干滑动摩擦单自由度系统的滑块运动特性及试验验证

当物体在没有润滑的表面上滑动时，会产生干摩擦力。干滑动摩擦力的大小正比于接触表面间的法向力，其方向与相对运动的方向相反。干摩擦阻尼(也称库仑阻尼)在许多工程结构中都存在，研究人员对干摩擦特性及其应用也较为关注。邱支振[1]给出库仑阻尼振动的一般解，得出了表示库仑阻尼器衰减效果的基本关系式，以便于在工程应用中选择库仑阻尼器的基本参数。张萌等[2]利用分段线性方法对含库仑阻尼系统的冲击方程进行了解析求解，研究发现，忽略库仑阻尼的黏滞作用或对冲击激励进行速度阶跃等效，会造成冲击响应计算结果严重偏离正常值。王栋[3]采用数值分析方法，计算了多自由度结构附带一个冲击减(吸)振器前后，受突加外扰力的位移响应历程。程耀东等[4]给出了库仑阻尼系统的理论模型，将一个非线性方程分解为两个线性方程，推导了一个周期内位移与时间之间的关系表达式。薛超等[5]研究了织构深度、网状织构的排布夹角以及单织构的接触面积对铝合金摩擦系数及磨损量的影响。Deng等[6]研究了CoCrFeNiMo高熵合金的干滑动摩擦和磨损特性。Wang等[7]研究了TiC/Al-Cu3.7-Mg1.3纳米复合材料的干滑动摩擦和磨损特性。

目前涉及干滑动摩擦的文献以材料性能和试验研究方面的居多，强调改善滑动界面的摩擦性能，提高材料的抗磨损能力，但是忽视了从机械原理角度出发建立本构关系，例如：没有分析滑块往返运动的位移与时间之间的复杂关系机理；没有全面考虑滑块初位移和初速度；没有建立滑块位移与时间之间的完整数学表达式。

本文拟采用符号函数和分段线性方法，求解干滑动摩擦力作用下单自由度系统中滑块振动位移的解析解，并运用动能定理对滑块振动位移解析解进行证明，然后采用Matlab®R2009b软件进行数值仿真，并进行滑块在花岗岩上的滑动试验研究，以验证本文所推导出的滑块振动位移解析解的有效性。

1 干滑动摩擦单自由度系统的滑块运动特性

具有干滑动摩擦力的单自由度系统模型如图1所示，弹簧与滑块栓接，其中点O为弹簧原长时的右端位置，m为滑块质量，k为弹簧的劲度系数，μ为动摩擦因数，x为弹簧形变量，以点O为坐标原点建立坐标系，水平向右为X轴正方向。

图1 受干滑动摩擦力的单自由度系统

Fig.1 Single-degree-of-freedom system subjected to dry sliding friction

由牛顿第二定律得

mx″+kx=-μmgsgnx′

(1)

式中：sgn为符号函数，且

(2)

假设系统的初始条件(初位移、初速度)为

x(0)=x0>0

(3)

x′(0)=0

(4)

即把滑块从点O缓慢向右拉到点A，然后无初速度释放。下面利用分段线性方法进行解析求解。

若即初位移太小，则滑块一直保持静止；若则滑块开始向左运动，此时x′<0，根据式(1)和式(2)，有

mx″+kx=μmg,x′<0

(5)

式(5)的解为

(6)

(7)

式中：ωn为系统无阻尼固有角频率，其描述了滑块振动的快慢。

将式(3)代入式(6)：

(8)

结合式(8)和式(6)：

(9)

x′<0

(10)

将式(4)代入式(10)：

C2ωn=0⟹C2=0

(11)

将式(11)分别代入式(9)和式(10)：

(12)

(13)

若滑块向左运动到图1中点B时的速度为0，则由式(13)得：

(14)

(15)

结合式(12)与式(14)：

(16)

(17)

若滑块初位移满足则弹簧的恢复力为

(18)

这时滑块从运动迅速变为静止。

设初位移较大，满足滑块在点B的振幅比在点A的振幅的减少量为

(19)

滑块位于点B时，令其所受合力方向向右：

=kx0-3μmg>0

(20)

则初位移要满足

(21)

此时滑块从点B向右运动，x′>0。根据式(1)和式(2)可得

mx″+kx=-μmg,x′>0

(22)

式(22)的解为：

(23)

(24)

结合式(24)和式(17)：

⟹

(25)

将式(25)代入式(23)：

(26)

(27)

(28)

根据式(28)和式(15)：

-ωn C4=0⟹C4=0

(29)

将式(29)分别代入式(26)和式(27)：

(30)

(31)

当滑块向右运动，若到达位于点O右边的点C时速度为0，则由式(31)可得

(32)

结合式(30)与式(32)：

(33)

(34)

如滑块初位移更大，满足

(35)

滑块在点C的振幅比在点B的振幅的减小量为

(36)

综合式(16)和式(33)，并进行合理外推，可得

(37)

滑块从滑动变为静止时，弹簧的弹力应不大于干滑动摩擦力。最后，系统的静止位置x满足的2个条件是

(38)

(39)

式中：表示弹簧的弹力与干滑动摩擦力平衡时的弹簧压缩形变量；表示弹簧的弹力与干滑动摩擦力平衡时的弹簧伸长形变量。

2 干滑动摩擦单自由度系统解析解的证明

当滑块从点A向左运动到点B时，弹簧的弹力F=kx对滑块做的功等于弹簧的初弹性势能减去末弹性势能，即

(40)

