基于双光栅法的充液容器共振规律研究

0 引 言

共振是常见的自然现象，对人类的生活、工作和安全等有重要影响。合理利用共振现象可以给人类的生活和工作带来极大的便利，比如利用机械共振原理可以制造地震仪，工业生产中的振动式压路机和打夯机等也是利用了共振原理[1]；但同时共振也会引起结构很大的变形和动应力，甚至造成破坏性事故，如共振引起桥梁倒塌事件、次声波与人体器官发生共振后造成大量人员伤亡、机床共振后影响加工精度等事件屡见不鲜[2]。近年来，随着我国经济发展和战略方针的重大调整，特别是亚投行投资下油气运输的发展、“一带一路”促进下商贸物流的繁荣，大型油船、储油罐以及原油管道等装有部分液体的容器在外界激励作用下共振现象越来越引起关注，共振会导致油船内液体剧烈晃荡，甚至会引起船体倾覆和输油输气管道断裂[3-6]。但目前对装有部分液体的容器共振现象的研究不系统，大多集中于对振动模式的探究，而较少关注共振频率与共振振幅。在理论研究中，French等[7]建立了圆柱面型玻璃杯装有液体时共振频率和振幅的解析模型，Jundt等[8]对旋转抛物面型玻璃杯的振动模式进行了探究。在实验研究方面，目前尚无对于装有部分液体的容器振幅测量的系统报道。因此亟需开展类似问题的研究，发展能精确测量充液容器共振参数的实验技术，在此基础上进行系统的研究，分析影响充液容器共振规律的控制因素。

本文利用常见的大学物理实验教学设备，采用改进的双光栅法系统研究了盛有液体玻璃酒杯的共振规律，重点分析了容器内液体的高度、粘性以及容器几何尺寸等参数对共振频率和振幅的影响。结果表明，实验结果能较好的与French模型吻合，研究成果可用于类似工业和民用容器的工程设计和共振规律的研究。

1 理论基础

物体一般存在多个振型，不同振型所对应的频率不同，振型驻点个数越多，所对应的频率就越高，振幅也越小。根据文献[7]的研究成果，可假定容器（杯子）的振型为在杯口形成一个有4个驻点的圆形驻波，在竖直方向上产生只有1个驻点的驻波，驻点在杯子最下端固定处，在给定能量的情况下，可建立能量方程：

式中：——总能量；

Δ——振幅；

t——时间；

m、k——常数，ω2=k/m，ω表示振动频率。

从而可给出空杯动能和势能方程：

式中：K 、U——空杯的动能和势能；

ρg——玻璃密度；

a、 H 、R——杯壁厚度、高度、内径；

z——高度的垂直坐标；

Y——玻璃杨氏模量；

Δ0——共振振幅；

f(z)——振幅系数，在不同玻璃杯基准形状下

描述不同高度杯壁的振幅大小。

玻璃杯振动时，在顶部自由，在底部被夹紧，故f(z)是一个单调增函数，z=0时f(z)=0，z=H时f(z)=1。根据文献[9]的研究成果，f(z)的表达式为

其中A、B 、β都是常数。因不同玻璃杯基准形状不同，根据文献[8]，对旋转抛物面酒杯，其振幅系数可为：

根据文献[7]，对圆柱面酒杯，其振幅系数可为：

当杯子中装有液体时，与轴线距离为r的单位体积液体的径向位移δr 和横向位移δt满足：

其中是比例系数。

从而可类似的给出液体的动能

式中：ρl——液体密度；

ε——待定系数，

h——液面高度。

故当杯子中有液体时，系统的动能与共振频率满足：

式中：ν0——空杯共振频率；

νh——液面高度为h下的系统共振频率。

从而可以推出，对于旋转抛物面的杯子，共振频率νh与 振幅Δ0分别为：

圆柱面杯子的共振频率νh与 振幅Δ0分别为：

2 实验研究

选用抛物面形和圆柱面形两种不同形状玻璃杯，通过改变容器中液体高度和粘度系数分析各主要控制参数对容器共振规律的影响。利用50VA扬声器及功放设备作为信号源，SDG1020频率发生器用于调节发声频率，VM99双光栅微弱振动测量仪与SDS1062D数字示波器用于瞬态信号采集并用于判断共振频率和测量共振振幅，实验设备实物照片见图1。

图1 实验装置实物

微弱振动测量仪是物理实验教学中测量音叉振动幅度的常见仪器，一般采用两片完全相同的光栅平行紧贴，一片静止固定在底座上，另一片固定在音叉上随音叉振动而上下运动，通过两者相同运动产生多普勒频移效应测量音叉相对位移[10]。为测量杯子振动的微振幅，对传统的微振动测量仪进行改进，将原本安装在音叉振动幅度最大一端的光栅拆下安装至玻璃杯杯口的位置，使其与静止光栅平行。当玻璃杯接收到扬声器发出的基于共振频率的声波时，玻璃杯上粘着的光栅将会相对于静止光栅运动，此时令一束激光光束通过这样的双光栅，移动光栅由于多普勒效应产生了频移光，而静止光栅产生非频移光。这两束光叠加形成光拍，通过光电检测器测量差频信号，就可以精确测定微弱振动的位移，此位移与示波器中显现的光拍中包含的波峰数成正比。

