基于电阻率渐变侵入地层模型的阵列侧向测井反演研究

0 引 言

由于受井眼、钻井液侵入和围岩等因素的影响,电法测井的电阻率测量值(视电阻率)与地层真实电阻率差别较大,利用视电阻率求取含油气饱和度误差大。解决视电阻率与真实电阻率差异问题,有2种途径:①通过校正图版进行视电阻率校正,消除环境影响因素,该方法所依赖的校正图版均为理想模型所建立,最大问题是单因素叠加校正,造成误差很大,目前已较少使用;②采用反演方法,根据仪器测量的视电阻率曲线,通过反演算法,计算得到储层的真实电阻率,该方法综合考虑了井眼、地层侵入带、围岩等因素,比图版法更合理。但目前基于阵列侧向测井资料所用的三参数或五参数反演[1-3],构建的正演侵入地层模型为井眼、侵入带、原状地层,电阻率变化为台阶状变化,与实际地层侵入特征不符。

基于目前存在的问题,本文通过利用改进的三参数Logistic函数描述过渡带电阻率,提出了一种基于阵列侧向测井的地层径向电阻率连续反演方法,可以得到仪器探测范围内地层径向任意位置的电阻率。

1 电阻率渐变侵入地层模型构建

由于钻井液侵入会导致地层电阻率发生变化,根据冲洗带电阻率与原状地层电阻率的差异,钻井液侵入可分为有低侵和高侵2种类型。为了描述地层电阻率低侵及高侵的渐近变化过程,构造了电阻率与侵入深度的渐变模型。地层电阻率与径向侵入深度的关系可用Logistic模型描述[4-5]。Logistic模型的表达式为

(1)

(2)

式中,Rxo为冲洗带电阻率;Rt为地层真电阻率;r为井眼半径。由式(1)、式(2)可以看出,R(r0)=Rxo,R(+∞)=Rt。对于低侵地层,Rxo<Rt,函数拐点位置为ri=r0+ln (2a)/b;而对于高侵地层,Rxo>Rt,此时a<0,函数不存在拐点,因此,不能描述高侵时地层电阻率随侵入深度的渐变行为。

针对上述Logistic函数不能描述高侵时地层电阻率随侵入深度的渐变行为的缺点,本文提出改进的三参数Logistic函数

(3)

并定义此时径向渐变地层的侵入深度为电阻率变化最大位置(曲线拐点位置)。

(4)

式中,Rxo为冲洗带电阻率;Rt为地层真电阻率;r为井眼半径。函数拐点位置为ri=r0-ln k2/b,k2为接近的常数,例如取k2=0.05。由式(3)、式(4)可以看出,R(r0)=Rxo,R(+∞)=Rt,且函数式(3)能描述地层电阻率不随径向渐变的行为,此时,取c=Rxo=Rt。

三参数Logistic函数能很好的描述高侵与低侵情况下过渡带电阻率连续变化,且其平稳区的变化可通过调节拐点位置ri来改变。例如,对于低侵,设r0=0.101 6 m,Rxo=10 Ω·m,Rt=200 Ω·m,可绘制三参数Logistic函数描述的电阻率随侵入深度的曲线变化情况[见图1(a)];对于高侵,设r0=0.101 6 m,Rxo=20 Ω·m,Rt=5 Ω·m,同样可绘制三参数Logistic函数描述的电阻率随侵入深度的曲线变化情况[见图1(b)]。从图1中可以看出三参数Logistic函数能很好地描述高侵与低侵情况下过渡带电阻率的连续变化,基于阵列侧向测井资料反演时采用该方法构建正演地层模型。

图1 三参数Logistic函数电阻率随侵入深度的变化曲线

2 基于阵列侧向测井的径向地层电阻率连续反演

阵列侧向仪器结构示意图见图2。电极以A0为中心上下对称分布,仪器共有23个电极,1个主发射电极、5对屏蔽电极、6对监督电极,共有5种探测模式,得到5个探测深度的测井曲线。探测模式1为A0发射主流,A1发射屏流,返回到其他电极;探测模式2为A0发射主流,A1、A2发射屏流,返回到其他电极;探测模式3为A0发射主流,A1、A2、A3发射屏流,返回到其他电极;探测模式4为A0发射主流,A1、A2、A3、A4发射屏流,返回到其他电极;探测模式5为A0发射主流,A1、A2、A3、A4、A5发射屏流,返回到无穷远。

图2 阵列侧向测井仪(上半部分)示意图

2.1 电阻率径向渐变地层的数值模式匹配法

对于井眼及地层轴对称的结构,本文利用二维数值模式匹配法(Numerical Mode Matching,NMM法)[68]对径向渐变地层模型进行数值模拟。现有的NMM法中认为地层电导率分段均匀,在计算每个区间n的积分过程中不考虑地层电导率随侵入深度的变化,第m层地层第n区间的A、B、G、H矩阵可以表示为

(5)

(6)

(7)

(8)

式中,为第m层n区间的电导率;ρ为径向半径变量;为基函数向量。

由于实际情况下,钻井液侵入会导致地层物性参数径向分布不均匀,因此,对于径向渐变地层,构造渐变地层模型,认为地层电导率随侵入深度渐近变化,在此基础上,提出针对径向渐变地层的快速正演计算。此时,NMM法中式(5)所示的第m层地层第n区间A矩阵变为

