含分布式电源配电网供电能力的概率评估

随着多元化电源加入配电网，使得配电网对供电能力评估的任务变得更加艰巨。如何合理地评价配电网的供电能力成为了一个亟待思考的课题[1]。

目前许多研究者已经在供电能力评估方面做出了大量的研究。文献[2]以变压器的配变容量来评估配电网的供电能力[2]；文献[3]计及网络拓扑结构对供电能力的影响，并建立了网络最大潮流法；文献[4]研究了实时供电能力计算方法。近年来出现了在可靠性准则和主变互联关系的约束下计算配电网最大供电能力的方法[5]。然而对分布式电源DG（distributed generation）接入配电网对供电能力的影响并未作足够的讨论，使DG接入网后供电能力的评估方法不尽合理。

由于绝大多数研究者在对含DG的配电网供电能力进行相关研究时，很少针对DG输出的随机性进行研究。有些学者将DG的典型日连续出力曲线代入计算，这样失去了普遍性原则，并且大部分学者在计算供电功率是假设在极端条件情况下进行（即DG出力达到最大值或最小值时）。这样导致计算只能获取几个特殊点对应的离散供电功率，不能得到连续的供电功率状态，更不能取得随机变化的供电功率概率分布值。目前针对此类随机性与不确定性的问题归纳起来主要有以下3类：①蒙特卡罗法MCS（Monte Carlo simulation）可以对各种不确定模型进行合理地模拟，但是在模拟过程中需要大量抽样[6-7]；②解析法利用繁琐的数学推导针对研究对象进行高效地解析；③近似法通过研究对象的概率分布并利用统计学方法计算其统计特性值[8]。

本文通过利用两点估计方法的特点将研究对象的随机性转化为确定性并进行计算，然后利用重复潮流RPF（repeat power flow）法计算出供电功率样本值，通过柯尼斯-费希尔（Cornish-Fisher）级数[9]计算供电功率概率分布函数并建立概率密度模型，利用相关指标通过算例对比分析验证所提方法的合理性与可行性。

1 DG随机模型

DG接入配电网，使得评估对象变得随机不确定。本文将应用DG的概率模型对DG出力的随机性进行模拟，从而更加客观地评估含DG配电网的供电能力。

1.1 风电随机输出模型

目前风速概率分布模型基本采用双参数的威布尔分布[10-11]，其概率密度函数 fW(v)为

式中：v为风速；K 为形状参数，K=(σ/vˉ)-1.086；C 为尺度参数，，为平均风速，σ为标准差，Γ为Gamma函数。

本文以一般的恒频变速风力发电机为例，其功率输出PW与风速v的关系模型可近似表示为

式中：a1、a2为常数，a1=PWN/(vN-vci)，a2=PWN vci/(vci-vN)；PWN、vN分别为风机的额定功率与额定风速；vco、vci分别为风机的切出风速与切入风速。

当vci≤v≤vN时，风力发电机输出功率的概率函数表示为

当风机的功率因素为cosφ时，其无功功率QW可表示为

1.2 光伏发电随机输出模型

光伏电池输出功率的关键在于太阳辐射强度，光电转化效率以及太阳电池板的覆盖面积。光伏的有功功率输出PS可表示为

式中：r为太阳的辐射强度；η为全局的光电转化效率；A为光伏电池覆盖总体面积。

一般阳光辐射强度r在特定时间段内大致符合Beta分布[12]，其概率密度函数 fS(r)可以表示为

式中：rmax为最大辐射强度；α、β分别是Beta分布的形状参数。

将光伏发电输出功率函数以及阳光辐射强度概率函数合并可得光伏发电的输出功率概率函数为

式中，Pmax为光伏发电机输出的最大功率，Pmax=rmaxηA 。

2 供电能力评估指标

供电能力是配电网对负荷承受能力的一种体现，在概率评估方法的体系下，本文提出了评价供电能力的指标。

1）最大供电功率STsp

配电网供电功率定义为最大供电功率TSP（total supply power），用STSP表示。通过计算确定配电网TSP对应的可信系数记为BTSP，该指标表示在DG随机出力状态下TSP出现对应的概率。

TSP可表示为

式中：STSP为评估对象所能承受的最大负荷，即配电网所能提供的TSP；nb为配电网节点数；S0i为节点i当前负荷供应量；λ为节点负荷增长的倍数；SN,i为节点负荷增长基准值。

