低载液率液体晃荡冲击压力的试验研究

液体晃荡问题广泛存在于配置有储液舱的大型运载设备中，由于运载设备的运动从而导致舱内液体发生剧烈的晃动。晃荡导致的载荷主要有局部冲击载荷和整体力矩，其中储液舱结构中巨大的局部冲击载荷会对液舱结构造成局部失效甚至破坏。关于晃荡导致的局部冲击载荷研究又包括冲击载荷的统计特征、分布规律以及波浪破碎对冲击载荷的影响等内容。

Faltinsen等[1-2]采用多模态方法发展了矩形液舱中流体晃动问题的非线性解析解。Hill[3]也应用该方法研究了共振时流体自由液面运动的瞬态特征。针对不同装载深度下的二维矩形液舱，Yang等[4]分别采用CIP方法和SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)方法对共振横荡和横摇激励下的晃荡现象进行了数值模拟，Hu等[5]则分别采用CIP(Constrained Interpolation Profile)方法和MPS(Moving Particle Semi-implicit)方法对横摇晃荡现象进行了对比研究。王元战等[6]对破碎冲击作用下防波堤的弹性振动-摇摆运动过程进行数值摸拟，研究了摇摆运动对防波堤位移、转角、滑移力和倾覆力距的影响。Lee等[7]利用数值模型解释了流体黏度，密度比以及可压缩性对晃动载荷的影响。唐宇航等[8]从单自由度系统简谐激励振动理论入手，指出响应解析解中常被忽略的伴随自由振动项是导致高频振动的一个因素。倪广健等[9]采用波有限元法分析了流固耦合结构中的波传导问题。Zhao等[10]基于势流理论结合人工阻尼研究了LNG液舱中的非线性晃荡现象。Battaglia等[11]采用LS法改进三维晃荡模型，避免了长时间模拟计算结果的非物理质量损失。由于影响晃荡的因素较多，导致液体砰击舱壁的现象非常复杂，无论是线性理论或是非线性理论对冲击载荷的预测都存在一定的误差，因此基于这些理论的数值模拟也就无法充分考虑真实的物理现象尤其是破碎掺气对冲击载荷的影响，也难以准确地揭示晃荡冲击载荷的统计特征及分布规律。相比较数值模拟，晃荡模型实验能更真实地反映液舱内液体晃荡的复杂物理现象。

因此模型实验方法被广泛用于探讨液体晃荡对舱壁的冲击载荷问题。卫志军等[12]采用大尺度模型实验研究了矩形液舱内液体晃荡产生的冲击压力分布特征，分析了在不同载液率、振幅和频率下的冲击载荷及其统计特性、时空分布规律等，发现低载液率时自由液面附近冲击载荷较大，而高载液率时顶部冲击载荷较大，30%载液率下自由液面处冲击载荷最大的规律。Pistani等[13]开展了LNG液舱的正弦横荡实验，以39 kHz的采样频率和10 min的采样时间分别在19个数据采集点获取了大量数据，并且结合高速图像采集技术分析了冲击载荷与液体砰击舱壁形式之间的联系。杨志勋等[14]通过模型试验研究了规则激励下二维液舱晃荡试验的尺度效应问题，发现气液密度比是导致模型和原型结果之间存在较大差异的重要原因，并且发现液体对舱壁的冲击可以分为静水面附近区域、静水面以上区域和静水面以下区域三个区间。陈晓东等[15]开展了面向储舱结构设计的晃荡实验研究，发现了由于液气两相相互作用引起的晃荡冲击载荷幅值变大且冲击上升时间变短的特性，并且提出了长期不规则激励下，由载荷峰值、上升及持续时间、偏斜度组成的三角脉冲载荷模型。Kim等[16]则通过实验比较了压电式传感器、压阻式传感器和ICP压力传感器在不同实验条件下对实验结果的影响。Lyu等[17]通过与PIV、压力传感器采集的数据与数值模拟结果的对比，研究了三种不同自由表面追踪方法对数值模拟预测效果的影响，并讨论了自由表面附近的气泡现象。Tosun等[18]设计了一种基于图像处理和势流理论相结合的方法来追踪自由表面并计算了在一阶固有频率附件的晃荡压力。Malenica等[19]发现晃荡实验的比尺效应不仅影响到冲击载荷的最大值，也会关系到冲击时间，而且冲击事件的时间特征和结构响应的联系是非线性的并取决于冲击特性和结构的固有频率。Xue等[20-21]采用数值及试验先后研究了三维晃荡模型中环型挡板及四种垂直挡板的减晃机理。Milkelis等[22]通过二维棱形液舱模型试验研究了晃荡压力和力矩作用。Hattori等[23]通过对不同类型破碎波的试验研究，发现当波面与壁面之间存在气隙时会出现压强峰值现象。Izawa等[24]发现在微型圆柱形液舱内可通过减小界面张力引起固有频率的增加从而达到减晃的目的。