为确定固有频率的大致范围，用木棍敲击玻璃杯上部，利用装置采集声波，通过Cool Edit软件对其进行频谱分析，其中能量分布最为集中的频率范围即为固有频率的大致范围。在此基础上利用双光栅法进行精确测量：在该频率附近，调节频率发生器频率，找到在0.1 Hz的精度下能使玻璃杯振动幅度最大的频率，即为此种情况下的振动频率。为了避免所测共振是由二次谐波引起的，对该频率的1/2和1/3等的频率及其倍频进行实验研究。实验结果表明，只有当扬声器发出的声音在该频率上有显著分布的时候，玻璃杯才会发生共振，从而排除了出现二次谐波的可能性。

玻璃杯共振振幅，可以直接通过双光栅法测得，其与示波器中显现的光拍中包含的波峰数成正比。而玻璃杯处的声强测量，也可以通过在玻璃杯附近的收声器收声，在Cool Edit中频谱分析求得在该共振频率下的声强分布。

基于以上实验技术，本文系统开展了不同玻璃杯中液面高度玻璃杯中液体粘滞系数、声强，以及杯子的形状等参数对共振频率和振幅影响的实验研究。

3 实验结果分析

3.1 旋转抛物面酒杯

3.1.1 水面高度对共振频率的影响

为研究水面高度对共振频率的影响，测量不同水面高度时系统的共振频率，实验结果与式（9）对比见图2，其中ν0=1 122 Hz，ρl=1 g/cm3，ρg=2.5 g/cm3，R=69.744mm，a=1.903 mm，H=82.6 mm，拟合所得系数ε=0.5，式（9）与实验数据吻合较好。

3.1.2 不同水面高度与声强对振幅的影响

在双光栅法测量振幅的方法中，振幅测量可以转化为对半包络周期内波峰个数nλ测量。液面高度2.50～4.50 cm范围内所对应的声强级LI与半个包络周期内波峰个数实验结果见图3。实验结果表明，水面高度越高，所对应的半周期波数就越小，即在相同声强下振幅越小；相同水面高度的实验结果则表明声强越大所对应的振幅就越大。

图2 共振频率随水面高度变化规律实验值与理论曲线对比

图3 不同水面高度振幅随声强级变化规律实验结果与拟合曲线对比

根据系统振动总能量E 与声强级LI之间的关系，有：

式中：LI——声强级（dB）；

I——声强；

I0——基准声强；

E0——基准能量。

因nλ与Δ0成线性正比关系，将式（13）带入式（10）则有：

其中C(h)为仅与h有关的系数。根据图3的数据，对式（14）拟合，可得h分别为2.50 cm、3.00 cm、3.50 cm、4.00 cm和4.50 cm时，系数C(h)分别为35.010 9、32.962 3、29.529 8、26.485 5和22.431 1。

为消除液面高度h影响，引入相对声强级和相对振幅的概念，两者之间具有如下关系：

式（15）与实验数据对比见图4，两者能较好地吻合。

图4 相对声强级与振幅实验结果与理论值对比

3.1.3 粘滞系数对共振频率和振幅的影响

相同密度不同粘滞系数的液体，在相同液面高度下共振频率及振幅的实验结果如表1所示。在本文所选用的粘滞系数范围内，共振频率和振幅相差不大，即粘滞系数对共振的影响可以忽略。

表1 粘滞系数对共振频率及振幅的影响实验数据

3.2 圆柱面酒杯

为研究容器形状对共振规律的影响，选择圆柱面酒杯开展了相同的共振实验研究，限于篇幅，本文中只给出液面高度对共振频率影响以及不同液面高度下声强对振幅影响的实验结果。图5为不同液面高度的共振频率实验结果，并给出利用式（11）以及参数a=1.720 mm，ρl=1 g/cm3，ρg=2.5 g/cm3，R=54.703mm，H=14.66 cm，ν0=1 815 Hz拟合所得结果，其中拟合系数ε=0.3，拟合值与实验结果吻合较好。图6为利用式（15）所示的相对声强级与振幅关系和实验结果对比，其变化规律也与抛物线杯子相同，能较好地与式（12）吻合。研究结果表明容器形状对共振规律的影响可通过在式（7）和式（8）中引入振幅系数f(z)来体现，同时也表明式（7）和式（8）具有一定普适性，其对共振频率和振幅的预测可以较好地推广到其他形状的容器。

图5 圆柱面酒杯共振频率随水面高度变化规律实验结果与理论曲线对比

图6 圆柱面酒杯相对声强级与振幅实验结果和理论值对比

4 结束语

本文提出一种改进的双光栅测量共振参数的实验技术，针对部分充满液体容器在外界激励下强迫振动问题，利用简单实验设备即可方便准确地测量共振频率和振幅等参数。系统开展了实验研究，分析了主要控制参数对共振频率和振幅的影响，取得如下主要结论：

1）所提出改进的双光栅法能方便地用于装有部分液容器共振频率和振幅的精确测量；

2）现有的French共振模型与实验结果较好吻合，验证了实验结果的科学合理性，研究成果可推广至工程应用，以进行装有部分液体容器的共振参数计算和结构设计；

3）容器形状不同给共振规律带来的影响可以通过修改振幅系数来描述，因此本文研究结论可推广至其他形状的容器共振现象分析。