指标STSP反映了约束条件下，任意支路不出现越限的最大负荷限度。

2）TSP期望 ETSP

ETSP表示在DG随机出力的情况下，TSP期望可表示为

式中：N为蒙特卡罗随机抽样次数；为第 i次抽样所对应的最大供电功率；为第i次抽样对应的可信值。

指标ETSP反映了配电网供电功率在DG随机出力情况下对负荷平均承受的裕度。

3）TSP偏离度 DZ

TSP偏离度DZ表示样本对应的STSP与ETSP之间的偏差程度，DZ可表示为

指标DZ反映了本次抽样对应的TSP对于总体抽样计算所得TSP均值的偏离度。该指标反映了配电网供电功率在DG随机出力的情况下的离散程度。

综上，TSP能反映配电网的负载容量。TSP期望和TSP偏离分别反映DG随机出力情况下配电网负载容量的期望与离散程度。

3 供电能力评估方法

本文针对DG的随机性，供电功率的计算以及概率密度函数的问题分别应用了两点估计法，RPF法以及Cornish-Fisher展开进行解决。

3.1 两点估计法的应用

针对研究对象的随机性，本文提出利用两点估计法[13]将随机性转化为确定性计算。

本文针对含有k个DG的系统，对每个DG分别构造2个样本点，根据数学统计学，所有DG样本点组成的离散分布的前3阶矩与待求DG的3阶矩相等，通过求取待求DG的前3阶矩，得以计算出其概率分布函数。

构造每个DG对应的两个样本点，每个分量的取值为

式中：k=1，2，3，…，n；σk、μk分别为 xk的标准差与一阶原点矩；xk,1、xk,2是第k个DG（xk）的两个样本点；ξk,1、ξk,2为样本点xk,1、xk,2的位置参数。

每个样本点对应的权重参数ωk,i与位置参数分别满足下列方程：

式中，λk,l为l阶中心矩Ml(xk)与σk的l次方的比值，即

式中：λ1,l=0；λ2,l=1；λ3,l为 xk的偏度，对应研究变量概率分布对于正态分布的偏差；λ4,l为xk的峰度，对应研究变量概率分布在均值附近的斜率大小。

通过两点估计法，每个DG随机出力问题都可通过式（11）的两个样本点及其对应的位置参数与权重系数得以解决。

3.2 TSP计算

本文在计算TSP时采用RPF法[15-16]，由于该方法能全面考虑各种约束条件且计算量小。原理为同时均匀增加系统的负荷，并重复进行潮流计算，直到有约束条件出现越限则停止增加负荷。RPF法的核心是不断逼近约束条件下的最大值。

本文选定的目标函数为最大供电功率STSP，如式（8）所示。

约束条件包括：

式中：i和 j分别表示第i和第 j个节点；QD,i和PD,i分别为接在第i个节点的DG输出的无功功率与有功功率；QL,i和PL,i分别为节点i的无功负荷与有功负荷；Gij为网络支路电导矩阵元素；Bij为网络支路电纳矩阵元素；δij为网络支路电压相角差；Vi和Vj分别为节点i和 j的电压值；Vi_min和Vi_max分别为节点i的电压下限值和上限值；Sij和Sij_max分别为线路i j输送的电量和该线路允许通过的输送极限值；Si和Si_max分别为第i个节点处变压器支路输出的电量和容许输出极限值。

计算流程具体如下。

步骤1 在给定负荷节点的初始值S0i，根据两点估计法取出2n个样本数据，确定DG出力概率分布。

步骤2 确定负荷增长值SN,i以及负荷增长速度（即步长）λ0，同时给定收敛精度ε。

步骤3 以S=S0i+λ0SN,i作为每个节点的新的负荷值重新开始潮流计算，判断约束条件越限。若没有越界，则重复步骤3；若越界，则进行步骤4。

步骤4 以S=S0i-λ0SN,i为下次计算负荷量。

步骤5 判断λ0是否小于ε，若λ0小于ε，则进行步骤7）；若λ0大于ε，则进行步骤6。

步骤6 减小步长λ0，使负荷的增长量λt变为λt=λ0/2。令S=S+λtSN,i作为新的负荷值重新潮流计算，判断是否出现约束条件不满足（潮流越界）的情况。若没有越界，则返回步骤5；若越界，则先令S=S-λtSN,i，再返回步骤5继续运算。

步骤7 此时输出2n个DG样本值对应的供电功率，并根据式（13）得出供电功率的统计特征值。

3.3 概率密度的计算

由于Cornish-Fisher级数是一种可以合理表达非正态分布函数的级数展开形式[17]，本文应用Cornish-Fisher展开公式，其同时运用了半不变量原理及标准正态分布公式。

在确定供电功率统计量的各阶原点矩时，根据半不变量理论，即随机变量y的t阶原点矩 μ(yt)与其t阶半不变量γ具有以下关系：

式中：γt+1为t+1阶半不变量，t=1,2,…；利用Cornish-Fisher展开公式求取随机变量的概率密度y(ϕ)[18]，设ϕ为供电功率y分位数，近似表示为

式中，ξ(ϕ)=Φ-1(ϕ)，Φ 为标准正态分布N（0，1）的概率分布函数。

根据y(ϕ)=F-1(ϕ)的关系，可以求得供电功率y的概率分布F(ϕ)，最终通过求导得到供电功率y的概率密度函数。

3.4 供电能力的评估流程

供电能力是配电网对负荷供应能力的一种体现，利用概率评估方法对供电能力进行评估，评估流程如图1所示。

图1 供电能力概率评估流程
Fig.1 Flow chart of probabilistic evaluation on power supply capability

