摘要：为了了解经过消光黑漆(Z306)喷涂处理后航天相机遮光罩表面对杂散光的散射特性，对喷涂了Z306的铝板样品进行了双向反射分布函数(BRDF)测量和建模分析。通过测量获得了黑漆样片在0.65 μm波段的BRDF值。结合Z306黑漆测量数据的散射特征，选择了适合粗糙黑漆表面的Microfacet-based模型，并对模型进行了修正。使用修正的Microfacet-based模型对测量数据处理并建模，得到了样片整个半球空间的BRDF数据，弥补了测量数据量少和测量误差带来的缺陷。将黑漆的BRDF数据代入软件，分析并进行了光学系统杂散光测试验证。结果表明：采用修正的Microfacet-based模型处理黑漆的BRDF后，分析光学系统杂散光(点扩散函数，PST)得到的结果与实际测量的杂散光(PST)的一致性很高，实测值与分析值比值的对数精度优于0.5。得到的结果证明了BRDF建模的必要性和数据处理的准确性，为光学系统的杂散光抑制提供了重要的保障。
关 键 词：航天相机；消光黑漆；双向反射分布函数；光学系统；杂散光；建模；误差分析
1 引 言
随着航天事业的发展，人类文明逐渐向遥远的太空迈进，借助航天探测相机探索深空中弱小的未知目标是人类了解太空的主要手段。航天探测相机在进行弱目标探测时很容易受到视场外其它光源(如太阳、月亮、其他星体)的影响，严重时目标会被杂光淹没，从而导致相机无法探测到有用信息。为了抑制视场外杂散光的影响，提高系统的信噪比，需要对探测系统进行防杂光处理。目前，常采用遮光罩对视场外的光线进行遮挡，使视场外光线至少经过两次反射才能进入探测系统，从而减小杂散光对目标成像的影响[1]。同时，遮光罩及相机表面要进行消光漆[2]喷涂处理，以减小杂散光的散射。Z306消光漆是一种广泛应用于航天领域的喷涂材料，为了掌握喷涂处理后遮光罩表面对杂光的抑制情况，需要了解经过Z306喷涂处理的遮光罩表面对杂光的散射特性。双向反射分布函数(Bidirectional Reflectance Distribution Function，BRDF)用于描述入射光经过某个表面反射后在各个出射方向上的分布情况，是用于评价材料光学性能的一个综合指标，在气候研究、自然灾害监测、航天遥感等领域有着广泛的应用[3]。因此，测量和分析材料表面的BRDF，可以充分了解材料表面的散射特性。
1966年，Torrance和Sparrow对铝、二氧化镁陶瓷等材料表面的散射特性进行了实验测量并提出了基于粗糙表面的Torrance-Sparrow模型。随后国内外很多研究机构开始了关于材料表面BRDF测量和建模分析的研究。1982年，Cook和Torrance提出基于粗糙表面散射的Cook-Torrance模型。1997年，美国休斯敦航空公司研制了测量粗糙表面散射强度的仪器。1980年，美国亚利桑那州立大学Bartell等人详细介绍了BRDF和BTDF的概念，给出了BRDF的定量测量原理。1990年，Cady等人研制了用于测量BRDF的多通道三维散射仪。2006年，张百顺等人提出典型目标的BRDF实验室测量方法。2002年，吴振森等人提出BRDF的五参量模型[4-9]。但这些研究中很少有关于消光漆Z306表面散射特性的研究。本文为了研究经过Z306喷涂处理后相机遮光罩表面对杂光的散射特性，对经过Z306喷涂的铝板样品进行了BRDF测量和建模分析，并将建模处理后的BRDF值应用于某光学系统的PST杂光建模分析中，通过对比分析结果和实测结果验证了建模的必要性和可靠性。
2 BRDF的测量及误差分析
2.1 BRDF的测量
BRDF描述了反射表面对入射光的反射特性，定义为材料表面的反射辐照度与入射辐照度的比值。BRDF是关于入射角、反射角及波长的函数，即有：
，
(1)
其中：i对应入射光，r对应反射光，θ对应天顶角，φ对应方位角。式(1)表示了不同入射条件下，材料表面在不同观测方向角上的反射特性。
双向反射比的测量可分为绝对测量和相对测量[10-12]。由于绝对测量不使用任何参考标准，容易引入较大的测量误差，所以目前双向反射比的测量主要采用相对测量法，即利用已知双向反射比的标准朗伯板与待测样品进行比较，以得到待测样品的双向反射比。本文采用相对测量法，以聚四氟乙烯标准板作为参考标准，其双向反射比为ρ/π，其中ρ为半球反射率，可用分光分度计获得，则有：
.
