椭圆滚动体直线导轨副误差建模与仿真*

直线滚动导轨副作为一种精密直线导向部件，由于其运行速度快、精度高、磨损量低、可靠性高及标准化等优良特性，被数控机械、医疗器械、自动化生产线、半导体制造装置、航空航天和汽车等领域广泛应用和关注，成为现代精密数控机床的关键核心技术之一，是国家战略性装备进步的关键技术.随着高速、高性能数控机床的发展，直线滚动导轨副的微观力学特性及精度损失规律逐渐成为导轨副研究主流.因此，进行导轨副综合性能的研究对提升我国滚动导轨的设计和制造水平具有重要意义.

郭成龙[1]针对某型滚动导轨进行了大量实验并分析出了滚动体类型对动刚度的影响、滚动体预紧力对滚动结合面动刚度的影响、载荷对滚动结合面动刚度的影响.许丹[2]推导了垂直力、水平力和转矩联合作用下直线滚柱导轨受力变形的基本方程.应用赫兹理论分析承载和变形的关系.文献[3]利用有限元法充分考虑滑块与导轨的接触层，分析了接触刚度的产生机理.浦秋林[4]用解析法计算了直线滚动导轨的法向刚度，并与有限元法得到的结果进行了对比.高永坤[5]分析出曲率比对导轨副刚度的影响，曲率比越小滚动导轨的垂直刚度越小.张巍[6]利用接触力学理论分析发现：接触角的变化对直线滚动导轨副的垂直和水平刚度的影响是明显的，提出刚度拐点和临界载荷的计算公式，并最终揭示日本导轨副刚度标注的外载荷大小的计算方法.马凡营[7]对滚柱导轨副进行静刚度的有限元分析，分析了滚柱导轨静刚度的主要影响因素.疏亚雅[8]研究了滚柱导轨副的静刚度性能以及静刚度的影响因素，同时建立了不同厂家对导轨副的测评体系.

目前，针对滚珠型普通滚动直线导轨刚度的研究较多，而对于椭圆(鼓形)滚动导轨副研究的较少.大多数学者仅计算导轨副一个或几个方向的刚度，对于计算受任意载荷时导轨副的5个方向的变形量则很少.本文基于赫兹接触理论，采用齐次坐标转换矩阵，建立椭圆滚动体滚动导轨副5个方向的接触精度变化模型，求出导轨副被施加任意外载荷情况下的5个方向的变形误差量.

1 受载变形坐标转换矩阵建立

首先建立滚动导轨副变形坐标系.如图1所示.设滑块受载后在z方向产生的线性误差为dz，在y方向产生的线性误差为dy.α，β，γ分别为绕x，y，z轴方向的偏转角.当滑块5个变形量较小时，坐标系O2相对于坐标系O1的坐标转换矩阵为1T2[12]，见式

(1)

文中以滑块为对象进行受力和误差分析.由于滑块和导轨变形较滚动体变形很小，本文仅考虑滚珠的变形.则可知承受外载荷后，与第i排第j个(设导轨有4排滚珠，每排同时有m个滚珠承载)相接触的滑块轨道曲率中心Os在坐标系O2中的坐标，设为(xij(2),yij(2),zij(2))，通过坐标转换，可得Os在坐标系O1中的坐标并表示为 (xij(1),yij(1),zij(1))，见公式(2)：

(2)

图1 滑块受载变形坐标系变化
Fig.1 Change of coordinate system of slider loaded deformation

图2为椭圆形或者鼓形滚动体与两侧滚道接触的几何参数.

图2 椭圆滚动体及接触几何参数
Fig.2 Elliptical rolling body and contact geometric parameters

同样可知，与第i排第j个滚珠接触的导轨轨道的曲率中心Og在坐标系O1中的坐标，并设为(x’ij(1),y’ij(1),z’ij(1)).则受载荷后第i排第j个滚珠中心与导轨轨道曲率中心之间的距离lij(2)，见式(3)：

(3)

由于滑块受载线变形量和旋转角度α，β，γ非常小，可以认为旋转转角即分别为导轨副滑块的扭转误差εx，εy，εz.