首先，通过不同DG的输出功率概率密度函数，分别计算各阶中心矩。然后，针对不同DG，采用两点估计法分别计算其对应样本点的位置参数和权重系数。根据两点估计法计算样本对应的值，通过RPF法计算出配电网供电功率对应样本值以及各阶中心矩。最后，通过供电功率对应样本值以及各阶中心矩利用Cornish-Fisher级数求供电功率分布并建立概率密度函数模型。

4 算例

算例采用IEEE33节点配电网进行分析，网络结构如图2所示，其电压等级为12.66 kV，基准负荷为（3 715+2 300j）kV·A，详细参数可参考文献[19]。将光伏发电系统接在节点22，将风力发电机1、2、3分别接在节点18、25、29。分布式发电设备相关参数如表1～表4所示。

图2 33节点配电网结构
Fig.2 Structure of 33-bus distribution network

表1 风机的相关参数
Tab.1 Related parameters of wind turbine

表2 光伏发电的相关参数
Tab.2 Related parameters of solar power generation

表3 DG输出功率的统计特征值
Tab.3 Statistical characteristic values of DG output power

表4 样本点的权重系数及位置参数
Tab.4 Weighting coefficients and location parameters of sample points

首先通过DG模型计算得到不同DG出力的统计特征值，分别分析全局负荷均匀增长模式和某一区域负荷均匀增长模式下评估配电的供电能力。采用本文方法、蒙特卡罗法（n=103）以及文献[20]中的方法进行对比分析，全局增长模式下配电网供电功率如表5所示，其供电功率的概率密度函数模型如图3所示。

表5 全局增长模式下配电网供电能力指标
Tab.5 Indexes for power supply capability of distribution network in global growth mode

图3 全局增长模式下供电功率的概率密度函数
Fig.3 Probability density function of supply power in global growth mode

计算结果表明，本文方法针对DG出力不确定情况能有效地计算配电网供电功率的概率分布函数与建立概率密度模型。

从表5可以看出，以蒙特卡罗法的计算结果视为基准，本文方法在计算供电功率均值时准确性较高，其相对误差为0.37%，标准差绝对误差为0.06。本文提出方法结果精度高，且偏离程度较小。通过图3可知，Cornish-Fisher级数可以求出整个配电网供电能力的概率密度函数，相对于蒙特卡罗法所求得的模型，由于本文方法开始时就对DG出力随机性进行约束，因此供电功率的概率分布较为集中。

本算例分析了区域1（节点1～18）区域2（节点26～33）的供电能力，从实验结果表明，采用本文方法可以精确地求得配电网局域的负荷供电功率。通过表6和表7数据分析可得，区域1供电功率标准差的绝对值不超过0.002 5，均值的相对误差不大于0.62%；区域2供电功率标准差绝对值不超过0.002 6，均值的相对误差不超过0.61%。区域1和区域2供电功率的概率密度函数曲线如图4和图5所示。通过Cornish-Fisher级数展开得到的供电功率概率分布精度较高。

表6 区域1在负荷局部增长模式下供电能力指标
Tab.6 Indexes for power supply capability of Area 1 in local growth mode of load

表7 区域2在负荷局域增长模式下供电能力指标
Tab.7 Indexes for power supply capability of Area 2 in local growth mode of load

图4 区域1局域增长模式下供电功率的概率密度函数
Fig.4 Probability density function of supply power for Area 1 in local growth mode

图5 区域2局域增长模式下供电功率的概率密度函数
Fig.5 Probability density function of supply power for Area 2 in local growth mode

通过表8和表9比较可以看出本文方法与蒙特卡罗法求取的速度，采用蒙特卡罗法（n=103）求取全局供电功率的时间大约是本文方法的234倍，求取区域节点供电功率的时间大约是本文方法的205倍。

表8 全局负荷增长模式下计算时间比较
Tab.8 Comparison of computing time in global growth mode of load

表9 区域增长模式下计算时间比较
Tab.9 Comparison of computing time in local growth mode

具体分析如下：

（1）从两种增长模式上来看，根据蒙特卡罗方法求取ETSP相比于本文方法的结果偏小。这是由于蒙特卡罗法在求取ETSP时，DG出力完全是随机取值的，而事实上风电概率密度函数对应的风电期望值较小，因此造成了其作为一种随机值导致ETSP偏离；

（2）从3组数据对比结果可以看出，蒙特卡罗法求解出的DZ更大，说明处于该理论下的数据离散度更大。由于本文方法在计算时，对随机变量利用概率密度以及点估计方法降低了“随机性”的影响。从而使得计算所得值偏离程度低，而蒙特卡罗法并未对偶然性进行约束，导致DZ偏大。

5 结语

本文通过DG输出功率的概率模型，运用点估计法确定样本值，利用RPF法计算概率潮流，利用半不变量理论与Cornish-Fisher级数展开得到供电功率概率密度函数，构造供电能力相关评价指标，对配电网供电能力进行评估。其中，两点估计法针对n个随机DG的网络，只需进行2n次的计算，对评估速度大大提升。采用Cornish-Fisher级数展开可较准确地求出研究对象概率密度函数。通过对比配电网全局供电功率与局域供电功率不同算例的结果表明，本文方法能够有效精确地评价含DG的配电网供电能力，为供电能力评估工作提供了依据。