上述研究表明，冲击载荷的统计特征及分布规律等仍需要开展研究，尤其是低载液率剧烈晃荡中，波浪破碎后大量气泡掺入引起的冲击压力随机性随外激励频率的变化规律还鲜有报道。为此，在该研究中，我们将基于电动运动模拟平台试验开展低载液率浅水晃荡冲击压力在较宽频率范围内的扫频试验，重点分析晃荡冲击压力及试验数据可重复性随外激励频率及运动幅度的变化规律，为优化设计各种类型液舱或储液罐等储液结构提供科学依据。

1 试验设置

1.1 运动模拟平台及液舱模型

试验研究的加载设备为电动运动模拟平台，如图1所示，并将液舱结构固定在运动平台上。运动模拟平台的台面尺寸为1.5 m×1.5 m，承重能力为1 t。通过在控制软件中设定正弦运动的运动频率与振幅来控制运动平台按照指定的规律运动。图2中分别给出了试验过程中的最大、最小及主要频率下的运动台面测量结果与理论位移的比较关系。结果表明通过位移传感器测得的台面实际运动位移与通过控制软件输入的理论位移能够较好的吻合在一起，意味着该电动运动模拟平台的平动运动具有较高的运动精度。

图1 液体晃荡运动模拟平台及液舱结构
Fig.1 Experimental photo of liquid sloshing simulator and liquid tank

图2 不同运动频率下运动台台面的实际位移与理论位移的对比(x=-A sin ωt，A=7 mm)
Fig.2 Comparison between platform motion displacement measured by sensor and theoretical displacement under different excitation frequency (x=-A sin ωt，A=7 mm)

矩形容器内的液体晃荡一般可以被处理为二维流动，而球形或圆柱体中的晃荡则被处理为三维流动。试验中采用由有机玻璃制作而成的矩形液舱，其长宽高分别为600 mm，300 mm及650 mm，平台运动沿液舱长度方向模拟迎浪纵荡的船体运动工况。试验中为忽略流体与液舱结构的流固耦合现象，确保模型液舱为刚性液舱，矩形液舱模型由10 mm厚的有机玻璃板制作。一般情况下，根据液面高度与液舱长度的比值可分为浅水晃荡、有限水深晃荡以及深水晃荡。本研究主要关心的问题是二维浅水晃荡的冲击压力对外激励频率的响应规律，因此液体深度选定为90 mm，此时h/L=0.15<0.2，恰好属于低载液率浅水晃荡的范畴[25]。

1.2 测试仪器布置

试验中在矩形液舱长度方向左侧舱壁中心线上安装三支微型数字压力传感器，离液舱底部的距离分别为30 mm，70 mm，110 mm，三支压力传感器从液舱底部至自由液面依次被命名为P1，P2，P3，如图3所示。试验过程中通过布置摄像机对液体晃荡自由液面形状进行记录。每次试验前，均对运动平台，控制系统，压力传感器、位移传感器等进行检查以确保试验结果的真实可靠。

