摘要：在某些应用中，静压气体球轴承同时受轴向力和侧向力的作用，研究轴承的侧向承载特性十分必要。提出一种基于计算流体动力学(CFD)、三维稳态可压缩Navier-Stokes方程的数值解法，将适用于可压缩流体的改进的SIMPLE算法应用于离散方程的求解。分析中心气膜厚度和几何参数对球轴承侧向承载特性的影响，并将数值模拟结果和实验结果进行对比。研究结果表明：采用改进的SIMPLE算法对轴承流场分析结果可以较真实地反映其侧向特性；中心气膜厚度h较大时(h＞20 μm)，轴承侧向承载力随偏心率的增加而增加，且它们近似线性；轴承半径和球窝外包角对侧向特性影响很大，侧向刚度与半径的平方近似成正比。
关键词：侧向承载特性；气体球轴承；数值模拟；偏心率
由于气体容易获取且摩擦非常小，在高速和轻载轴承中，气体常用于润滑剂[1]。自20世纪60年代以来，随着科学技术的发展和国防、工业发展的需要，气体轴承在精密测量仪器、精密机械、航空航天、电子工业和微机电系统(MEMS)等领域得到了广泛的应用[2−3]。静压气体球轴承具有同时承受径向和轴向负载、3个转动自由度及自动调心等优点，有利于提高主轴的回转精度[4]，早期主要应用在卫星控制系统全物理仿真气浮台上，其研究几乎与卫星的研制同时展开，并在精密测量仪器及超精密机床的主轴中得到了广泛的应用[5]。许多学者对静压气体球轴承的静态特性进行了理论和实验研究，如：Coreu等[6]在缺乏理论基础的情况下，进行了大量实验，证实了气体作为球轴承工作介质的可行性；John等[7]进一步研究了气体球轴承的静态特性，基本建立了静态特性分析的基本理论。刘暾等[8]采用变分方法进行有限元离散，给出了多孔开式气体球轴承静态特性的计算公式和计算实例；郭良斌等[9]基于有限元的分布参数法和有限体积法对多孔闭式球轴承的动静态特性进行了系统的研究，结果表明此类轴承具有优良的工作稳定性。但以上研究大多是针对静压气体球轴承的轴向承载特性，而对轴承的侧向特性却很少涉及。在早期的卫星控制系统全物理仿真气浮台中，气体球轴承仅受到载物台和负载的重力作用，侧向不受力，仅研究轴向承载力即可满足应用需求。而随着其应用范围的扩大，如在精密机床主轴和质量特性测试平台[10]中，球轴承均同时受轴向力和侧向力的作用，侧向承载特性已成为球轴承的重要性能指标。本文作者以基于质量特性测试平台的新型环面节流多孔开式静压气体球轴承[11]为研究对象，建立其偏心工况下的三维计算模型，采用数值计算和实验验证相结合的方式，对轴承的侧向特性进行分析。由于气体球轴承在偏心工况下，轴承间隙流场不再对称，计算域呈较复杂的几何结构，因此，采用混合网格对球轴承进行网格划分，利用有限体积法离散三维稳态可压缩Navier-Stokes方程，并引入改进的适用于可压缩流体的SIMPLE算法，应用于气体球轴承控制方程的求解。分析偏载工况下轴承侧向承载特性及其影响因素，为新型静压气体球轴承的结构设计提供一定的理论依据。
1 静压气体球轴承结构
新型静压气体球轴承示意图如图1所示，采用多孔开式环面节流结构。图中：R1为球头半径，O1为球头球心；R2和O2分别为球窝半径和球窝球心，θ2为球窝外包角；θ1为供气孔包角，6个供气孔圆周均匀分布，直径为d0；球头正下方连接一扭杆，直径为d1，球窝中心孔直径为d2；中心气膜厚度为h。供气压力为ps，气体通过环面节流口和轴承间隙至出口，流出气膜边界，降至环境压力pa。
图1 静压气体球轴承结构示意图
Fig. 1 Structure of new type spherical air bearings
