干气密封气膜－密封环系统轴向振动动力稳定性分析

干气密封技术源于国外，解决了多年来机械密封一直不能干运转的难题，在高速透平机械和泵、反应釜等低速运转设备的轴端密封中得到了广泛的应用［1－2］，其密封技术主要体现在动压效应和稳定性方面，因而保证气膜－密封环动态稳定性是干气密封可靠运行的关键［3］。Green等［4］用有限体积法同步的解润滑方程和动力学方程，得出了一些密封参数诸如转动惯量、转速、锥度、压力等对动力学稳定性的影响，给出了密封稳定运行的临界转速。Miller等［5］对螺旋槽端面密封环在轴向和2个角向自由度上的运动加以分析，用直接数值频率响应法计算气膜的刚度和阻尼特性;Miller［6］利用半解析法求解瞬态雷诺方程，获得了气膜特性规律。Zhang等［7］建立了三自由度(1个轴向，2个角向)的微扰运动方程，并用正交分解法求得了密封环三维运动规律。

刘雨川、徐万孚［8－9］按照小扰动线性化的分布参数法，联立气膜微扰雷诺方程和浮环运动方程，对角向摆动自振稳定性界限进行了数值分析;杜兆年，丁雪兴等［10－11］用微扰法、近似解析法对轴向振动和角向涡动下一些气膜动态特性参数进行了计算。张伟政等［12］利用龙格－库塔法求解轴向振动方程，获得了不同螺旋角和槽深响应的振动相轨图和时间历程图，并分析了螺旋角和槽深对振动位移的影响。但在气膜和密封环流固耦合动态稳定性方面研究很少，尤其在结构参数对角向稳定性的影响方面未作研究。本课题应用振动理论来研究干气密封气膜－密封环流固耦合系统的稳定性问题，寻求控制系统稳定运行的结构参数区域，从而指导干气密封的优化设计。

1 基本方程的建立及求解

图1 气膜－密封环系统轴向振动模型
Fig.1 The model of the gas film and seal ring subjected to axial vibration

振动方程为:

式中:m为静环的质量;Ke为弹簧刚度;Kg为气膜刚度;Cg为气膜阻尼，x(t)为静环振动位移;xd为动环振动位移;b为动环振幅;ω为轴向振动频率。

2 非线性气膜动态特性参数的计算

选取文献［13］中实验参数:实验气体为空气，内径Ri=58.42 mm，外径 R0=77.78 mm，介质压力 p0=458.52 kPa，环境压力 pi=101.3 kPa，螺旋槽数 n=10，螺旋角 α =75°，转速 nr=10 380 r/min，粘度 μ =1.8×10－5 Pa·s，槽深2E=5 μm，密封间隙(气膜厚度)δ=3.05 μm，静环质量 m=8.04 ×10－2 kg，动环振幅b=10μm。

应用PH线性化方法及变分运算干气密封螺旋槽内瞬态微尺度流动场的非线性雷诺方程，得到气膜角向涡动刚度的解析式。利用复数转换和迭代法对稳态下气膜边值问题进行求解，求得气膜轴向刚度的近似解析解。由于定义的微扰量为复数，所以稳态下Reynolds方程的微扰动态压力也是复变量，其实部和虚部，分别对应于气膜的刚度和阻尼。

无量纲气膜轴向刚度、轴向阻尼［10］:

式中:

气膜轴向摆动刚度:

为求解方便，本文仅对振动敏感参数螺旋角作为变量来研究分岔问题，因而将其他结构参数作为已知量，则相应的振动参数变为:

拟合气膜非线性刚度:

拟合气膜非线性阻尼:

由轴向追随性可优化出弹簧刚度(取追随性系数等于 0.4)

3 方程的简化

将式(5)、式(6)代入式(1)中，两边同除以m得:

式中:

则方程变为:

其中:

其中:

4 系统稳定性分析

4.1 用Floquet指数方法研究系统分岔问题

在无外激励的条件下(g'=0，g~=0)，方程(9)变为:

有两个平衡点:

在平衡点(0，0)处Floquet指数为:

4.2 研究系统分岔问题的螺旋角范围

当0＜c'＜2时，代入文献［13］的数据，经计算对应螺旋角 74°41'34″＜ α ＜ 75°13'26 时为不相等的复数，在复平面上有稳定的焦点。

当c'=2时，代入文献［13］的数据得，α=74°41'34″时，λ1，2= － 1 为相等的负数，平衡点为临界结点。

当c'＞2时，代入文献［13］的数据得 α ＜74°41'34″为不等的负数，平衡点为稳定的结点。

图2 相图
Fig.2 Phase plane

当c'=0时，代入文献［13］的数据得α=75°13'26″时，λ1，2=±i为纯虚数，解的曲线是极限环，发生Hopf分岔，如图2。

若有必要，同样可求出在平衡点

通过以上对系统的稳定性分析，计算出了控制系统稳定运行的结构参数区域，即螺旋角范围 α＜75°13'26″时系统运行稳定，由文献［14］利用直接数值模拟法求解轴向振动方程，得到当螺旋角α=75°16'9″时，系统有混沌现象发生，当螺旋角α=1.307 191 81 rad=74°53'48″时，系统运行稳定，验证了本结论的正确性，在工程机械中可推广应用。

4.3 变工况下系统分岔问题的螺旋角范围

4.3.1 转速下降和压力减小时的分岔分析

当0＜c'＜2时，将转速下降至8 400 r/min，压力减至3 MPa时，经计算得对应螺旋角74°38'35″＜α＜数，在复平面上有稳定的焦点。

当c'=2时，将转速下降至8 400 r/min，压力减至3 MPa 时，经计算得对应螺旋角 α =74°38'35″时，λ1，2=－1为相等的负数，平衡点为临界结点。

当c'＞2时，将转速下降至8 400 r/min，压力减至3 MPa 时，经计算得对应螺旋角 α ＜74°38'35″时，λ1，2=结点。

当c'=0时，将转速下降至8 400 r/min，压力减至3 MPa 时，经计算得对应螺旋角 α =75°12'36″时，λ1，2=±i为纯虚数，解的曲线是极限环，发生Hopf分岔。

4.3.2 转速上升和压力增大时的分岔分析

当0＜c'＜2时，将转速上升至11 096 r/min，压力增至9.45 MPa，经计算对应螺旋角 74°43'4″＜ α ＜数，在复平面上有稳定的焦点。

当c'=2时，将转速上升至11 096 r/min，压力增至9.45 MPa，经计算得对应螺旋角 α =74°43'4″时，λ1，2=－1为相等的负数，平衡点为临界结点。

当c'＞2时，将转速上升至11 096 r/min，压力增至9.45 MPa，经计算得对应螺旋角 α ＜74°43'4″时，λ1，2=为不等的负数，平衡点为稳定的结点。

当c'=0时，将转速上升至11 096 r/min，压力增至9.45 MPa，经计算得对应螺旋角 α =75°14'3″时，λ1，2=±i为纯虚数，解的曲线是极限环，发生Hopf分岔。

5 结论

通过特例下对气膜－密封环系统轴向振动动力稳定性分析，得到当螺旋角 α=75°13'26″时系统发生Hopf分岔，从而给出了使干气密封系统稳定的螺旋角范围，改变工况其分岔点位置基本不变。今后可通过该程序进行轴向振动动力稳定性分析，为干气密封的优化设计提供理论指导。由于干气密封系统是一复杂的非线性系统，其中的分岔行为还有待实验验证。