(2)
测量过程中，首先测量标准板在特定角度下探测器探测到的电压值，取θi=θr=30°，φi=0°，φr=180°。则标准板的双向反射比为：
.
(3)
得到标准板的BRDF后，将其与待测样品进行对比，可以得到待测样品的BRDF，计算公式如下：
fref(θi，φi，θr，φr).
(4)
实验测量装置原理如图1所示。待测样品为经过Z306喷涂处理的铝板，测量其在0.6 μm波段的BRDF，样品粗糙度满足σ/λ≥1.0。当入射光天顶角固定后，取光源入射面的方位角为零，探测器从方位角为0°～180°每间隔10°进行扫描；对于每个方位角，探测器从天顶角为-70°～70°每间隔5°进行扫描，从而得到半球空间的BRDF分布。
图1 BRDF测量装置原理图
Fig.1 Sketch of BRDF measurement device
2.2 测量结果及误差分析
对待测样品测量得到了方位角从0°～180°，天顶角为-70°～70°的BRDF。将原始数据进行坐标变化，得到直角坐标下BRDF的空间分布，如图2所示，物体为粗糙表面，没有明显的镜像反射峰。如图2(a)所示，光源0°入射时可近似为朗伯体散射；如图2(b)、2(c)和2(d)所示，Z306黑漆的BRDF表现出较强的前向散射特性，即在大角度(前向散射)处存在峰值。
(a)光源0°入射
(a)Zenith angle of incident beam is 0°
(b)光源30°入射
(b)Zenith angle of incident beam is 30°
(c)光源45°入射
(c)Zenith angle of incident beam is 45°
(d)光源70°入射
(d)Zenith angle of incident beam is 70°
图2 样品BRDF的测量结果
Fig.2 Space distributions of BRDF of specimen
测量系统的误差会影响测量精度。由于测量误差的来源是多方面的，在各误差分量独立不相关的条件下，测量误差为：
.
(5)
样片测量的主要误差源有：(1)探测器靠近光源时对光源的阻挡引起的测试误差；(2)探测器线性度引起的测量误差；(3)导轨定位精度引起的测量误差；(4)用标准朗伯板对设备标定引起的测量误差；(5)样片表面不均匀引起的测量误差。
实际测量设备采用硅二极管作为探测器件，按照BRDF的测量结果，其动态范围至少在104量级。根据同型号硅二极管的标定结果，104量级动态范围时其全局非线性度为5%。测量时探测器通过弧形导轨定位对同一位置进行多次测量，得到测量重复误差为6%。样片BRDF相对测量前需要通过标准朗伯板对设备进行定标，朗伯板定标引起的测量不确定度约为3%。测量样片为喷涂Z306的铝板，铝板表面不均匀引起的测量不确定度为1%。
综上所述，样片BRDF的测量误差为：
%.
