摘要：以1:1的曳引式电梯为研究对象，针对曳引机转子偏心引起的垂直方向共振进行研究，建立电梯系统动力学方程，应用Matlab编程求解出系统各阶固有频率的变化范围，发现当电梯运行至30 s时系统固有频率与曳引机激振频率非常接近，针对该问题提出了一种通过减小橡胶隔振垫的刚度系数来改变系统固有频率的方法，然后用相同刚度系数的橡胶弹簧替换橡胶隔振垫，仿真结果表明改进后的电梯系统固有频率与曳引机激振频率一直都不会相同，有效地防止了共振的发生，证明该减振策略有效。
关键词：振动与波；电梯；固有频率；共振
随着电梯运行高度的不断提升，高速电梯会很快占据电梯市场，人们对电梯的品质就会提出更高的要求。衡量电梯品质的三大主要要素是安全性、功能性和舒适性，以电梯现在的发展水平，功能性的要求已经可以满足，电梯在高速运行时，由振动引发的电梯的安全性和舒适性方面的问题还是比较突出，已经成为电梯向高速发展的瓶颈问题[1]。电梯系统的振动主要是指垂直方向的振动，其中曳引机转子的偏心是引起垂直振动的主要振源，当系统的某阶固有频率接近曳引机旋转引起的激振频率时即会发生垂直方向的共振，增加事故发生的概率，对于高速电梯这种现象更加明显。研究系统的固有频率及改变固有频率的方法，使之不与曳引机激振频率相重合显得非常重要，前人对此做过相关的研究，文献[2]通过研究提出了增加轿厢质量、选用合适的绳头弹簧、定期检查钢丝绳张力、更换磨损严重的曳引轮、增加顶层设计高度等措施改善垂直振动情况。文献[3]针对文献[2]中提到的绳头弹簧的选用进行研究，发现减小其刚度可以有效避免共振的发生。文献[4]提出了基于补偿策略的解决方法，仿真结果表明改进后的电梯系统可有效地防止共振发生，提高电梯的安全性能。电梯振动虽然无法避免，但是减小振动是可行的，这也是研究电梯振动的基础。
文中以1:1的曳引式电梯为研究对象，以减小曳引机转子偏心引起的垂直振动为研究目的，建立电梯系统动力学方程，应用Matlab编程求解出系统各阶固有频率变化范围，根据前人的研究，提出一种改变系统固有频率的新方法，即通过减小曳引机下橡胶隔振垫的刚度系数并替换为相同刚度系数的橡胶弹簧(金属螺旋弹簧和橡胶复合在一起的圆筒状弹性体)，该措施经仿真验证具有良好的减振效果。
1 电梯系统模型
以行程为60 m的1:1曳引式电梯为研究对象，传动关系如图1所示。
对于图1描述的曳引式电梯，为了建模和求解方便，将钢丝绳离散为若干串联的弹簧—阻尼系统来考虑[5]，忽略其惯性力的影响，建立如图2所示的6自由度电梯系统力学模型[6–8]，用该模型对电梯系统垂直振动进行分析研究。
图1 电梯机械传动简图
图2电梯系统动力学模型
图2中：
m1——曳引机、底座及导向轮质量；
m2——张紧装置质量；
m3——电梯对重质量；
m4——轿厢及载荷质量；
J1、r1——曳引轮的等效转动惯量和曳引轮半径；
J2、r2——张紧轮的等效转动惯量和张紧轮半径；
k0、c0——隔振垫的刚度与阻尼；
k1(t)、c1——对重与导向轮之间钢丝绳与绳头弹簧组合的刚度、阻尼；
k2(t)、c2——轿厢与曳引轮之间钢丝绳与绳头弹簧组合的刚度、阻尼；
k3、c3——对重底部与张紧装置之间的补偿链刚度、阻尼；
k4、c4——轿架底部与张紧装置之间的补偿链刚度、阻尼；
ks——绳头弹簧刚度；
a(t)——系统运行加速度。
电梯系统动力学微分方程组为
在电梯的运行过程中，钢丝绳长度的变化引起其刚度的变化，表达式为
其中n——钢丝绳根数；
E——钢丝绳弹性模量；
A——钢丝绳截面积；
L(t)——不同时刻钢丝绳的长度；
kr1(t)、kr2(t)分别是对重端和轿厢端钢丝绳刚度。
2 固有频率求解
式(1)特征矩阵方程可表达为
式中f为系统振动的固有频率，{X}为特征向量，因为特征向量{X}不可能全部为零，因此要使上式成立，向量{X}的系数行列式必须为零，即
