频率依赖性对黏弹性调谐质量阻尼器的影响

调谐质量阻尼器由质量块、弹性单元和阻尼单元构成,通过选取合适的设计参数,形成独特的调谐机制，从而有效地吸收和耗散结构的振动能量[1-3]．由于具有较强的参数敏感性,调谐质量阻尼器更适合控制单一模态的结构振动,且受控结构具有较弱的不确定性[3-5]．尽管多重调谐质量阻尼器能够减弱失调效应,但其复杂的构造、较高的安装空间要求限制了广泛的工程应用．

近年来,各类新型材料部分或者完全替代传统调谐质量阻尼器中的弹簧和黏滞阻尼器,以达到改善阻尼器性能的目的．黏弹性阻尼器在动力作用下能够同时提供刚度和阻尼,构造简单可靠且控制鲁棒性好[6]．所以,含有黏弹性阻尼器的黏弹性调谐质量阻尼器能够适用于大质量比、安装空间受限和强不确定性的结构振动控制．Rüdinger[7]分析了黏弹性调谐质量阻尼器控制结构地震响应的机制和最优设计参数取值,数值计算验证了阻尼器的有效性．de Espíndola等[8]将结构-黏弹性调谐质量阻尼器耦合系统等效为单自由度系统,简化了阻尼器设计参数优化问题．Doubrawa等[9]和Saidi等[10]分别采用黏弹性调谐质量阻尼器控制旋转系统振动和楼板振动,获得了很好的控制效果．薛启超等[11]设计出的黏弹性碰撞调谐阻尼器可以有效减小结构在地震作用下的响应,且减震效果优于普通的调谐质量阻尼器．

黏弹性材料的动态力学性能具有显著的频率依赖性,而调谐质量阻尼器是典型的频率敏感型阻尼器．因此,黏弹性调谐质量阻尼器需要考虑其频率依赖性的影响,以获得准确的控制效果评估．目前,国内外关于这方面的研究较少.本文采用等效分数阶开尔文模型考虑黏弹性材料的频率依赖性,建立结构-黏弹性调谐质量阻尼器系统的动力方程,研究剪切储能模量和损耗因子的频率依赖性对受控结构和阻尼器动力响应的影响．

1　黏弹性调谐质量阻尼器

1.1　阻尼器的动力方程

黏弹性材料在动力作用下应变滞后于应力,从而产生阻尼效应．由于黏弹性材料的剪切模量小于压缩模量,故黏弹性材料常被制作成剪切型阻尼器,以利于充分发挥材料的阻尼性能．黏弹性调谐质量阻尼器就是将剪切型黏弹性阻尼器兼作刚度单元和阻尼单元,如图1所示．将黏弹性调谐质量阻尼器等效为单自由度系统,其动力方程写成如下形式:

(1)

(2)

式中,mv为质量块的质量和xv分别为阻尼器相对于结构的加速度、速度和位移为阻尼器安装处结构的加速度;fv为阻尼器施加于结构的作用力;G1和η分别为黏弹性材料的剪切储能模量和损耗因子;n,As,hv分别为黏弹性材料层的剪切层数、剪切面积和剪切厚度;ω为加载频率．将式(2)代入式(1),可写成如下形式:

(3)

式中,和为黏弹性调谐质量阻尼器的无阻尼自振频率和阻尼比．

图1　黏弹性调谐质量阻尼器

1.2　结构阻尼器系统的动力方程

结构-阻尼器系统的动力方程写成如下形式:

(4)

式中,M,C和K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵;F为结构所受的动力荷载;T为阻尼器的位置矩阵;f为阻尼器施加于结构的作用力．假设结构的动力响应由某一模态控制,结构阻尼器系统可以简化为两自由度系统,引入X=φsqs,其动力方程频域形式表示如下:

(5)

(6)

式中,和ξs分别为结构的模态质量、受控频率和阻尼比;φs为结构的受控振型．引入无量纲参数可以求解出如下结构-阻尼器系统位移响应的动力放大系数:

(7)

(8)

式中,rs和rv分别为结构和阻尼器位移响应的动力放大系数；A=(1-γ2)(β2-γ2)-μβ2γ2-2ξsηβ2γ,B=ηβ2(1-γ2-μγ2)+2ξsγ(β2-γ2)．从方程(7)、(8)和(2)可以看出,黏弹性材料的性能参数G1和η影响黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果.大量试验表明,G1和η存在着明显的频率依赖性,等效分数阶开尔文模型[12]可以较准确地描述该性质，即

(9)

(10)