假定受到1个X轴正向的水平力F，轴承产生一水平偏移e，此时右侧(X轴正向)的轴承间隙减小，左侧(X轴负向)的轴承间隙增加，轴承间隙关于Z轴将不再对称，如图2所示。
图2 水平偏心示意图
Fig. 2 Sketch of bearing horizontal eccentricity
2 球轴承流场的数学模型
静压气体球轴承在偏载工况下受到水平力的作用，流场非轴对称分布，因此，需要对整个计算域进行计算。对于气体润滑问题，气膜的厚度通常只有几十微米，远小于其他2个方向的尺寸，为了减小截断误差、避免计算发散，在网格划分中主要采用非结构六面体网格和棱锥体网格。在进气孔附近及球窝中心气体出口周围，压力和速度变化较为剧烈，采用结构化六面体网格进行划分并进行局部加密。
2.1 控制方程
在笛卡尔坐标系中，三维稳态可压缩流体的控制方程如下[12]。
1) 连续性方程：
(1)
式中：div(·)为散度符号；ρ为气体密度；u为速度向量。
2) 动量方程：
(2)
式中：u，v和w分别为速度向量u在x，y和z轴的分量；μ为气体动力黏度；grad为梯度；p为气体压力；Su，Sv和Sw为动量方程的广义源项。
3) 能量方程：
(3)
式中：T为温度；k为传热系数；cp为比热容；ST为黏性耗散项。
将方程(1)~(3)写成如下通用形式：
(4)
式中：f为通用变量；Γ和S分别表示广义扩散系数和广义源项。
由式(4)可以得到通用控制方程的积分形式：
(5)
式中：P0为控制体；
和
分别为控制体P0的体积和表面积；A为控制体界面的面积向量，由A1，A2，…，AN构成，Ai (i=1，2，…，N) 的正方向与外法线单位向量一致，对于六面体网格单元和棱锥体网格单元，N分别为6和5。
对于控制体P0，式(5)可进一步写为
(6)
式(6)中从左到右3项分别为对流项、扩散项和源项。
2.2 控制方程的离散
在进行表面积分和体积积分时，全部采用中点法则[13]对控制方程进行离散处理。将式(6)中的对流项、扩散项和源项分别离散，可以得出控制体P0的离散控制方程，其一般形式如下：
(7)
式中：a0为中心系数；aj为相临单元影响系数；b0为源项的常数部分。
对于离散的控制方程，为了避免迭代过程发散，通常采用欠松弛技术。欠松弛因子可以直接组织到代数方程组的求解过程中，即欠松弛因子被包含在最终生成的代数方程组主对角系数中[14]。所以，式(7)给出的离散控制方程在实际处理中改写为
(8)
式中：
为变量f的欠松弛因子，
为
上次迭代的计算结果。
2.3 边界条件
气体进出口分别采用压力入口、压力出口边界，边界条件为：
1) 压力入口压力pi等于ps；
2) 压力出口压力po等于pa。
2.4 控制方程的求解
采用适用于可压缩流体的改进的SIMPLE算法对离散控制方程进行求解，其基本步骤为[15−16]：
1) 假定压力场和密度场，分别以p*和ρ*表示，开始迭代过程。
2) 利用假定值p*和ρ*求解动量方程，求得速度u，v和w，标记为u*, v*和w*。
3) 由于压力场p*和密度场ρ*是假定的，由此得到的速度场u*，v*和w*将不一定满足连续性方程。因此，利用连续性方程，设定1个压力修正值p′并与p*求和，求得较好满足连续性方程的速度场，即修正后“正确”的压力场p为
(9)
通过p′，可以得到速度修正值u′，v′和w′与密度修正值ρ′。因此，修正后的u，v，w和ρ如下式所示：
(10)
(11)
4) 返回步骤2)，以p和ρ代替初始值p*和ρ*，重复迭代计算，直到得到对连续性方程满意的速度场为止。
3 侧向承载特性分析
球轴承的侧向承载特性，是指侧向承载力、侧向刚度等，它们是轴承的宏观特性，主要与轴承的结构尺寸、供气压力、气膜厚度等有关。