(6)
3 BRDF的数据建模及处理
BRDF作为描述材料表面散射特性的一个重要参数，是杂光分析仿真中必不可少的参数。Z306黑漆的BRDF测量的一个重要目的是掌握经过黑漆喷涂处理后材料表面的散射特性，以将其表面特性应用于光学系统的杂散光分析中。BRDF建模的作用如下：(1)获得完备的BRDF测量数据，因为BRDF实测受测量设备的探测器遮挡、扫描范围等限制。(2)修正设备测量精度对BRDF测量数据的影响，以满足实际需求。(3)BRDF 测量需耗费大量的时间和费用，若能对某一类型材料建立通用模型，则将大幅度节约成本。
经过Z306喷涂处理的铝板样品属粗糙表面，其BRDF峰值处于对应前向散射的非镜像位置，因此，本文采用适合于粗糙表面非镜像反射的Microfacet-based模型。对该模型进行修正以得到适合于经过Z306喷涂处理的铝板样品的BRDF模型，用于建模分析。
根据Microfacet-based模型，BRDF可以表示为：
exp(-c2α2)+kcos θi，
(7)
式中：第一项对应微面元镜像反射分量，第二项对应漫反射分量， G(θi，φi，θr，φr)为遮蔽因子，F表示菲涅尔反射，指数项为表面特征函数，g为微面元反射部分的比例因子，k为漫反射部分的比例因子。
在Microfacet-based模型中，比例修正因子g为常数。用该模型对测试数据进行拟合时发现，g为常数时仅能对部分角度的数据进行拟合，其它角度的拟合结果较差(如图3所示)。根据拟合结果， g应是关于入射光天顶角θi和反射光方位角φi的函数，所以在对测试数据进行建模时需要确定该函数形式。
(a)θi为45°，φr为50°时的拟合结果
(a)Fitting curves of BRDF with θi of 45° and φr of 50°
(b)θi为60°，φr为40°时的拟合结果
(b)Fitting curves of BRDF with θi of 60° and φr of 40°
图3 不同模型的BRDF拟合结果
Fig.3 Fitting results of BRDF using different models
根据测试数据确定函数g(θi，φr)的形式，结合多项式拟合得到：
，
(8)
其中：g0=0.01，为采用式(7)的原始模型拟合得到的g值。由多项式拟合得到：
f(θi)=q1·x3+q2·x2+q3·x+q4，
(9)
+p5·x2+p6·x+p7.
(10)
则修正后的模型可以表示为：
F×exp(-c2α2)+kcos θi，
(11)
式(11)中各参数值见表1。
表1 修正模型参数
Tab.1 Parameters of corrected BRDF model
利用修正模型对测量数据进行建模仿真，得到不同入射角和方位角下的BRDF拟合曲线，部分曲线如图4～图6所示。
(a)θi为0°，φr为0°时的拟合结果
(a)Fitting curves of BRDF withθi of 0° and φr of 0°
(b)θi为30°，φr为0°时的拟合结果
(b)Fitting curves of BRDF with θi of 30° and φr of 0°
(c)θi为70°， φr为0°时的拟合结果
(c)Fitting curves of BRDF withθi of 70° and φr of 0°
图4 φr为0°时BRDF实测值与模型拟合值对比
Fig.4 Comparison between measured value and predictive value with φr of 0°
(a)θi为0°， φr为30°时的拟合结果
(a)Fitting curves of BRDF withθi of 0° and φr of 30°
(b)θi为30°， φr为30°时的拟合结果
(b)Fitting curves of BRDF withθi of 30° and φr of 30°
(c)θi为70°， φr为30°时的拟合结果
(c)Fitting curves of BRDF withθi of 70° and φr of 30°
图5 φr为30°时BRDF实测值与模型拟合值对比
Fig.5 Comparison between measured value and predictive value with φr of 30°
(a)θi为0°，φr为90°时的拟合结果
(a)Fitting curves of BRDF withθi of 0° andφr of 90°
(b)θi为30°，φr 为90°时的拟合结果
(b)Fitting curves of BRDF withθi of 30° and φr of 90°
(c)θi为70°，φr 为90°时的拟合结果
(c)Fitting curves of BRDF withθi of 70° and φr of 90°