α=10-12(t-t0)/[525+(t-t0)]

(11)

式中,q0和q1分别为模型中线性弹簧的弹性模量和Abel黏壶的黏性系数;r为分数导数的阶次;t0和t分别为参考温度和测试温度;α为温度转换系数．综合上述推导,可以发现结构-阻尼器系统中的β和η为加载频率ω的函数,由于调谐质量阻尼器是典型的频率敏感型阻尼器,因而需要分析黏弹性材料的频率依赖性对控制效果的影响．

2　频率依赖性的影响

2.1　依赖性的强弱

当黏弹性材料给定时,通过调整设计参数和mv,可获得阻尼器的质量比和最优频率．但设计参数并不影响系统中β和η的频率依赖性水平,而黏弹性材料和η的频率依赖性水平才是直接影响因素．采用文献[12]中的黏弹性材料作为参考材料，分析和η的频率依赖性水平,其中，q0=3.29×105,q1=5.76×104,r=0.31,t0=124 ℃和t=25 ℃,图2给出了和η随加载频率的变化趋势．从图中可以看出,和η随着加载频率的增大而增大．

(a) 剪切储能模量的开平方

(b) 损耗因子

图2　不同加载频率下黏弹性材料的力学性能指标

因为调谐质量阻尼器在γ=1附近发挥调谐作用,所以和η频率依赖性发挥作用的范围也在ω≈ωs附近．因此，定义和η频率依赖性水平的指标为

(12)

(13)

式中,ρ1和ρ2分别为和η频率依赖性水平的指标;κu和κl分别为ωs上界和下界相对ωs的比值．ρ1和ρ2分别是基于调谐质量阻尼器无量纲参数β和η提出的,是表征和η频率依赖性水平的相对量．图3给出在κl=0.95,0.90和κu=1.05,1.10情况下ρ1和ρ2随加载频率变化的趋势．从图中可以看出,随着加载频率的增长,的频率依赖性水平先急剧增长，然后缓慢增长,最后趋于平缓;η的频率依赖性水平先急剧下降，然后缓慢下降,最后趋于平缓．同时发现,2种情况下的曲线均吻合很好,说明黏弹性材料频率依赖性在控制频率附近能够保持相近的水平,因而定义的指标具有很好的稳定性．

(a) 剪切储能模量的开平方

(b) 损耗因子

图3　频率依赖性水平指标

2.2　剪切储能模量的影响

从图3(a)中可以看出,不同的控制频率对应不同的频率依赖性水平．以1.5 Hz作为控制频率时,ρ1=0.091;以45 Hz作为控制频率时,ρ1=0.122;不考虑频率依赖性水平的影响,ρ1=0．本文取ρ1=0,0.091,0.122三种情况,研究黏弹性材料剪切储能模量频率依赖性对阻尼器控制效果的影响．损耗因子的频率依赖性暂不考虑,损耗因子为固定值0.3．取质量比为0.05,结构的阻尼比为0.01,通过调整设计参数将受控结构的最大位移动力放大系数降到最小．

图4给出了不同ρ1下受控结构和阻尼器的位移动力放大系数曲线．从图中可看出,3类受控结构的位移动力放大系数曲线均具有2个峰值,且在受控频率区域外吻合很好,说明的频率依赖性并不影响黏弹性调谐质量阻尼器的控制机制．而在控制频率范围内,ρ1值越大,受控结构和阻尼器的位移动力放大系数越小,说明具有高水平频率依赖性的黏弹性材料有助于提升调谐质量阻尼器的控制效果．

(a) 受控结构

(b) 黏弹性调谐质量阻尼器

图4　不同剪切储能模量频率依赖性水平下系统的位移动力放大系数曲线

产生上述现象的原因是:的频率依赖性导致β随着γ的增大而增大,如图5(a)所示,从而使曲线的2个峰值各自具有不同的β值．当β小于最优β时,曲线的第1个峰值得到有效抑制;β大于最优β时,曲线的第2个峰值得到有效抑制,如图5(b)所示．所以,的频率依赖性使黏弹性调谐质量阻尼器变化的β趋近于各个峰值所需求的最优β,而不是整体均衡的最优β=0.947．

