片并联压电振子解析解和数值解的比较
根据图5和图6电压输出结果的比较，当以结构钢为基板时，双晶片串并联压电振子的电压输出值的解析解和有限元模拟的数值解基本吻合，而且呈线性变换的关系，验证了数学建模的正确性；无论双晶片压电振子的长宽比取何值，双晶片并联压电振子的输出电压总会是双方晶片串联压电振子的电压输出值的两倍，验证了数学建模的正确性；双晶片串并联压电振子的电压输出瞬值很高，可以达到上百伏甚至更高。
3 结论
针对压电发电装置中普遍采用的悬臂梁结构，利用MATLAB和ANSYS仿真软件，对双晶片压电振子的结构尺寸和压电片的连接方式对输出电压性能的影响进行了研究。文章建立了双晶片串并联不同尺寸压电振子的数学模型，并对不同尺寸下的输出电压求取了解析解，将结果与有限元分析的数值解进行了比对，且基本吻合，验证了所建数学模型的正确性。计算结果均表明，双晶片压电振子在串联的情况下输出的电压是最高的；同时，验证了串联双晶片压电振子的输出电压是并联双晶片压电振子的输出电压的2倍。若压电片的尺寸是一定的，当悬臂梁的自由端端部受到相同的外力作用时，悬臂梁压电振子的输出电压与压电片的长宽比呈线性关系，即随着压电片长宽比(L/w)的增大，输出的电压越大。
