基于频响函数的动车组构架传感器优化布置

高速动车组的构架作为转向架的主体，不仅需要承受车体上设备的重量，同时需要承受和传递车辆在运行中产生的各个不同方向的力以及运行中产生的随机作用力，所以构架对于整个高速动车组的安全运行起着举足轻重的作用，因此将结构健康监测（structural health monitoring，SHM）系统应用到构架中对提高动车组整体安全性具有重大意义. 传感器优化布置是结构健康监测的关键环节. 由于受到结构的运行状态、结构尺寸及成本等诸多限制，不能在所有自由度上均安装传感器，并且传感器数量过多带来的冗余数据对信息的有效分析以及储存都会带来困难，因此如何将有限的传感器布置在结构最合理的位置（即传感器优化布置问题），并利用有效测点的测量数据进行分析是结构健康监测系统需要解决的一个关键性问题.

近年来，人们深入研究了传感器优化布置问题，同时提出很多新方法. WANG等运用结构动力响应中的重构误差进行目标函数构造进而实现传感器优化布置，并在桁架结构上进行了验证[1]；YI等提出了多种群智能优化算法，并且成功地将其应用在大型高层结构的传感器优化布置上[2]；詹杰子等提出有效独立-改进模态应变能法[3]；陈春强等研究了悬臂板模态坐标估计和传感器定位[4]；王伟等研究了传感器优化布置对导波沿薄壁金属管道的影响规律[5].但目前尚无人研究传感器优化布置相关方法在高速动车组转向架中的应用. 为了使传感器布置方法实现位置和数量的双重优化并将该方法应用到构架中，提出了一种基于频率响应函数，通过独立分量分析和K均值聚类法对传感器位置进行布置，通过Fisher信息矩阵的信息熵对传感器数量进行优化的传感器优化布置方法，并将该方法应用于CRH3型动车组构架的传感器优化布置中.

1 理论背景

1.1 计算模型

对于一个任意自由度的线性系统，其运动学方程为

式中：  、  、  分别为结构系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵； 、 、 分别为系统的加速度矢量、速度矢量、位移响应； 为系统的激振力向量.

在计算模型中，特征方程的模态频率和振型是计算频响函数的有效依据. 基于模态的位移频率响应为

式中： 为激振频率； 为第 i 阶模态无阻尼固有频率；  为第 i 阶模态阻尼系数； 为系统第 i 阶模态第 个自由度的振型幅值； 为系统第 i 阶模态第  个自由度的振型幅值.

假设传感器可以布置在所有的自由度上，由式（2）可以准确计算一个自由度的频响函数.  为感兴趣的频段内所有自由度频率响应矩阵的集合，如式（3）所示.

式中：为在频率  对应的第  个测试位置的频率响应值； 为选定频率响应函数节点数；为待布置的传感器数[6]；  为 的列向量.

1.2 独立分量分析

独立分量分析（independent component analysis，ICA）的主要思想是：通过独立分量分析，从一组观测信号 分离出一组统计独立的源信号的估计值（独立分量）是统计独立的.  为混合矩阵[7]. 那么观测信号h和源信号s之间的关系可以表示为

也可以写成

独立分量分析假设 呈非高斯分布. 可以看出基本模型中分布未知，当 被估计出来后，就可以计算 的逆，从而得到分离矩阵 ，进而得到了 的估计值独立分量  ，如式（6）.

估计并且得到 是独立分量分析的主要任务.独立分量分析是从主成分分析（principal component analysis，PCA）发展而来，ICA较PCA而言更加接近实际当中的情况（见表1），具有更大的应用潜力[8].

表1 PCA与ICA特性简要比较
Tab. 1 Brief comparison of the characteristics between PCA and ICA

1.3 K均值聚类法

随着有限元网格不断细化，使得重要模态中某些自由度具有类似的动态特性，并且在一定载荷下，这些自由度的响应近似相等，导致信息冗余问题.K均值聚类算法基于多属性相似度自动对这些自由度进行分类，有效删除每簇冗余的自由度.

为 个独立分量 的数据集，通过K-均值聚类法将这一数据集分成 个不相交的子集，本文使用的聚类准则是  中向量 的聚类中心 和  中向量间的相关距离，相关距离定义如式（7）所示.

在定义函数  之后，聚类算法可以描述如下：

（1） 在数据集中随机的选取样本作为初始聚类中心， 为聚类中心数；

（2） 对于非簇中心，根据聚类中心的相似性（相关距离）划分为相应的类别；

（3） 更新每个类别的集群中心；

（4） 重复从（2）到（3）的步骤，直到实现标准度量函数 的收敛为止.