图3 液舱尺寸及压力传感器位置
Fig.3 Tank size and layout of the pressure sensors

1.3 试验工况

试验中，液舱的运动位移函数为

x=-A sin ωt

(1)

式中：A为运动幅度；ω为外激励频率。

二维矩形液舱的固有频率计算公式为

(2)

式中：kn=(2n+1)π/L,n=0, 1, 2 …；ωn为n阶固有频率；g为重力加速度；h为水深；L为液舱长度。由式(2)可计算出水深为90 mm时矩形液舱的一阶及二阶固有频率分别为，ω0 =4.749 7 rad/s和ω1=11.699 6 rad/s。试验中选取的三个振幅分别为3 mm，5 mm和7 mm，运动频率范围为0.3ω0～3ω0并在一阶频率及二阶频率附近开展扫频加密试验。每组试验时间为240 s，每种工况均以相同条件开展两组试验，用以对比及分析试验数据的准确性及可重复性。每一组试验工况的外激励频率值见表1。

表1 试验参数
Tab.1 Experimental parameters

2 试验数据的可重复性随外激励频率的变化规律

两组数据的相关性一般用决定系数R2来描述。在试验中为了研究试验数据的可重复性，每一种工况下的试验均重复一次，以获得相同试验条件下的两组试验数据。在较宽频率范围内尤其晃荡较为剧烈的一阶固有频率附近，图4给出了压力测点P1和P2位置处，相同试验条件下的两组冲击压力的决定系数R2随外激励频率的变化关系。在图4中，还给出了3 mm，5 mm及7 mm三组不同振幅条件下的两组冲击压力相关系数，在不同频率条件下的对比关系，图中横坐标为无量纲值m=ω/ω0。由图4可知以3 mm较小振幅晃荡的试验中，在整个频域范围内P1和P2处的两组数据均具有较高的相关系数，表明试验数据具有较好的可重复性，同时也表明液体晃荡试验系统能够用于准确的评估晃荡过程的冲击压力分布特征。随着振幅的增大，尤其是当振幅达到7 mm时，在0.9ω0～1.1ω0的频率范围内，两组冲击压力的决定系数变小，且随着压力测点越接近自由液面，决定系数越小。通过观察摄像机记录的液体晃荡自由液面变化图像发现在0.9ω0～1.1ω0的频率范围内，振幅为7 mm时自由液面冲击液舱内壁时发生剧烈的破碎现象；当振幅为5 mm时晃荡波破碎的频率区间为1.02ω0～1.08ω0；当振幅为3 mm时晃荡波没有明显的破碎现象发生。

对比图4中不同振幅和频率条件下的决定系数发现相对较小的决定系数均出现在晃荡波发生破碎的一阶固有频率附近，且决定系数的值随着振幅的增加而减小。事实上，随着振幅的增加晃荡现象越来越剧烈，自由液面也随之发生破碎。波浪的破碎导致冲击压力随机性的发生，从而对试验数据的可重复性即决定系数R2产生影响。研究结果表明波浪破碎是导致决定系数在一阶固有频率附近变小的主要原因。图5给出了晃荡波波面撞击液舱内壁时发生的破碎、沿壁爬升、液体飞溅等现象。从压力传感器位置的角度来看也发现接近自由液面的P2处的两组冲击压力数据的决定系数要稍小于P1处的两组冲击压力数据的决定系数，这也恰好表明波浪的破碎是导致同样试验条件下两组压力数据决定系数变小的主要原因。

图4 相同试验条件下两组压力时程曲线的决定系数随外激励频率及运动幅度的变化规律
Fig.4 The determination coefficient of two sets of pressure data varying with the external excitation frequency and amplitude under the same conditions

图5 晃荡波冲击液舱内壁时发生的破碎现象(A=5 mm)
Fig.5 Snapshots of sloshing wave breaking in tank (A=5 mm)