将滑块从点O缓慢向右拉到点A，然后无初速度释放，滑块在固定接触面上滑动，所受干滑动摩擦力的方向始终与滑块位移方向相反，干滑动摩擦力做负功，并全部转换为热能：

Wf=-μmg(x0-xB)

(41)

由动能定理得：

(42)

(43)

式(43)与式(17)一致。

当滑块从点B向右运动到点C时，弹簧的弹力对其做功为

(44)

干滑动摩擦力对滑块做的功(即摩擦生热的相反数)为

Wf=-μmg(xC-xB)

(45)

再由动能定理得

(46)

(47)

将式(43)代入式(47)：

(48)

式(48)与式(34)一致。

3 干滑动摩擦单自由度系统解析解的数值仿真

设一个质量为15kg的滑块，在初位移x0=5 cm时释放，弹簧的劲度系数k=980 N/m，动摩擦因数μ=0.1，重力加速度g=9.8m/s2。试确定滑块达到静止状态时的位置。

将上述参数分别代入式(7)、式(39)，得：ωn=同时根据式(38)的第一行和第二行，有

(49)

将代入式(37)的第一行：

=-0.02 m∉[-0.015 m,0.015 m]；

将代入式(37)的第二行：

=-0.01 m∈[-0.015 m,0.015 m]。

最终，滑块达到静止时的位置为x=-1 cm，而不是停留在弹簧的自然状态即右端位置x=0。

采用Matlab®R2009b软件进行数值仿真，在初位移的作用下，滑块运动的位移曲线如图2所示，由图可见，点(0.7773，-1)与理论解x=-1 cm完全吻合。

图2 滑块位移曲线

Fig.2 Displacement curve of the slider

由上述分析可知，干滑动摩擦力作用下单自由度系统中的滑块运动是一个具有线性衰减振幅的简谐运动，自由振动的频率(见式(7))不受干滑动摩擦力的影响，即与动摩擦因数无关，但干滑动摩擦力会导致摩擦生热，使振幅呈线性衰减(见式 (37))。

4 干滑动摩擦单自由度系统解析解的试验验证

一个质量为15 kg的滑块，材质为工程结构陶瓷Si3N4，滑块一端用劲度系数k=980N/m的弹簧栓接，弹簧的另一端固定，滑块开始静止在花岗岩石块上(天山红石材光面，其密度为2.8×103 kg/m3)，滑块与花岗岩之间的理论动摩擦因数μ=0.64，在初位移x0=1.44 m时释放滑块，重力加速度g=9.8 m/s2。

首先，使用M-2000型环-块摩擦磨损试验机测量滑块与花岗岩之间的动摩擦因数，如图3(a)所示。上试样滑块固定在试验机的专用夹具上，下试样花岗岩安装于试验机主轴上，用水平仪保持上、下试样垂直接触，设定载荷为125 N。实验前，用丙酮CH3COCH3和体积分数为95%的乙醇或无水乙醇清洗滑块并吹干。实验过程中，利用传感器实时采集压力、转速、转矩等参数，通过计算机软件系统计算，可获得随时间变化的动摩擦因数。理论动摩擦因数与实际动摩擦因数的对比如图3(b)所示，由图可见，滑块与花岗岩之间的实际动摩擦因数在0.61～0.66之间，与理论动摩擦因数0.64很接近。

然后，进行干滑动摩擦力下滑块在花岗岩上的滑动试验，位移测定原理如图3(c)所示。发射器A(质量0.10 kg)固定在运动滑块上，由于发射器质量相对于滑块质量很小，在理论计算中将其忽略，对试验结果影响较小。接收器B(质量0.15 kg)固定在花岗岩上，接收器的质量对试验结果没有影响。测量时发射器A向接收器B同时发射一个红外线脉冲和一个超声波脉冲。B接受到红外线脉冲开始计时，接受到超声波脉冲时停止计时。根据两者的时差和空气中的声速(v=其中T为空气绝对温度)，计算机自动算出A与B的距离(红外线的波长大于760 nm，速度等于光速c，其传播时间可以忽略)。用位移传感器把滑块运动的位移、时间转换成电信号，经过计算机处理，可以立刻在屏幕上显示滑块运动的位移，自动绘制出滑块运动的位移-时间图像。所有这些操作都可以在不到1 s的时间内自动完成。

(a)测量动摩擦因数的试验装置

(b)理论动摩擦因数和实际动摩擦因数对比

(c)滑块相对于花岗岩运动的位移测定原理

(d)滑块相对于花岗岩运动的实际位移和理论位移

图3 滑块在花岗岩上的滑动试验及其结果

Fig.3 Sliding test of the slider on granite and the results

在初位移的作用下，滑块运动的实际位移和通过解析解获得的理论位移如图3(d)所示，由图可见，理论位移曲线的所有较高点形成上包络直线，所有较低点形成下包络直线，且理论解十分接近通过试验得到的位移。

5 结语

本文求解了干滑动摩擦力作用下单自由度系统滑块振动位移的解析解，并运用动能定理进行了严格证明。Matlab数值仿真和滑块在花岗岩上的滑动试验结果与理论计算值很接近，表明本文所推导出的滑块振动位移解析解有一定的普适性。

干滑动摩擦单自由度系统自由振动解析解的构建，有助于推导干滑动摩擦单自由度系统强迫振动的一般解，还有助于探索提高冲击减振器快速耗能性能和抑振效果的途径。