气体轴承的基本结构参数如下：球头半径等于球窝半径R1=R2=50 mm；供气孔包角θ1=30°，球窝外包角θ2=60°，供气孔数量为6，供气孔直径为d0=1 mm。球窝中心孔直径为d2=26 mm，与球头相连的扭杆直径为d1=24 mm。气体参数设置如下：环境温度为20 ℃，环境压力为标准大气压，空气密度为ρ=1.226 kg/m3，气体动力黏度为μ=1.833×10−5 Pa∙s。
在偏载工况下，轴承沿水平方向偏移，产生水平偏心e，为了便于分析，定义轴承水平偏心率δ为e与中心气膜厚度h的比值，侧向刚度Kf为中心气膜厚度一定时，侧向力随水平偏心率δ的变化量。其计算公式为
(12)
式中：f为轴承的侧向承载力；Δδ为δ的计算间隔。
3.1 数值模拟的有效性分析
偏心e值很小，且直接侧向加载难度较大，因此，本文采用力和力矩平衡的原理对球轴承的侧向承载力进行测定，原理图如图3所示。图中，负载质心为C，轴承轴向承载力W=mg，则有mg∙l=F∙L，在水平方向f=−F。因此，采用力传感器测得F即可得轴承的侧向承载力f。侧向力实验台如图4所示，实验中采用质量块对轴承进行加载，电感测微仪测量轴承偏心e。通过改变负载的质量和位置可以得到不同的侧向力f及其对应的轴承偏心e。
图3 侧向力测量原理示意图
Fig. 3 Sketch map of lateral force measurement
图4 侧向承载力实验台
Fig. 4 Test bed of lateral carrying force
供气压力ps=0.4 MPa、气膜厚度h分别为40 μm和60 μm时侧向承载力的数值模拟与实验结果的对比图如图5所示。从图5可以看出，侧向力f随水平偏心率δ的增加而增加，当δ较小时，实验结果与数值计算结果基本一致；当δ较大时，实验结果和数值计算结果相比有一定偏差，但变化趋势一致；在h=40 μm时，两者的最大偏差约为14%；在h=60 μm时，两者最大偏差约为11%。这是因为实验用球轴承存在一定的尺寸误差，当水平偏心率δ较大时，轴承一侧的间隙较小，其圆度误差、粗糙度、供气孔尺寸误差等因素对侧向力的影响增大，且h较小时这种影响更为明显。以上分析结果表明：采用本文的流场模型对轴承侧向特性 进行研究，结果较精确，可以真实反映轴承的侧向特性。
图5 侧向承载力与偏心率的关系
Fig. 5 Relationship between lateral force and eccentricity ratio
3.2 气膜厚度对侧向承载特性的影响
供气压力ps=0.4 MPa，不同气膜厚度下轴承的侧向力和侧向刚度如图6所示。从图6可以看出，轴承侧向力f随δ的增加而增加，且当h=20 μm，40 μm和60 μm时侧向力f和δ近似线性关系，侧向刚度Kf随δ的增加略有增大；当偏心率相等时，h=20 μm的侧向力最大，h=10 μm的侧向力仅比h=60 μm的大。这是因为气膜厚度较小时，节流效应明显，轴承的水平偏心对气膜内压力分布影响较小。值得注意的是，当h较小(h=10 μm)、偏心率δ≥0.3时，侧向刚度Kf明显减小，侧向力f随δ的增加较慢。
(a) 侧向力；(b) 侧向刚度
h/μm：1—10；2—20；3—40；4—60
图6 气膜厚度对侧向承载特性的影响
Fig. 6 Effect of air film on lateral carrying characteristic
3.3 轴承半径对侧向承载特性的影响
半径是气体球轴承最关键的参数，对侧向承载特性有着直接的影响。改变轴承半径R，轴承结构和其他几何参数不变，供气压力ps=0.4 MPa、气膜厚度h=20 μm时不同半径R的侧向力和侧向刚度如图7所示。从图7可以看出：侧向力和侧向刚度随轴承半径的增加而大幅增加。f和δ近似线性；随着δ的增大，侧向刚度略有增加；当δ相同时，侧向刚度Kf与半径R的平方近似成正比，δ=0.2时，