1.4 Fisher信息矩阵

Kammer在有效独立法研究中利用基于模态振型的Fisher信息矩阵并将其应用到模态测试中布设传感器[10]. 当仅需对模态振型进行观测时，在确保模态可以被充分激励出来的前提下，传感器的输出可以表示为

式中：n为候选测点的数目，此处等于系统自由度数； 为振型广义坐标的待识别参数； 为传感器的输出信息； 为模态振型矩阵.

假设有na（na ＜ n）个传感器，把尽量保留模态独立性信息、保证目标模态可以实现最佳估计作为前提条件，在n个候选测点上布置na个传感器，使得待识别参数  估计误差协方差矩阵最小，即可得到最佳估计. 修改后的输出表示如式（9）.

式中：向量 为高斯白噪声（方差为 ）.

作为无偏估计，由式（10）表示估计误差的协方差矩阵.

式中：E为数学期望；  为 的估计值.

由于将测试噪音假设为静态高斯白噪声，则量测过程中是恒值. 所以Fisher信息矩阵可以表示为

式中： Q 为基于振型的Fisher信息矩阵，结构模态振型的反应是否足够敏感可以通过基于振型的Fisher信息矩阵得到体现.

1.5 信息熵

信息熵用于度量系统的有序程度，信息熵值越大表示系统的有序程度越高，则系统的不确定度越低，系统的信息量越小. 因此，熵值法是衡量系统包含信息量的工具[9].

Fisher信息矩阵的信息熵可表示为

2 传感器优化布置方法

2.1 传感器位置布置

基于频率响应函数的传感器布置方法首先对研究的目标结构进行模态分析，提取目标模态振型，并根据材料的几何参数和材料特性计算结构的频率响应函数. 通过对于结构频率响应函数的计算可以消除模态参数，提取误差，并共享大量的频率数据来选择传感器位置. 然而与频率相关的频率响应函数矩阵中的列向量是线性相关的，导致频率信息冗余，故而基于独立分量分析对结构的频率响应函数矩阵进行独立化处理，得到列向量线性无关的频率响应函数矩阵. 基于K均值聚类法对研究目标结构有限元划分的节点进行聚类划分，将结构自由度中具有相似动态特性的自由度划分为一簇，并根据相关距离的聚类准则计算每簇的聚类中心，同时删除导致信息冗余的自由度，输出聚类中心所在节点位置即传感器布置位置. 传感器位置布置流程如图1所示.

2.2 传感器数量优化

何浩祥等对板类结构及一般空间结构的传感器布置数量优化进行了研究[11].

若结构前 阶模态各自独立，且各模态的传感器布点对其它模态的观测无作用，则需要传感器数量 的最小值为 ，但是对于板类结构或者网壳等空间结构而言，其频率密集且可能产生多组重频. 若此类结构存在组l重重频，且各模态的传感器独立布点，则所需传感器数量的最小值为

一般的空间结构及板类结构常存在 组二重重频，当观测其前 阶模态时，传感器数量至少需要的个数为，因此

图1 传感器位置布置流程
Fig. 1 Flow chart of sensor placement

根据上述分析结果，则有当目标结构为一般的空间结构及板类结构时，确定目标结构布置传感器数目方法如下：根据目标模态分析提取的模态数确定需布置的传感器数范围进行布置，并依次得到布置位置，计算不同传感器数量得到的不同布置位置所对应的Fisher信息矩阵，并计算其信息熵，信息熵的极小值点所对应的传感器数即为传感器的布置数量，即使得所获得信息量最大化，即得到目标结构的待布置传感器数量.

3 工程算例

3.1 算例1

悬臂梁模型用于演示所提出方法的数值性能.悬臂梁的有限元模型由30个单元构成，梁的有限元网格各节点横向自由度是传感器的一个候选位置.悬臂梁的长度为0.530 7 m，宽度为0.019 0 m，高度为0.003 2 m，杨氏模量和质量密度分别为7.1 ×1010 N/m2和2 700 kg/m3.

对悬臂梁进行模态分析并提取前3阶模态振型，根据式（14）有悬臂梁待布置的传感器数目范围为3～6个，悬臂梁的前3阶模态振幅如图2所示.基于悬臂梁的几何参数和材料特性计算得到悬臂梁结构的频率响应函数，基于ICA和K-均值聚类法对悬臂梁进行传感器位置布置，得到不同传感器数目对应的不同布置位置如表2所示.