2 椭圆滚动体接触角分析

受载荷前第i排第j个滚珠中心与导轨轨道曲率中心之间的距离lij(1)，见式(4)：

(4)

式中，Db椭圆滚动体滚动接触面弧面的曲率直径；f为滚道曲率半径与滚动体滚动曲率直径的比值，也称之为曲率比.

由于受载荷影响每个滚珠的接触角会发生相应的变化，根据图3的几何关系，可得到式(5)：

(5)

式中，α′表示受载变化后的接触角.

为了消除滚珠与滚道之间的间隙并提高导轨的接触刚度，通常会给每列滚动体施加1个预紧力Q0，设滚珠在预紧力的作用下滚动体的中心相对导轨轨道产生的初始单边弹性变形为δ0.当下排滚动体由于受载与滚不再有力的作用时的载荷称为临界载荷.在额定载荷内，由于滚珠受载变形导致的接触角的变化量比较微小.因此，认为滚珠的变形主要是垂直于滚珠与滚道的接触面的，则受载荷后第i排、第j个滚珠的弹性变形为δij，见(6)：

δij=λ(lij(2)-lij(1))+λδ0

(6)

式中，λ根据滚珠所在的位置和受力情况相应的取值，当滚珠受外力与预紧力反向时λ=+1当滚珠受外力与预紧力同向时λ=-1.

图3 滚道曲率中心变化几何关系
Fig.3 Geometric relationship of raceway curvature center

3 椭圆滚动体-滚道间接触分析

图4为滚珠直线导轨副中椭圆滚动体和滚道接触截面图.导轨副受载后滚动体和滚道间形成椭圆形接触区域，a为椭圆形接触区域的长半轴长度，b为椭圆形接触区域的短半轴长度.主曲率面1为图4中经过椭圆接触区域长半轴的横截面，主曲率面2为过短半轴且与主曲率面1垂直的平面.

图4 滚珠与滑块滚道截面图
Fig.4 Contact diagram of ball and slider raceway

根据滚珠直线导轨副的结构特征可知，滚珠在主曲率面1中的曲率，见式(7)：

(7)

式中，Db为椭圆滚动体长弧面直径；ρ11为滚动体在主曲率面1中的曲率；

滚珠在主曲率面2中的曲率，见式(8)：

(8)

式中，Da为滚动体短弧面直径；ρ12为物体1在主曲率面2中的曲率.

滚道在主曲率面1中的曲率，见式(9)：

(9)

式中，ρ21为物体2在主曲率面1中的曲率；

滚道在主曲率面2中的曲率，见式(10)：

(10)

式中，ρ22为物体2在主曲率面2中的曲率.

由曲率∑ρ为滚珠和滑块滚道的4个主曲率的总和，由式(7)～(10)可得式(11)：

(11)

主曲率函数为式(12)：

(12)

综合式(7)～(12)可得式(13)：

(13)

滚珠与滑块滚道之间的接触满足Hertz接触条件，其接触区域为椭圆形区域.钢制滚珠直线导轨副接触变形计算公式为(14)～(16)[9]：

(14)

(15)

(16)

式中，Q为滚珠所受载荷；δ为滚珠变形量；∑ρ为滚珠和滚道的曲率和.

滚珠直线导轨副中滑块和滚珠使用的材料均为高碳络轴承钢GCr15，弹性模量E1=E2=208 GPa，泊松比v1=v2=0.3，因此式(14)～(16)可写为(17)～(19)：

(17)

(18)

(19)

式中，ma，mb，2K/πma是和椭圆主曲率函数相关的系数.依据主曲率函数和主曲率之和的值，查表可以得到ma，mb和2K/πma的值.对于给定型号的滚珠直线导轨副，2K/πma，∑ρ都是一个确定的常数，因此可以将式(19)简化为式(20)：

Q=k·δ3/2

(20)

式中，k为与滚珠直线导轨副自身特性相关的常数.

