基于伴随仿真的偏振复用超构透镜

1 引 言

偏振成像技术是成像技术与偏振分析技术的结合，广泛应用于生物医学检测[1]、水下目标探测[2-3]和大气污染检测[4]等重要领域。偏振成像系统利用各种偏振调控单元，可以将入射光的各部分偏振分量进行分离，然后利用探测器进行信息的收集，获得各偏振分量的光强信息，进而解析出入射光中的各部分偏振态信息。基于传统光学元件的偏振成像系统面临结构复杂、体积重量大等固有问题，不利于光学系统朝着微型化、轻量化、集成化方向发展。

超构表面是一种由亚波长结构构成的低维电磁调控器件[5-7]，其电磁特性通常由亚波长结构的几何形状与排列方式决定。其中，每个单元结构都可以看作是一个调控单元，通过对单元结构的精细设计，超构表面能够在平面上灵活地操控光波的相位、振幅、偏振等参数，为实现光学器件和系统的平面化、集成化提供了新的技术途径[8-11]。由于其优异的光学性能和强大的电磁调控能力，超构表面在光刻[12-13]、光学成像[14-16]、电磁伪装[17-18]等领域均展现出巨大的应用潜力。近年来，悬链线光学发展迅速，已成为亚波长光学和亚波长电磁学的新研究方向[19-21]，或将成为工程光学2.0的重要部分[22]。通过对介质悬链线结构中传输相位和几何相位的协同调控，能够实现近完美的超广角连续波前调控，由此实现了具有178°视场和衍射极限像质的平面单片式超构镜头[23]。

通过传输相位和几何相位的复合调控，单个超构表面器件可实现对任意正交偏振态相位和振幅的任意独立调控[11,24-26]，因此有能力突破传统偏振成像系统级联多个透镜和偏振片的设计范式[11]。偏振复用超构表面已在光学全息显示[27-28]、涡旋光束生成[29-30]、偏振成像[31]以及其它功能器件[32]方面展现出较大的应用潜力。然而，目前超构表面的优化设计主要采用参数扫描、人工择优的传统设计范式，即首先根据周期性边界条件得到单元结构的电磁响应，然后再按照一定规律排列单元结构，最终完成超构表面器件的设计。这种设计方法面临耗时长、性能难以最优化等问题。以超构透镜为例，当其数值孔径（Numerical Aperture, NA）较小时，由于相位梯度较小，其结构尺寸变化较为缓慢，因此可以近似为周期性边界条件。然而，当其NA 较大时，较大的相位梯度会使得临近的单元结构尺寸具有明显差异，因此不能再近似为周期性边界条件，导致器件性能与预期值存在较大差异[33]。为了提高成像分辨力，往往需要大NA 超构透镜，上述问题亟需解决。

为了实现高效率超构表面，研究人员提出了多种优化方法对超构表面器件内部的结构尺寸进行修正，比如遗传算法[34]、粒子群优化算法[35-36]等。然而这些算法单次迭代通常需要成百上千的种群数，存在计算量巨大、优化设计效率低等问题。伴随优化是一种基于梯度上升的优化方法，仅需要一次正向仿真和一次伴随仿真就能获得评价函数相对于整个参数优化空间的梯度信息，因此其计算量与参数维度无关。伴随优化可细分为拓扑优化和边界优化[37]。通过拓扑优化得到的器件结构具有连续性、设计灵活性高等特点，已用于设计高效率偏折器件[38]。拓扑优化的变量通常是针对介电常数分布，其初始解需要具有连续性，然后经过数百次迭代将连续介电常数分布逐步演化为具有实际意义的二值化分布，无规则的连续结构对修正加工误差提出了更高的要求。相反，边界优化直接优化器件结构边界（例如单元结构的长和宽），因此可以在已有二值化初始结构的基础上通过少量迭代进一步提升效率，且规则化的结构更易于修正工艺误差。目前，边界优化方法已用于优化设计偏振无关超构透镜[39-40]，为实现偏振成像超构透镜的优化设计提供了思路。