3 结果与讨论

3.1 冲击压力对频率及振幅的响应规律

图6给出了不同振幅下，三个不同位置处的压力传感器所测得的最大冲击压力对频率的响应曲线。三支压力传感器距液舱底部的距离分别为30 mm，70 mm和110 mm，因此P1和P2位于静水液面以下，P3位于静水液面以上。三组液舱的运动幅度依次变化为3 mm，5 mm和7 mm。特别说明的是开展晃荡试验的外激励频率变化范围既包含了一阶模态频率也包含了二阶模态频率。图6中横坐标为将激励频率除以一阶固有频率进行无量纲化得到的m=ω/ω0，纵坐标是两组重复试验所采集的最大压力数据的平均值。由于P3位于静止水位之上，故在非共振晃荡时，P3压力传感器采集数据为零，即晃荡波爬高的最大位置低于P3的安装位置。

从图6中可以看出，最大压力值先是随着外激励频率的增大而缓慢增大，在一阶固有频率偏右处(即1.06ω0处)达到最大值后迅速减小，直到1.8倍的一阶固有频率处最大压力值达到最小，随后当外激励频率接近二阶固有频率时，最大压力又随着外激励频率的增大而增大，并且在二阶固有频率稍偏左处(即0.98ω1处)达到第二个极大值，然而其极值幅度明显小于第一极值幅度。这里ω0和ω1分别是基于线性波浪理论计算得到的第一阶及第二阶固有频率，忽略了波浪破碎、掺气等强非线性现象的影响。而依据试验得出的压力极值的响应频率则包含了波浪破碎等非线性特征的作用，因此当波浪破碎时，试验中压力极值的响应频率与线性波浪理论计算的结果稍有差异。从图6中可以发现液体深度与液舱长度比为h/L=0.15时的浅水晃荡在一阶共振模态激励下沿液舱内壁的最大冲击压力分布是自液舱底部至自由液面位置处依次减小。

此外，图6中还给出了振幅对浅水晃荡冲击压力分布的影响。在所研究的频率范围内最大晃荡压力均随着振幅的增大而增大，尤其在一阶模态频率附近更为明显。在共振模态之外的频率范围内，振幅的改变对最大晃荡压力幅值的影响并不明显，表明只有共振模态附近频率激励产生的晃荡压力对振幅的改变才较为敏感。

图6 不同振幅下晃荡最大冲击压力的频率响应曲线
Fig.6 The relationship among sloshing impact pressure and excitation frequency and amplitude

3.2 共振模态激励下的冲击压力特征分析

晃荡波作用在舱壁上产生的冲击压力主要分为两种：一是冲击型脉冲压力，该类型压力是由水跃或行进波与液舱壁之间的强烈碰撞产生的一种瞬时高脉冲压力，主要特点是压力幅值大，持续时间极短，一般为1～10 ms；二是非冲击型普通动水压力，这是一种由舱内驻波产生的缓变压力。为了进一步研究不同晃荡条件下压力的主要统计特征，图7给出了不同外激励频率作用下振幅为7 mm时P1处的瞬态(0～30 s)与稳态(150～180 s)的压力时程曲线。

图7 不同频率激励下压力时程曲线的瞬态(左列)及稳态(右列)
Fig.7 Time history of pressure under different excitation frequency

图7(a)～图7(c)依次对应的外激励频率分别为0.6ω0，0.8ω0和ω0。本研究统计了瞬态与稳态压力值由0上升到峰值所用时间、由峰值下降到0所用时间、峰值大小以及峰宽的统计平均值(瞬态取最大的4个压力峰值)，见表2。由表2可以较明显的观察出无论在瞬态与稳态下，当外激励频率由偏离固有频率至靠近固有频率过程中，随着外激励频率的增大冲击压力峰宽迅速减小，压力上升时间迅速减小，峰值迅速增大，而瞬态下的峰宽与压力上升时间又明显小于稳态时刻，而冲击压力最大值却是大于稳态时刻。此外，将图7(c)中取时间长5 s的曲线进行局部放大得到图7(d)，从中可以发现压力时程曲线出现了明显的双峰现象，其中第一个峰值是晃荡产生的波浪对舱壁的冲击性水动压导致的，随后冲击波浪破碎，部分液体飞溅而脱离波浪，剩余水团回落的惯性力产生了非冲击性压力，因此第二个峰值一般要小于第一次冲击而产生的峰值。如图8所示，给出了一个周期内共振破碎晃荡波冲击液舱及回弹的演化过程。