(a) 频率比的变化

(b) 不同频率比下的结构位移动力放大系数

图5　剪切储能模量频率依赖性的作用机制

图6给出了μ=0.05,0.20时最大位移动力放大系数的比较．从图可以看出,大质量比的黏弹性调谐质量阻尼器更有利于发挥的频率依赖性优势．

图6　不同质量比下黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果

2.3　损耗因子的影响

控制频率下的大小并不影响阻尼器的控制效果，因为可以通过调整来去除其影响.而损耗因子η直接影响阻尼器的控制效果，η的频率依赖性体现在ρ2和在控制频率下的频率依赖性.本文考虑2种情况：① 考虑η的频率依赖性；② 部分考虑η的频率依赖性，即仅考虑η在控制频率下的频率依赖性.这里暂不考虑的频率依赖性．图7给出了控制频率为1.5 Hz下的受控结构和阻尼器的位移动力放大系数曲线．从图中可以看出,ρ2=0.13和ρ2=0对应的2条曲线吻合得很好,说明ρ2的大小并不影响黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果．也就是说,η(ω)=η(ωs)为定值的简化形式是可以获得准确的系统动力响应．

(a) 受控结构

(b) 黏弹性调谐质量阻尼器

图7　不同损耗因子频率依赖性水平下系统的位移动力放大系数曲线

图8给出了不同加载频率下黏弹性调谐质量阻尼器的最优频率比和最优控制效果．从图中看出,无论是最优频率比还是最大位移动力放大系数,2类曲线吻合得很好,进一步说明了ρ2的大小对阻尼器控制结果的影响很小．而最优频率比随着加载频率的增加而减小,受控结构的最大位移动力放大系数随着加载频率的增加而增大,说明了η的大小对阻尼器的控制结果影响很大．其原因是:黏弹性调谐质量阻尼器的设计参数只有通过调整其大小可获得最优频率比,与此同时阻尼比的大小也被确定．也就说,当加载频率确定时,黏弹性调谐质量阻尼器的最优频率比、最优控制效果是普通调谐质量阻尼器η已确定条件下的最优频率比、最优控制效果．图8(b)中高频控制效果的下降，是因为高频下η过大所引起的,但可以通过增加刚度单元，即减小阻尼器的等效η来实现黏弹性调谐质量阻尼器控制效果的提升．

(a) 最优频率比

(b) 最优控制效果

图8　不同受控频率下黏弹性调谐质量阻尼器的最优频率比和最优控制效果

3　数值算例

为了获得更好的控制效果,需要增设刚度单元以减小黏弹性调谐质量阻尼器的损耗因子．本文将Den Hartog公式设计的普通调谐质量阻尼器作为对比,验证黏弹性调谐质量阻尼器的性能．假设结构的受控频率为20 Hz,忽略结构自身的阻尼比,质量比为0.1,普通调谐质量阻尼器的最优频率为18.26 Hz,最优阻尼比为0.185．由于黏弹性调谐质量阻尼器的刚度是随频率变化的,故选择控制频率20 Hz下的刚度作为所增加刚度单元的参照值,即将和刚度比作为设计参数．

图9为2类调谐质量阻尼器控制效果的比较．从图中看出,相比普通调谐质量阻尼器,设置黏弹性调谐质量阻尼器结构的最大位移动力放大系数降低了7.65%．当最优刚度比为5%时,黏弹性调谐质量阻尼器的损耗因子由0.393降为0.374，阻尼比为0.187,接近由Den Hartog公式计算出的阻尼比0.185,使黏弹性调谐质量阻尼器的最优控制效果与普通调谐质量阻尼器的最优控制效果相当;当考虑G1的频率依赖性时，黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果就优于普通调谐质量阻尼器的控制效果．由于黏弹性调谐质量阻尼器的频率比随加载频率的增加而增加,致使失调情况下黏弹性调谐质量阻尼器的最优频率比偏差相对普通调谐质量阻尼器的要小,产生了良好的控制鲁棒性．

(a) 最优控制效果

(b) 失调下的控制效果

图9　2类调谐质量阻尼器控制效果的比较

4　结论

1) 定义的黏弹性材料频率依赖性指标可以很好地表征黏弹性材料对黏弹性调谐质量阻尼器性能的影响程度．

2) 黏弹性材料储能模量的频率依赖性有利于阻尼器性能的提高,其频率依赖性水平越高,黏弹性调谐质量阻尼器的控制效果越好,其自身的响应越小．黏弹性材料损耗因子的大小决定了黏弹性调谐质量阻尼器的最优频率比和最优控制效果．在工程设计中,在损耗因子相同的情况下,建议选取频率依赖性水平较高的黏弹性材料．

3) 通过增加刚度单元可以降低黏弹性调谐质量阻尼器的等效损耗因子,优化后的黏弹性调谐质量阻尼器控制效果优于普通调谐质量阻尼器控制效果．