摘要：基于一维平面波理论和微穿孔结构吸声理论，推导双层微穿孔管消声器传声损失理论模型，并将理论计算值与三维有限元声学仿真结果进行对比，利用消声器传声损失理论公式，对比双层和单层微穿孔管消声器的传声损失，分析内外层膨胀腔厚度对双层微穿孔管消声器声学特性的影响。研究结果表明：双层微穿孔管消声器在中低频的传声损失要大于单层微穿孔管消声器；增加内外层膨胀腔的厚度，可以提高双层微穿孔管消声器的消声特性；当双层膨胀腔总厚度固定，外层膨胀腔厚度大时，消声器在中低频的声学性能更好。
关键词：平面波理论；双层微穿孔管消声器；传声损失；膨胀腔厚度
微穿孔板吸声结构具有高声阻和低声抗的特点，因而具有良好的吸声效果。其吸声理论的正确性已得到学者们的验证，并被广泛采用[1−5]。微穿孔板具有清洁、无污染及不受材料限制的优点，近年来被制作成管结构，应用于消声器结构。由于双层微穿孔板结构的吸声效果要比单层微穿孔板结构的更好，学者们开始利用双层微穿孔管消声器进行消声，并取得良好的降噪效果[6]。目前，国内外均没有直接计算微穿孔管消声器声学特性的理论公式，只是通过微穿孔板结构的吸声理论来设计消声器[7−8]。而微穿孔板吸声系数并不能很好地说明微穿孔管消声器的声学特性。因此，有必要提出微穿孔管消声器声学特性的理论模型，进行消声器的结构设计。微穿孔管消声器与穿孔管消声器消声原理类似，只是结构的声阻抗不同。因此，微穿孔管消声器声学特性计算可以参考穿孔管消声器的计算方法，并结合微穿孔板声阻抗理论。对于穿孔管消声器声学特性的理论计算，Munjal等[9−12]已对此进行了推导和阐述，季振林[13−14]也对直通穿孔管消声器的声学特性进行了分析。而目前学者们针对的穿孔管消声器都是单层结构，双层穿孔管消声器声学特性的理论计算却未见相关文献。本文作者结合一维平面波理论和微穿孔板吸声理论，推导了双层微穿孔管消声器的声学特性理论公式，并进行消声器的三维有限元仿真。将理论计算与声学仿真结果进行对比，分析了双层微穿孔管消声器的声学性能，为双层微穿孔管消声器的设计提供了理论依据。
1 理论模型
图1所示为双层微穿孔管消声器的结构，由2层微穿孔管结构和膨胀腔组成。消声器膨胀腔部分长度为L，两端内插管长度分别为la和lb，内外层穿孔管和膨胀腔内径分别为d1，d2和d0；内外层微穿孔管穿孔率分别为Pa和Pb。
图1 双层微穿孔管消声器结构示意图
Fig. 1 Schematic diagram of structure of double-layer micro-perforated muffler
声传递矩阵法的基础是一维平面波理论，因此假设平面波在微穿孔管消声器内传播，且整个过程是绝热的。
根据流体力学质量守恒和动量守恒定律，在内层微穿孔管内，有连续性方程和运动方程
(1)
(2)
同样在外层微穿孔管内，有
(3)
(4)
在膨胀腔内，有
(5)
(6)
其中：p1和u1分别为内层微穿孔管内声压和质点振速；p1a和u1a分别为外层微穿孔管内声压和质点振速；p2a和u2a为膨胀腔内声压和质点振速；v1为空气由内层微穿孔管流向外层微穿孔管的速度；v2为空气由外层微穿孔管流向膨胀腔的速度；ρ为声波传播过程中空气密度；ρ0为静态空气密度；t为时间。
由绝热过程，有
(7)
其中：c0为声速。
双层微穿孔板的相对声阻抗率分别为
(8)
令
，可得
(9)
根据微穿孔板结构吸声理论，式(8)中微穿孔板相对声阻抗率z1和z2可通过下式求出[1]
(10)
(11)
(12)
其中：z为声阻抗率；r和m分别为微穿孔板的声阻和声抗；d为穿孔直径；b为板厚；p为穿孔率；k为波数。
把式(7)与式(9)代入式(1)~(6)，整理得
(13)
式中：
；；
；
；
；
； 
。
由式(13)可得
(14)
其中：
。
令
方程(14)的解可以表示为
(15)
其中：[W]6×6为A矩阵的特征向量构成的矩阵；λ为A矩阵的特征值。
由式(15)可以得到x=0和x=lc处声压与质点振速的关系式。
(16)
式中：
消声器两端内插管处膨胀腔为一端开口一端闭口的直管，因此，在x=0和x=lc处膨胀腔内，有边界条件
(17)
结合式(16)与(17)可得
(18)
式中：
由此可得双层微穿孔管消声器传递矩阵关系式为
(19)
即
(20)
(21)
由文献[8]可知微穿孔管消声器的传声损失TL为
(22)
2 有限元模型
声波在管道内传播，当频率大于截止频率时，声音不再以平面波的形式传播，一维平面波理论也就不再适用。有限元方法是从三维的控制方程出发，可以准确地计算消声器内部声场。徐贝贝等[15]已经验证了三维有限元法计算穿孔消声器声学特性的正确性。本文利用有限元仿真来对理论模型进行验证。
假设消声器内部为非耦合声场，仅对消声器内部空气腔建模。双层微穿孔管有限元模型如图2所示，可分为4个部分，分别为进口、出口、空气腔和微穿孔管。模型采用了网格质量好的二维四边形单元和三维六面体单元。定义空气的密度为1.225 kg/m3，声速为340 m/s。
图2 双层微穿孔管消声器有限元模型
Fig. 2 Finite elements of double-layer micro-perforated muffler
在消声器进口处定义单位速度的平面波，出口处为无反射边界条件，即出口处声阻抗率z=r0c0。空气腔直接建立三维空气网格。微穿孔管采用传递导纳法进行建模，即在微穿孔板两边的网格之间定义一种传递导纳关系，来模拟这些小孔。这样，就可以避免直接建模时，由小孔引起的网格质量差和计算量大的缺点。传递导纳矩阵可以建立起微穿孔板两侧振速与声压的关系，即