表2 不同外激励频率时的瞬态与稳态冲击压力特征对比
Tab.2 Contrast of transient and steady impact pressure characteristics at different frequencies

图8 液体晃荡过程中的冲击与液体回弹(A=7 mm,ω=ω0)
Fig.8 Snapshots of sloshing at amplitude A=7 mm, and frequency ω=ω0

3.3 压力时程曲线的频域分析

为研究液体晃荡过程中不同模态之间的非线性相互作用及晃荡波的时间演化特征，基于快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform ，FFT)，获得了一阶模态和二阶模态附近的压力时程曲线的频域结果，如图9所示，其中振幅为7 mm，外激励频率依次为0.6ω0，0.8ω0，ω0，0.89ω1，ω1，1.05ω1。需要说明的是上述用于FFT分析的压力曲线时间段为瞬态前30 s以及稳态150～180 s，用于对比一定外激励频率下瞬态与稳态压力曲线中的主要频率组成成分。

图9 不同外激励频率下瞬态及稳态压力时程曲线的FFT
Fig.9 FFT of time history of the transient and steady state pressure under different external excitation frequency

从图9中看出，瞬态压力的频率成分较为复杂除了外激励频率及其倍频外，还存在系统的各阶固有频率，而稳态中主要是外激励频率及由于晃荡波非线性相互作用所产生的倍频。在一阶模态及二阶模态频率激励下，瞬态和稳态中的频率成分基本保持不变。在偏离固有频率的试验工况中，瞬态中的频率组分既有外激励频率也有固有频率以及它们的倍频，当晃荡压力处于稳态阶段，则只有外激励频率及其倍频，其中倍频处的能量主要来自于共振模态下剧烈晃荡波浪的非线性相互作用。在非共振模态激励下，晃荡压力达到稳态后，不同频率波浪之间的非线性相互作用就减弱了，晃荡波的能量主要来源于外力所做的功。

4 结 论

为了探究低载液率的浅水晃荡冲击压力特征，基于电动运动加载设备，开展了二维矩形液舱在不同频率激励下的水平晃荡试验，并分析了试验数据的可重复性、冲击压力的频率响应、共振模态下的冲击压力特征以及基于压力时程曲线的FFT结果。得出以下结论：

(1) 波浪破碎对试验数据的可重复性具有决定性影响，研究发现相同试验条件下压力测量结果的随机性主要是由波面破碎、掺气等原因引起的。

(2) 波浪破碎时的强非线性相互作用，会导致实测压力的第一极值出现在稍大于一阶理论固有频率的1.06ω0处，第二极值出现在稍小于二阶理论固有频率的0.98ω1处，并且第一压力极值的幅度大于第二压力极值的幅度。

(3) 振幅仅对共振条件下的压力幅值有明显的影响，在共振模态之外的频率区间，振幅对晃荡剧烈程度的影响并不显著。

(4) 时程曲线特征的统计结果表明，由偏离固有频率至靠近固有频率过程中，冲击压力峰宽迅速减小，压力上升时间减小，峰值迅速增大。

(5) 压力时程曲线的快速傅里叶分析显示，瞬态晃荡过程中的压力曲线中的频率成分主要有外激励频率、固有频率及它们的倍频，当晃荡达到稳定后，压力曲线中的主要频率成分变为外激励频率及由晃荡波的非线性相互作用产生的倍频。