对于线性定长系统可以直接利用上式求解系统固有频率，但电梯系统为非线性时变系统，由式(4)和式(5)知钢丝绳刚度k1(t)和k2(t)时刻变化，导致系统刚度矩阵[K]时刻变化，系统的固有频率也会时刻变化，此时可通过Matlab软件编制程序求解。在Matlab软件中，当[K]和[M]已知时，可利用函数eig ([K]，[M])对固有频率进行计算，在电梯运行过程中以轿厢的位移增量为计算步长，取步长Δ=0.01 m，电梯系统的其他参数参见表1。
表1 电梯系统参数
由于轿厢载重对电梯系统的固有频率存在影响，研究过程中取载重m4=900 kg，根据以上参数，求得电梯系统上行过程中的固有频率，见图3－图5。
图3 电梯系统第1、2阶固有频率
其中横坐标为时间，纵坐标为系统各阶固有频率。
曳引机的激振频率p(Hz)与转速v(r min)的关系为
，取v=1 320 r/min，计算得曳引机的激振频率p=22Hz。
图4 电梯系统第3、4阶固有频率
图5 电梯系统第5、6阶固有频率
从图5可以看出在电梯运行至第30秒时系统第6阶固有频率与曳引机激振频率相同，会造成电梯系统共振，为了避免发生共振，必须对系统采取相应的减振策略。
3 减振策略及系统动态特性分析
3.1 减振策略
常用的减振方法包括包括：选用动态性能良好的曳引机，改变电梯系统某些弹性环节的刚度系数和安装隔振器，文中使用第二种方法，通过调整曳引机下橡胶隔振垫的刚度系数和结构，改变系统的固有频率，使之避开曳引机的激振频率。
上文的计算结果表明，当隔振垫的刚度k0=1×106N∙m-1时，电梯系统在运行30 s后第6阶固有频率与曳引机的激振频率相等，会发生共振，为了找到合适的k0值，通过Matlab程序反复计算，发现当k0=4×105N∙m-1时，系统各阶固有频率均减小，且不与曳引机振动频率相接近，可有效避免发生共振。
选用什么装置代替橡胶隔振垫可起到更好的减振效果，也是文中研究的重点内容，通过查阅资料发现橡胶弹簧具有以下优点：
(1)弹性模量小，可产生较大的变形，内摩擦阻尼大，隔振效果好；
(2)可同时承受压缩变形和剪切变形；
(3)结构紧凑，可有效地利用空间；
(4)安装、拆卸方便，且无需润滑。
橡胶弹簧较橡胶隔振垫更能满足要求，于是将橡胶隔振垫替换为橡胶弹簧，橡胶弹簧外形如图6所示。
图6 橡胶弹簧
根据计算出的k0值，选择型号为JHF-90×150、刚度系数为1×105N∙m-1的橡胶弹簧，四个橡胶弹簧采用并联的方式，安装位置如图7所示。
图7 橡胶弹簧安装位置示意图
替换为橡胶弹簧后系统的固有频率变化如图8－图10所示。
图8 电梯系统第1、2阶固有频率
图9 电梯系统第3、4阶固有频率
图10 电梯系统第5、6阶固有频率
3.2 系统动态特性分析及仿真
由图8－图10可知橡胶隔振垫刚度系数减小且被相同刚度系数的橡胶弹簧代替之后，系统的各阶固有频率均减小。在电梯运行过程中第6阶固有频率逐渐增大，最大为21.5 Hz，小于曳引机激振频率22 Hz，共振现象不会发生，下面通过动态仿真验证该减振策略的有效性。
以1中的电梯系统为仿真对象，研究电梯的上行过程，图11－图13分别为理想运行状态下、使用橡胶隔振垫时及使用橡胶弹簧时电梯轿厢的加速度曲线。
图11 理想状态下轿厢运行加速度曲线
由图12可以看出在电梯运行30 s后轿厢的振动频率和幅值均大幅度增加，原因是第30 s时系统的第6阶固有频率与曳引机的激振频率相等(图5)，电梯垂直振动加速度响应的功率谱密度曲线(图14)也表明系统存在22 Hz振动响应，理论结果与仿真结果一致。当橡胶隔振垫刚度系数由1×106N∙m-1减小至4×105N∙m-1且被相同刚度系数的橡胶弹簧代替之后，电梯系统的垂直振动明显减小(图13)，轿厢运行平稳，这表明文中所提到的减振策略有效，同时也证明了电梯模型的正确性。
图12 使用橡胶隔振垫时电梯轿厢运行加速度曲线
图13 使用橡胶弹簧时电梯轿厢运行加速度曲线
图14 垂直方向加速度响应的功率谱密度曲线
4 结语
减小曳引机下橡胶隔振垫的刚度并替换为相同刚度的橡胶弹簧之后，电梯系统固有频率均减小，且一直不会与曳引机的激振频率相同，避免共振发生，桥厢的垂直振动被大大削弱，图13证明文中的减振策略效果明显。同时仿真结果也验证了如果电梯系统垂直方向的固有频率与曳引机的激振频率一致，电梯轿厢将出现共振的动力学特性。