(23)
式中：下标i和o分别表示微穿孔管内、外壁面。
3 理论模型验证
根据前面推导的声学特性理论公式对双层微穿孔管消声器传声损失进行计算。并进行消声器声学性能的三维有限元数值计算，来验证理论模型的正确性。由于理论计算是应用一维平面波理论，适用范围在截止频率以下。本文消声器传声损失计算结果均取截止频率内。
假设3种不同穿孔段长度的双层微穿孔管消声器，其结构参数如表1所示。图3所示为传声损失理论计算值与有限元仿真结果对比。
表1 双层微穿孔管消声器结构参数
Table 1 Structural parameters of double-layer micro-perforated muffler
L/mm：(a) 100；(b) 80；(c) 60
1—理论计算值；2—有限元仿真值
图3 消声器传声损失结果比较
Fig. 3 Comparison of transmission loss of muffler
由图3可以看出：双层微穿孔管消声器传声损失理论计算值与有限元仿真结果能够很好地吻合。以L=100 mm消声器为例，其理论值与有限元仿真值差距如图4所示。可见：其最大相对误差保持在6%以内，且出现在频率大于2 kHz时。这是由于该消声器的截止频率为4 kHz，在中低频处，消声器中基本为平面波，理论计算值可以很好地吻合有限元结果。在高频段某些频率处，由于高次波的影响，理论计算值会偏离有限元结果，出现误差。可见，理论模型可以预测消声器的传递损失。
图4 消声器理论与有限元传声损失相对误差
Fig. 4 Relative deviation of theoretical and FEM results
4 结果分析
设定微穿孔管消声器L=60 mm，la=lb=0 mm， d=0.5 mm，p=2%，b=0.5 mm。图5所示为双层微穿孔管消声器与单层微穿孔管消声器的传声损失曲线对比。从图5可以看出：双层消声器的第1个消声频带传声损失较大；而第2个消声频带传声损失小于单层微穿孔管消声器。因此，当需要消除中低频噪声时，可以考虑采用双层微穿孔管消声器结构。
1—d1=20 mm，d2=30 mm，d0=50 mm；2—d1=20 mm，d0=50 mm
图5 双层与单层微穿孔管消声器传声损失比较
Fig. 5 Comparison of transmission loss of double-layer and single-layer mufflers
图6所示为内层膨胀腔厚不变，外层膨胀腔厚变化对消声器声学特性影响。从图6可以看出：外层膨胀腔厚增加，第1个消声频带右移，传声损失增大；而第2个消声频带左移，传声损失减小。
1—d1=20 mm，d2=30 mm，d0=40 mm；2—d1=20 mm，d2=30 mm，d0=45 mm；3—d1=20 mm，d2=30 mm，d0=50 mm
图6 不同外层膨胀腔厚的传声损失
Fig. 6 Transmission loss of different thicknesses of outer expansion cavity
图7所示为外层膨胀腔厚不变，内层膨胀腔厚变化对消声器声学特性影响。从图7可以看出：内层膨胀腔厚度增加，第1个消声频带右移，传声损失增加；而第2个消声频带左移，传声损失稍有增加。
1—d1=20 mm，d2=30 mm，d0=40 mm；2—d1=20 mm，d2=35 mm，d0=45 mm；3—d1=20 mm，d2=40 mm，d0=50 mm
图7 不同内层膨胀腔厚的传声损失
Fig. 7 Transmission loss of different thicknesses of inner expansion cavity
图8所示为内外层膨胀腔总厚不变时，内外层膨胀腔厚度同时变化对消声器声学特性影响。从图8可以看出：外层膨胀腔厚度增加，即内层膨胀腔厚度减小，第1个消声频带右移，传声损失增大；而第2个消声频带左移，传声损失减小。这是内外层膨胀腔对消声器传声损失影响相互叠加的结果。由此可知，外层膨胀腔厚对消声器传声损失的影响要大于内层膨胀腔。
1—d1=20 mm，d2=30 mm，d0=50 mm；2—d1=20 mm，d2=35 mm，d0=50 mm；3—d1=20 mm，d2=40 mm，d0=50 mm
图8 不同内外层膨胀腔厚的传声损失
Fig. 8 Transmission loss of different thicknesses of inner and outer expansion cavities
综上可知：在设计双层微穿孔管消声器时，可以同时使内外层膨胀腔厚度尽可能的大；当双层膨胀腔总厚度固定，外层膨胀腔厚度较大时，消声器在中低频的声学性能更好。
5 结论
1) 结合一维平面波理论和微穿孔结构吸声理论，建立了双层微穿孔管消声器声学特性的理论模型，与有限元声学仿真结果进行对比，验证了理论模型的正确性，为双层微穿孔管消声器的设计提供了理论指导。
2) 比较了双层与单层微穿孔管消声器声学性能，在中低频时，双层微穿孔管消声器的消声量大于单层微穿孔管消声器。
3) 分析了内外层膨胀腔厚度对双层微穿孔管消声器声学性能的影响。增加内外层膨胀腔的厚度，可以提高双层微穿孔管消声器的消声特性；当双层膨胀腔总厚度固定，外层膨胀腔厚度大时，消声器在中低频的声学性能更好。
