气垫导轨实验中误差分析及修正

在气垫导轨实验中,由于气垫的漂浮使在力学实验中难以处理的滑动摩擦力转化为气层间的粘滞性内摩擦力,使该因素引起的误差减小到近可忽略的地位,其次又采用了光电计时手段,使时间的测量精度达到10-3级,基于以上两方面的优点,近年来利用气垫导轨开设了许多实验,收到了良好的教学效果,但也存在一些不足,即由于所采用的实验测量方法不恰当或对实验过程中应予考虑的系统误差未作修正,使实验结果的误差比预期大得多,影响了这一新型教学仪器的作用,因而如何采用合理的实验方法深入分析气垫实验的误差来源并进行修正,就成了气垫实用发挥验中亟待解决的问题。

实验中的误差大致由四方面引起：1.导轨本身变形。2.计时装置的光电转换系统的不等时性。3.滑块在运动中所受各种阻尼。导轨和滑块之间由于气流的相对运动而产生的一种内摩擦力(粘滞性阻力)的影响,使得实验结果却往往和理论上所预期的结果偏离较大。4.气源所供气体流量、气压不稳定。

1 气垫层阻力的来源分析

气垫层的阻力主要来自下面几个方面：

(1)滑块与气垫之间的内摩擦(粘滞)阻力

滑块在气垫上以速度ν运动时,滑块下方气垫中的空气以不同的速度运动,附在滑块上的空气速度为滑块速度ν,附在轨面上的空气速度为零,气垫中的空气速度由ν逐渐变为零,可以设想气垫中的空气分为不同速度的若干层,不同流速各层间的作用为内摩擦力。由内摩擦定律可知,内摩擦力ƒ粘由空气粘滞系数η,滑块与气垫相互接触面积A以及速度梯度三者决定。一般内摩擦阻力较小,数量级约为10-3 N,这正是气垫的优越性。

(2)滑块所受的摩擦阻力

由于导轨表面和滑块工作表面时间长而变形,光洁度也降低,滑块与导轨间“气膜”薄厚不均匀,甚至两表面在有些地方有接触摩擦。这种摩擦力时大时小,只能设法估算在整个过程中的平均值。

(3)滑块在运动过程中的振动阻尼

滑块在运动过程中不仅有纵向振动(上下起伏),而且还有横向振动(左右摇摆),由于滑块振动引起误差的现象称为振动阻尼,这种阻尼是由于气源的气压不稳引起的,并且有一定的随机性。因为在通过光电门的瞬间滑块振幅的大小是随机的,由此引进随机的挡光时间误差,因此振动阻尼的瞬时值难以估算,只能设法估算在整个过程中振动阻尼的平均值。

(4)滑块所受的气柱阻尼

由于滑块在导轨上要不断切割气柱(由小孔喷出的气流),受到气柱阻尼。滑块在运动过程中必定与气柱碰撞,受到一排排气柱冲量的作用,改变滑块的动量,而滑块的质量不变,则运动速度必定改变,这样就给运动滑块的速度带来了误差。

2 气垫层粘滞阻力的影响

滑块阻力ƒμ由气垫层粘滞阻力即ƒ1、喷射阻力ƒ2和非气垫层粘滞阻力ƒ3组成,即

气垫层粘滞阻力是滑块与导轨之间的气垫层相对运动所产生的粘滞阻力,它与哪些因素有关,下面进行定性分析：

在粘性气体中取一个假想截面,截面两侧气流沿截面不同速度运动,则截面两侧的气流具有沿截面的相对速度,两侧的气流间互相作用,以沿截面的切向力较快层流对较慢层流体施加向前的“拉力”,较慢层对较快层施加“阻力”,这一对力相当于固体间的“动摩擦力”,回为它是流体内不同部分间的摩擦力,在这里称这“内摩擦力”,也称粘滞力。

为了研究粘滞力的规律,引进一个速度梯度的概念,如上图所示,图中为粘滞气体内部某一点附近的流动情况,两部分气体以不同速度分别为ν1和ν2,建立直角坐标系o-xyz,y轴与气流速度ν1和ν2的方向垂直,且Δy表示ν1和ν2运动层流间的距离,有比值来描述在y点处流速对空间变化率。要满足这一要求,应该取Δy→0的极限,即,流速沿与速度方向的变化率为,即称速度梯度,它是一具反映速度随空间位置变化缓急的物理量。大量的实验证明,气体内无面两侧相互作用的粘滞力不公与速度梯度有关,而且与面元的面积有关,且都是正比关系,这样就可推出粘滞力的大小。它由下式决定：

式中表示滑块和导轨之间气垫层的速度梯度,A是滑块和导轨间的气层面积,η是空气的内摩擦系数,一般情况下,滑块和导轨之间气层的速度梯度是一个常数。

从而(2)式可写作：

式中cp是喷射阻力系数,ρ是气体压强,d气孔直径,n是滑块在单位时间内所经过的气孔数,n与滑块速度ν成正比,n=kν,于是：

称为气垫层阻尼系数,气垫层粘滞阻力可写成：

喷射阻力ƒ2由下式决定：

非气垫层粘滞阻力ƒ3是指滑块没有遇气垫层接触的外表面所受到的空气阻力。这些空气阻力是滑块前端的摒除本压阻力ƒp,滑块侧表面的气体摩擦阻力ƒ ƒ,滑块后部的气体旋涡阻力ƒe

做加速度实验时要求滑块从气垫导轨顶点静止滑下,滑块速度较低,而且空气的粘性较小,所以滑块处于低雷诺数下运行。根据低雷诺数时的斯托克斯阻力定律,非气垫层粘滞阻力ƒ3与空气阻力系数c,空气的粘性系数μ,滑块长度L和滑块速度ν成正比

式中的c,μ和L是不变的,因此非气垫层粘滞阻力ƒ3和滑块速度 ν成正比,令 b3=cμL,称为非气垫层阻尼系数,因此,非气垫惯滞阻力可写成：

令b=b1+b2+b3,称为粘滞阻尼系数,则

b值是反映导轨与滑块性能的一个综合性指标,其测定值可用来作为导轨与滑块优劣判据之一。

3 粘滞阻尼系数公式的推导

由于 m a=F-νƒ,有 ：

将滑块运动的初始条件s|t=0=0和ν|t=0=0代入方程得积分常数：

当气垫导轨完全水平且没有变形时(即滑块放在气垫导轨各个位置都能保持静止不动)F=0,代入(18)式 ,得

当导轨变形(中间拱起或中间凹陷)或导轨有一倾角θ时,则外力F不等于零,在此试验条件下

式中ν3和ν4分别表示滑块经过s2和 s1处的上滑速度。

由公式(20)和公式(21)经整理得