(9)

B、G、H矩阵与之类似。由于引入Logistic函数描述的径向渐变电阻率,以上矩阵中元素不能通过求积分的解析表达式计算,可采用Gauss-Legendre公式[9]进行计算

(10)

式中,tk为gauss点;Ak为Gauss-Legendre求积系数;j为高斯点数。

2.2 并行差分进化算法

最优化方法分为传统优化方法和启发式优化方法2类。传统优化方法大多利用目标函数的梯度(或导数)信息实现单可行解的惯序、确定性搜索;启发式优化方法以仿生算法为主,通过启发式搜索策略实现多可行解的并行、随机优化。在众多启发式优化方法中,差分进化(Differential Evolution,DE)是一种基于群体差异的启发式随机搜索算法,该算法是R.Storn和K.Price为求解Chebyshev多项式而提出的[10-12],差分进化算法因原理简单、受控参数少、鲁棒性强等特点。对于优化问题

min F(x1,x2,…,xD)

(11)

式中,D为解空间的维数,在测井问题中即为优化电极尺寸的个数;分别为第j个分量xj取值范围的上界和下界。DE算法流程为

(1)初始化种群。初始种群随机产生

(12)

式中,xi(0)为种群中第0代的第i条“染色体”(或个体);xj,i(0)为第0代的第i条“染色体”的第j个“基因”;NP为种群大小;rand(0,1)为在(0,1)区间均匀分布的随机数。

(2)变异操作。DE通过差分策略实现个体变异,这也是区别于遗传算法的重要标志。在DE中,差分策略是随机选取种群中2个不同的个体,将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成,即

vi(g+1)=xr1(g)+f×[xr2(g)-xr3(g)],

i≠r1≠r2≠r3

(13)

式中,f为缩放因子;xi(g)为第g代种群中第i个个体。

在进化过程中,为了保证解的有效性,必须判断“染色体”中各“基因”是否满足边界条件,如果不满足边界条件,则“基因”用随机方法重新生成(与初始种群的产生方法相同)。

第g代种群通过变异后,会产生一个中间体

(3)交叉操作。对第g代种群xi及其变异的中间体vi(g+1)进行个体间的交叉操作

uj,i(g+1)=

(14)

式中,CR为交叉概率;jrand为[1,2,…,D]的随机整数。

(4)选择操作。DE采用贪婪算法选择进入下一代种群的个体

xi(g+1)=

(15)

式中,F为目标函数。

3 反演效果验证

设定低侵地层模型:井眼尺寸8 in(非法定计量单位,1ft=12 in=0.304 8 m,下同),钻井液电阻率Rm=1 Ω·m,目的层厚度为2 m,围岩电阻率为10 Ω·m,原状地层电阻率为500 Ω·m,侵入带电阻率为50 Ω·m,侵入半径为0.143 6 m,由式(3)、式(4),可以画出正演地层模型[见图2(a)]。以该模型作为正演模型,利用模式匹配算法计算出仪器各电极电位与各探测模式下地层响应电阻率,以电位或视电阻率信息作为测量信息,反演公式(3)里的a、b、c这3个参数,获取径向地层电阻率的描述函数。由式(4)可以得到侵入半径、侵入带电阻率和原状地层电阻率等参数。图3给出了仪器在第5种探测模式下,电极M1b(编号10)的测量电位与通过反演的地层模型计算电位的比较,从图3可以看出两者完全一致。具体反演结果见表1。从表1中可以看出反演求取的侵入半径、侵入带电阻率、原状地层电阻率和正演模型设定值对比,误差均在0.6%以内。反演的真电阻率成像与给定正演模型真电阻率成像比较见图4,可以看出,二者成像结果一致。

图3 探测模式5,10号电极测量电位与反演计算电位的比较

图4 低侵正演模型与反演结果数据图像对比

图5 高侵正演模型与反演结果数据图像对比

表1 目的层反演结果与给定的正演地层模型比较

设定高侵地层模型:井眼尺寸8 in,钻井液电阻率Rm=1 Ω·m,目的层厚度为2 m,围岩电阻率为10 Ω·m,原状地层电阻率为2 Ω·m,侵入带电阻率为10 Ω·m,侵入半径为0.121 m,由式(3)、式(4),可以画出地层模型[见图5(a)]。以此模型作为正演模型,对反演算法进行验证,反演中过程中正演模型选取4个采样点,反演结果见表2,误差在0.5%以内。反演的真电阻率成像与给定正演模型真电阻率成像比较见图5,二者成像结果一致。

表2 目的层反演结果与给定的正演地层模型比较

从以上2个实例可以看出,经过近200次迭代,无论是高侵模型还是低侵模型,反演的地层模型与真实模型对比,误差在1%以内,反演模型的正演曲线与测量曲线完全重合。

4 结 论

(1)提出一种电阻率渐变侵入地层模型建模方法,构建的地层模型更接近实际钻井液侵入地层。

(2)针对渐变地层模型,改进了模式匹配数值模拟方法,使其能适用于电阻率径向渐变地层的数值计算。

(3)利用3层正演模型对径向电阻率连续反演算法进行了验证,对于地层电阻率在0.2～2 000 Ω·m范围内的高侵模型和低侵模型,反演电阻率接近真实值,误差在1%以内。