，
，则有
。因此，对于此类轴承，在设计中，以某半径R*为基准，可以用以下公式估算δ一定时任意半径的侧向刚度：
(13)
(a) 侧向力；(b) 侧向刚度
R/mm：1—30；2—40；3—50；4—60；5—70
图7 轴承半径对侧向承载特性的影响
Fig. 7 Effect of radius on lateral carrying characteristic
3.4 球窝外包角对侧向承载特性的影响
结构和其他几何参数不变时，球窝外包角决定了气体球轴承的侧向受力面积，对侧向承载特性有很大的影响。改变外包角θ2，供气压力ps=0.4 MPa、气膜厚度h=20 μm时的侧向力和侧向刚度如图8所示。从图8可见，当θ2增加时，侧向力也随之大幅增加。比如图8(a)中，在δ=0.2时，
N，
N，后者是前者的5.36倍，这是由轴承侧面的受力面积快速增加，且压力分布不对称导致的。但θ2较大时，轴承侧面间隙过小，将使轴承的偏心率受到限制。如θ2=70°时，轴承侧面边缘间隙只有中心气膜厚度的0.36倍，必有δ＜0.36；而在
=75°时，δ＜0.26。另外，由图8(b)可知：在为70°和75°且δ较大时，侧向刚度快速下降。因此，考虑到轴承加工装配中的误差，球窝外包角θ2＜70°。
(a) 侧向力；(b) 侧向刚度
θ1/(°)：1—25；2—30；3—35；4—40；5—45
图9 供气孔包角对侧向承载特性的影响
Fig. 9 Effect of wrap angle of air intake on lateral carrying characteristic
3.5 供气孔包角对侧向承载特性的影响
供气孔包角对轴承间隙的压力分布起着决定性作用。供气压力ps=0.4 MPa，气膜厚度h=20 μm、改变供气孔包角θ1，侧向力和侧向刚度与δ的关系曲线如图9所示。随着供气孔包角θ1的增加，气膜高压中心外移，轴承间隙的压力分布也随之发生变化。从图9可以看出：当h=20 μm时，侧向力和侧向刚度随着的θ1增加而减小。但进一步研究发现，若增加气膜厚度h，则侧向力和侧向刚度又呈现不同的变化规律。
综上所述，气体球轴承的几何参数对侧向承载特性的影响很大。球轴承侧向刚度随着轴承半径的增加而大幅度增加，但轴向承载力也相应增大，导致相应负载下的气膜厚度增加，反过来影响轴承的侧向刚度。对于侧向刚度而言，增加球窝外包角θ2是有利的，但θ2过大，会导致轴承侧面边缘的间隙过小，给轴承加工带来困难。因此，在应用中应综合考虑相关因素，选择合适的几何参数。
4 结论
1) 将改进的SIMPLE算法引入到新型静压气体球轴承侧向承载特性的数值模拟中，并设计了侧向承载力实验。数值模拟和实验结果对比分析表明，采用本文的流场模型对轴承侧向特性进行研究，结果较精确，可以真实反映轴承的侧向特性。
2) 当中心气膜厚度较大时(h＞20 μm)，轴承侧向承载力f随δ的增加而增加，且它们近似线性，侧向刚度随δ的变化较小。
3) 几何参数方面，气体球轴承半径对侧向特性的影响很大。侧向力和侧向刚度随轴承半径的增加而大幅增加，且侧向刚度Kf与半径R的平方近似成正比。
4) 在一定范围内，球窝外包角θ2对侧向特性的影响最大，侧向力随θ2增加而大幅度增加。但θ2较大时，轴承侧面间隙过小，将使轴承的偏心率受到限制，考虑加工装配因素，设计中θ2＜70°。供气孔包角θ1对侧向特性有一定影响，但气膜厚度不同时，侧向特性随θ1呈现不同的变化规律。