本文提出一种基于边界优化的大NA、高效率偏振成像超构透镜的优化设计方法，并由此针对正交线偏振光设计了双焦点超构透镜，即分别将x 和y 偏振光聚焦到同一焦平面的不同位置，因此便可实现偏振成像[31]。

2 边界优化方法原理及结构设计

2.1 边界优化方法原理

为了实现超构透镜聚焦效率的最大化，可以将焦斑电场强度最大化作为优化目标，将单元结构宽度作为优化参数。边界优化评价函数F 可以定义为：

图1(a)和1(b)分别展示了正向仿真和伴随仿真示意图。在正向仿真过程中，将平面波作为入射源，并从基底入射；在伴随仿真过程中，将∂F/∂E=E*作为入射源，并从结构上方入射。其中，伴随仿真的入射源可以直观地理解为将期望输出场的共轭场进行反向传输。由于期望的输出场是完美的汇聚球面波，因此伴随仿真的入射场则是从焦点处发散的球面波[39]。

图1 边界优化原理及流程示意图。(a)正向仿真；（b）伴随仿真；(c)优化算法流程图
Fig.1 Schematic diagram of boundary optimization principle and process.(a)Forward simulation.(b)Adjoint simulation.(c)Flow chart of the optimization algorithm

图1(c)为伴随优化步骤的流程图。为实现对x 偏振光和y 偏振光的独立调控，需对两种偏振光分别进行正向仿真和伴随仿真，从而得到x 偏振光和y 偏振光分别对应的梯度信息。由于x 偏振光对应的传输相位延迟对亚波长结构沿x 方向的宽度更敏感，而y 偏振光对应的传输相位延迟则对y 方向的宽度更敏感，因此为了提高收敛速度，总变化梯度G 可以设定为：

式中，Gx 和Gy 分别表示x 偏振光和y 偏振光入射的变化梯度，ƞx 和ƞy 分别为两种偏振光对应的效率。通过公式(3)得到的梯度，可以使得每次更新迭代的梯度更倾向于效率较低者，从而保证器件对于x 偏振光和y 偏振光的性能基本一致。然后，利用计算得到的总梯度对纳米柱宽度进行更新，继续进行迭代计算，直到评价函数满足优化目标或者迭代次数达到设定值。另外，为了防止单次迭代形变过大，需要限定每次迭代形变量的平均值和最大值。

2.2 偏振成像超构透镜聚焦原理及结构设计

对于成像系统而言，聚焦透镜是其核心部件。入射光经过超构透镜调制后，会以汇聚球面波的形式出射。为了利用单个超构表面器件实现正交线偏振光的同时成像，需要利用亚波长结构对x 和y 偏振光产生不同的相位延迟，使x 和y偏振光分别聚焦到同一焦平面的不同位置。超构透镜上每一点所需要的调制相位φ与该点所在坐标位置有如下关系：

其中，λ=1550 nm 为入 射波 长，f 表 示焦 距，(x,y)表示位置坐标，(x0, y0)表示焦点在焦平面上的位置坐标。通过对x 和y 偏振光设置不同的(x0,y0)，就可以将光斑聚焦到不同位置。

所设计的超构表面单元结构如图2(a)所示，其基底材料为氧化铝(Al2O3)，纳米柱材料为晶硅(Si)。单元结构周期p 为500 nm，纳米柱高度h为1400 nm，L和W 分别为纳米柱沿x 和y 方向的宽度。本文利用八阶传输相位实现了对x 偏振光和y 偏振光的独立调控，即需要通过参数扫描、人工择优遴选同时满足对x 偏振光和y 偏振光均能实现0到2π 相位覆盖的64个单元结构，如图2(b)所示。仿真结果表明，优化的64个单元结构可较好地满足0到2π 相位覆盖要求，其中平均透射振幅为0.9356。然后，基于64个单元结构的传输相位和公式(4)便可得到超构透镜的初始结构。

图2 (a)单元结构示意图；(b)64 个单元结构的传输相位响应
Fig.2 (a)Schematic diagram of a unit cell;(b) propagation phase responsesof 64 unit cells

3 基于人工择优初始结构的优化设计

通过上述方法，设计了一个焦距为5μm、口径为30μm 的柱面超构透镜。其中，x 和y 偏振光对应的焦点坐标分别为(5μm,0 μm)和(−5μm,0μm)，等效NA 约为0.94。由于焦点不在超构透镜中心轴上，因此等效NA 定义如下：