图2 悬臂梁前3阶模态振幅
Fig. 2 First three mode amplitudes of cantilever beam

表2 悬臂梁布置结果
Tab. 2 Results of sensor placement of cantilever beam

计算不同传感器数量对应布置位置Fisher信息矩阵的信息熵，计算结果如图3所示. 信息熵的极小值点对应的传感器数目为6个，即悬臂梁待布置传感器数量为6个，即得到悬臂梁传感器位置和数量的布置方案，布置效果如图4所示.

图3 悬臂梁Fisher信息矩阵信息熵值
Fig. 3 Entropy of Fisher information matrix of cantilever beam

图4 悬臂梁布置效果
Fig. 4 Result of sensor placement of cantilever beam

Li等[6]使用PCA的布置方法所得到的布置位置是：7、9、16、21、24、30. 分别计算 Li等的布置方法与本文布置方法所得布置位置的Fisher信息矩阵的信息熵，并进行对比得到结果如图5所示. 从图5中可以看出，在布置相同数量的传感器的前提下，本文布置方法 （ICA）所得的信息熵小于Li等的布置方法 （PCA），即本文布置方法所得Fisher信息矩阵中包含的信息量大于Li等的布置方法.

图5 PCA与ICA布置结果信息熵对比
Fig. 5 Comparison of entropy between PCA and ICA

3.2 算例2

CRH3型动车组构架的尺寸为长3.180 m，宽2.926 m，高0.746 m，参照CRH3型动车组构架图纸建立构架实体模型并导入ANSYS Workbench18.0进行网格划分，得到603 995个节点，基于国际铁路联盟标准UIC615-4[12]对构架模型进行静强度校核，校核结果最大应力值为204.28 MPa，小于构架材料S355J2G的屈服极限355 MPa，模型满足强度要求并确定各工况下最大应力发生部位，分别是侧架下盖板圆孔位置、轴箱转臂定位座附近和横向止档座与横梁连接处.

3.2.1 传感器选型

由于传感器选型是基于振动的研究且研究目标结构为动车组构架，故选取应变式传感器，应变式传感器具有结构轻小且精度高的特点，能够全面、准确地反映结构的运动性质[13]. 基于ANSYS Workbench 18.0对构架进行模态分析并提取前7阶模态振型，构架前7阶目标模态振动频率范围为32～114 Hz，故选取应变式传感器的型号为P1200系列应变式传感器.

3.2.2 构架传感器优化布置

将CRH3型动车组的构架导入ANSYS Workbench18.0中进行模态分析，并提取前7阶全局振动的模态振型[14]，即传感器的待布置数量为7～14个.根据机械工程材料性能数据手册对构架材料S355J2G属性进行查询，查询结果如表3所示.

表3 S355J2G参数
Tab. 3 Parameters of S355J2G

基于构架材料的几何参数和材料特性计算结构的频率响应函数，基于ICA和K-均值聚类法对构架布置7～14个传感器分别进行传感器位置的布置，并计算每种布置数量对应结果的Fisher信息矩阵的信息熵，结果如图6所示.

图6 构架Fisher信息矩阵信息熵值
Fig. 6 Entropy of Fisher information matrix of frame

由图6可以看出，信息熵的极小值点出现在传感器数量为13时，即当传感器数量为13时所得Fisher信息矩阵的信息熵最小，即信息量最大，所以构架传感器的布置数量为13个. 将得到的传感器优化布置位置所对应的节点位置用ANSYS Workbench18.0进行识别，得到布置效果如图7所示.

图7 转向架构架传感器布置效果
Fig. 7 Result of sensor placement of frame

4 结 论

（1） 基于频率响应函数的传感器优化布置方法通过对频率响应函数、独立分量分析和K-均值聚类法的应用，避免了模态参数提取误差，降低了频率信息冗余程度和自由度信息冗余程度，将布置方法的适用范围从线性问题拓展到了一般问题中，使布置方法更贴近实际问题.

（2） 运用熵值法实现对传感器布置数量的优化，使有限数量的传感器尽可能多的获取信息，实现对一般的空间结构及板类结构布置传感器数量的优化.

（3） 将频率响应函数的传感器优化布置方法应用到动车组构架的传感器布置中，传感器的布置位置在基于国际铁路联盟标准UIC615-4各工况下构架最大应力产生位置的附近，同时得到信息熵极小值优化传感器布置数量，实现动车组构架传感器布置位置和数量的双重优化，即运用有限数量的传感器获得尽可能多的构架振动信息，从而使得在监测构架状态时使用更为科学、经济的传感器布置方法获得更多结构信息.