4 静力学方程的建立

如图5所示为滚动导轨副的静力学受力分析.

图5 滑块受力分析
Fig.5 Force analysis on slider

滚动直线导轨副中每列承载滚珠个数为ns，如导轨副受力图5所示，Fy，Fz分别为导轨副在y1轴和z1轴所受载荷，Mx，My，Mz分别为导轨副受到的绕x1，y1，z1轴方向的力矩，对导轨副进行力学分析可得式(21)：

(21)

5 精度模拟计算仿真

根据上面的理论分析结果，对新型滚动导轨副进行分析.如表1所示为椭圆滚动体滚动导轨副的各个物理参数.其中，α表示导轨副初始接触角.

表1 椭圆滚动型滚珠直线导轨副参数

Table 1 Parameters of elliptical linear rolling guide pair

对单个滚动体与滚道间的接触变形仿真结果如图6所示.由图中可以看出，椭圆滚动体与滚道间的赫兹接触变形呈非线性变化.

本文所研究扭转刚度即单位扭矩下产生的角度误差.因为在3个方向的扭转角度非常小，因此认为扭转角的弧度值即为角误差的值.

由图7可看出，当考虑接触角变化后，刚度曲线发生了变化，并且随着载荷的增加变化会更明显.

图6 单个滚动体接触力与弹性变形关系曲线
Fig.6 Curve of load and deformation of single ball

图7 考虑接触角变化后滚动体接触力与弹性变形关系
Fig.7 Curve of load and deformation considering the change of contact angle

图8 不同预紧力下导轨副弹性变形曲线
Fig.8 Curve of load and deformation of guide pairs

对不同预紧力作用下滚动导轨副的垂直误差描绘在图8中，由图8可以看出，预紧力越小，受同样载荷时，垂直误差越大.由于结构的对称性，外载荷对导轨副的水平误差与垂直误差结论一致.接触角对椭圆导轨副的绕y1轴的扭转刚度的影响见图9所示，相同预紧力下接触角从45°变为65°后，扭转刚度有所增加，扭转误差β有所减小.

图9 预紧力和接触角对扭转误差β的影响
Fig.9 Influence of preload and contact angle on torsional error β

图10 预紧力和接触角对扭转误差γ的影响
Fig.10 Influence of preload and contact angle on torsional error γ

图11 相同条件下导轨副α，β，γ的比较
Fig.11 Comparison of α,β,γ under the condition of no preload

由图10可知，预紧力的增加可明显的增加扭转刚度，接触越大，导轨副的扭转刚度越大.由图11可知，滑块运行方向的扭转刚度远小于垂直和侧向扭转刚度，且垂直刚度与侧向扭转误差非常接近.

6 结论

(1)通过分析椭圆滚动体导轨副的受载误差，可知，预紧力和接触角这2个参数都对直线度误差和扭转误差均有较大的影响.预紧力越大，线性误差小且越呈线性变化.预紧力的增加同时会使得导轨副的失效载荷增加.在临界载荷范围内预紧力使得变形误差量呈线性变化规律.

(2)接触角对直线滚动导轨的刚度的影响比较大.接触角小于45°时，随着接触角的增加，3个扭转刚度就越大，垂直误差量小于水平误差量.接触角大于45°时，随着接触角变小，3个扭转刚度就越大，垂直误差量大于水平误差量.另外，接触角的变化也会改变刚度发生转折的临界载荷值.

(3)通过分析可知，直线导轨副的滚摆扭转误差比偏航和俯仰2个扭转误差小得多.直线导轨在运行和受载时，更容易发生滚摆扭转.另外，滚动导轨的偏航扭转误差和俯仰扭转误差的数值基本是相同的.