式中，n为超构透镜与焦点之间介质的折射率，r0 为焦点到超构透镜中心轴的距离，R为超构透镜半径，f 为焦距。

本文利用时域有限差分（FDTD）计算超构透镜的电场分布和效率。图3(a)～3(b)展示了优化前后超构透镜沿x 方向的60个纳米柱的长度和宽度变化情况。其中L0 和W0分别表示初始结构沿x 方向和y 方向的宽度，L1和W1则表示优化后的宽度。为了更加直观地展示优化前后结构变化情况，图3(c)给出了局部几个纳米柱的变化情况，其中红色和深绿色分别代表优化前后的结构，而浅绿色为两组结构重叠的部分。可以看到，优化后的结构参数与优化前明显不同，并且优化的边长不是对称变化的。这是由于为了给超构表面单元结构设计提供更高的自由度，所以对纳米柱的4条边长给予独立的形变。通过这样的调控方式，还可以使纳米柱中心发生平移，因此能够实现更高的效率。

图3 优化前后纳米柱沿(a) x 方向和(b) y 方向的宽度变化；(c)部分纳米柱优化前后对比图
Fig.3 Width changes of nanofins along the(a) x-direction and (b) y-direction before and after optimization.(c)Comparison of part of nanofins before and after optimization

图4展示了两种偏振态的入射光在xz 平面的光强分布图，其中图4(a)和4(b)分别为优化前x 和y 偏振光入射下的光强分布，图4(c)和4(d)分别为优化后x 和y 偏振光入射下的光强分布，图4(e)和4(f)分别为优化前x 和y 偏振光入射下焦点处的归一化强度图，图4(g)和4(h)分别为优化后x 和y 偏振光入射下焦点处归一化强度图。从这些结果中可以看到，优化后的焦斑旁瓣明显被抑制，电场强度最大值也得到显著提高。为了更好地对优化前后的效果进行对比，给出了优化前后的相位分布图，如图5所示。可以看出，由于周期性边界条件的破坏使得优化前的相位分布比较杂乱，优化后两种偏振光入射下的相位分布均变得更加平滑和均匀，波前畸变得到了很好的校正。

图4 优化前(a) x 偏振光和(b) y 偏振光入射下的xz 平面光强分布；优化后(c)x 偏振光和(d) y 偏振光入射下的xz 平面光强分布；(e)～(h)沿着(a)～(d)中虚线绘制的归一化强度分布
Fig.4 Intensity distributions in the xz plane before optimization under the illumination of (a) x-polarized light and (b) y-polarized light.Intensity distributions in the xz plane after optimization under the illumination of(c) x-polarized light and(d) y-polarized light.(e)～(h) Normalized intensity profiles along the dashed linesare shown in (a)～(d)

图5 x 偏振光入射时，(a)优化前和(b)优化后的相位分布；y 偏振光入射时，(c)优化前和(d)优化后的相位分布
Fig.5 The phase distributions(a)before and(b)after optimization for the incident of x-polarized light.The phase distributions(c) beforeand (d)after optimization for the incident of y-polarized light

在仿真中设置迭代次数为100次，随着迭代次数的增加，绝对效率与衍射效率都有了明显提高，如图6(a)和6(b)所示。x 偏振光对应的绝对效率由～51.66%增加到了～68.69%，相比于优化前提高了～32.97%；y 偏振光对应的绝对效率由～48.22%增加到～64.65%，相比于优化前提高了～34.07%。x 偏振光对应的衍射效率由～67.76%增加到～80.36%，相比于优化前提高了～18.60%；y 偏振光对应的衍射效率由～72.95%增加到～88.25%，相比于优化前提高了～20.97%。其中，绝对效率（衍射效率）定义为3倍半高全宽范围内的能量与入射总能量（焦平面总能量）之比，然后归一化理想相位分布对应的理论值。所提高的百分比定义为优化前后的效率之差与优化前的效率之比。

图6 优化过程中超构透镜的(a)绝对效率和(b)衍射效率
Fig.6 (a)Absolute efficiency and (b)diffraction efficiency of the optimized metalens during optimization

4 基于均匀阵列初始结构的优化设计

上述超构表面器件的设计需要人工优化单元结构，然后再用边界优化方法对结构进行优化，但优化单元结构（尤其是用于偏振复用的单元结构）非常耗时，且需要大量的经验。事实上，利用边界优化方法对均匀阵列的初始结构进行优化也可以使超构表面器件达到较高的衍射效率。对此本文也进行了仿真验证，使用均匀正方形纳米柱作为初始结构进行了5组仿真验证，其宽度分别为210、240、270、300 和330 nm。通过多次迭代，都达到了很好的效果，其绝对效率与衍射效率如图7所示。其中图7(a)和7(b)分别为x 和y 偏振光入射时的绝对效率，图7(c)和7(d)分别为x 和y 偏振光入射时的衍射效率。在迭代次数为20～40次时，两种偏振光对应的绝对效率与衍射效率基本收敛。并且可以看到，两种偏振光对应的衍射效率为85% 左右，绝对效率为73%左右。与先寻找单元结构的设计方法相比，该设计过程省去了人工优化单元结构的繁琐步骤，并且可以获得更好的效果。这是因为在基于人工择优初始结构的优化设计中，需要先给出一组满足特定条件的初始结构（通常通过参数扫描、人工择优得到），导致它停留在一个有限的局部设计参数空间，从而限制了边界优化对提高效率的实质性作用[41]。而基于均匀阵列初始结构的优化设计可能会减少这种情况的影响，从而获得更好的优化效果。

图7 (a) x 偏振光和(b) y 偏振光入射下，不同初始结构的超构透镜的绝对效率；(c) x 偏振光和(d) y 偏振光入射下，不同初始结构的超构透镜的衍射效率
Fig.7 Absolute efficiency of five metalenses with different initial structures during optimization under illumination of (a) xpolarized light and (b) y-polarized light.Diffraction efficiency of five metalenses with different initial structures during optimization under illumination of (c) x-polarized light and (d) y-polarized light

为了更好地说明基于均匀阵列初始结构优化设计的优越性，进一步使用该方法设计了一个二维聚焦超构透镜。考虑到计算量的问题，超构透镜尺寸设计为20μm×20μm，焦距为5μm。x 和y 偏振光对应的焦点坐标分别为(2.5μm,0μm)和(−2.5μm,0μm)，等效NA 约为0.89。随后，将边长为270 nm 正方形纳米柱阵列作为超构透镜初始结构，迭代次数仍设为100次。仿真结果如图8所示，其中，图8(a)和8(b)分别为绝对效率和衍射效率，图8(c)和8(d)分别为x 和y 偏振光入射下焦平面上的光强分布。从仿真结果可以看出，迭代20次左右之后基本收敛，最终超构透镜的衍射效率为92%左右，绝对效率为82%左右。

图8 优化过程中超构透镜的(a)绝对效率和(b)衍射效率；(c) x 偏振光和(d) y 偏振光入射下焦平面光强分布
Fig.8 (a)Absolute efficiency and(b)diffraction efficiency of the optimized metalens during optimization.Intensity distributionsin the focal plane under illumination of (c) x-polarized light and (d) y-polarized light

5 结 论

本文提出了一种基于伴随仿真和边界优化的多功能超构透镜的设计方法，并由此设计了可以实现x 和y 正交偏振光独立调控的大数值孔径、高效率的偏振成像超构透镜。该透镜可以将x 和y 偏振光分别聚焦到不同位置，其等效数值孔径约为0.94。在基于人工择优初始结构优化设计中，x 和y 偏振光的衍射效率分别为80.36%和88.25%左右，相比于优化前提高了20%左右。基于均匀阵列初始结构优化设计的二维聚焦超构透镜的等效数值孔径约为0.89，x 和y 偏振光对应的衍射效率为92%左右。综上所述，本文设计的大数值孔径、高效率超构表面器件在偏振成像、光通信等领域具有较大的应用潜力，同时为设计多波长、多功能集成以及其它复杂条件下的高效率超构表面器件提供了新的思路。