图6 φr为90°时BRDF实测值与模型拟合值对比
Fig.6 Comparison between measured value and predictive value with φr of 90°
由图4～图6可知，修正模型能拟合出BRDF的变化趋势，不过在大角度位置的拟合效果相对下降。这里采用均方差(Mean Square Error，MSE)对拟合曲线进行评价，MSE定义为：
，
(12)
其中：yi为测量值，
i为拟合值。分别对用原始模型和修正模型拟合得到的曲线进行评价，其MSE如图7～图8所示。
可以看到，修正模型相对原始模型拟合得到的曲线的MSE更小，拟合结果更好；而且入射角越大，方位角越小，这一优势越明显。说明修正模型相比原始模型更适合于样品的BRDF建模。但修正模型对实测数据的拟合仍存在一定的残余误差，因为任何模型均是对实际情况的理想假设，该模型中假设粗糙表面由无数个均匀有序分布的镜向反射面组成，每个微面元为对称V型孔。而实际中因喷涂工艺等原因，材料表面的微结构不可能是均匀有序且对称的，因此分析值跟实际值仍存在一定程度的偏差。另外，测量时由于探测器遮挡等原因的限制，样品的BRDF值仅能测到±70°的范围，通过修正模型可得到样品整个半球空间的BRDF预测值，提高了杂散光分析的准确性。
图7 原始模型与修正模型的拟合结果对比
Fig.7 Comparison of fitting results between original model and corrected model
(a)θi=70°
(b)φr=80°
图8 原始模型与修正模型拟合结果对比
Fig.8 Comparison of fitting results between original model and corrected model
4 BRDF建模数据的实验验证
在杂散光分析中，点源透过率(Point Spread Function，PST)作为评价系统杂散光抑制能力的一个重要指标，得到了广泛应用[13-16]。其定义为：光学系统视场外视场角为θ的点源目标辐射经过光学系统后，像面处的辐照度Ei(θ)与光学系统入瞳处的辐照度E0(θ)的比值，即：
.
(13)
为了验证BRDF建模数据的必要性和准确性，利用Z306的BRDF测量值及建模拟合值对某光学系统的杂散光PST进行分析，同时对该光学系统PST进行了实测。将分析结果与实测值进行对比以验证模型的准确性。实验中，光学系统的遮光罩和镜筒壁均进行了Z306黑漆喷涂处理。对该光学系统的PST进行实测，测试设备为本课题组研制的一套三波段PST测试系统[17]。该系统主要由激光光源、斩波器、准直光管、双柱罐、标定装置、探测器和高精度转台组成。激光光源出射的均匀点源经过准直光管准直后，成为具有一定口径的平行光束。该光束通过双柱罐照亮被测光学系统形成强杂散光源。探测器安装在光学系统的后焦面上，结合高精度转台可测量不同离轴角的杂散光辐照度。测量光学系统入瞳处的辐照度，根据PST定义式(13)，可计算得到光学系统在不同离轴角下的PST。
对光学系统PST进行建模分析，在模型中定义表面属性，先使用未经处理的原始BRDF数据代入光学系统，仿真得到PST的理论分析曲线PST1。再将经过建模处理并补全了未知BRDF的整个半球空间的BRDF数据代入光学系统，仿真得到PST的理论分析曲线PST2。将PST1和PST2与实测的PST进行对比，结果如图9所示。可以看到，测试曲线和建模修正的分析曲线更相近。
图9 光学系统PST分析值与测试值对比
Fig.9 Comparison between analytical and tested PSTs of optical system
在杂散光分析中，通常采用式(14)评价PST的仿真结果，即：
.
(14)
采用式(14)计算分析值的误差，得到如图10所示的曲线。可以看到，分析值2的误差明显小于分析值1，并且所有误差均小于0.5，满足仿真要求。由此表明BRDF的建模数据是正确的，可以应用于光学系统的杂散光分析。
图10 光学系统PST分析值的误差曲线
Fig.10 Error curves of analytical PST of optical system
5 结 论
本文在对Z306消光黑漆表面特性进行实际测量的前提下，得到了Z306黑漆在0.65 μm波段的BRDF属性，分析了测试误差源并给出了误差结果。通过分析测量装置的系统误差，结合Z306黑漆测量数据表现的散射特征，选择了适合粗糙黑漆表面的Microfacet-based模型，并对模型进行修正。运用修正后的模型对测量数据进行了补充，最终获得样片表面整个半球空间的BRDF，为材料空间散射特性的测量研究提供了参考。最后通过对某光学系统进行的PST杂光建模分析，给出了BRDF建模处理前后杂散光PST的分析结果，并将建模处理后的分析结果与实测值进行对比。实测值与分析值比值的对数精度优于0.5，验证了BRDF建模的正确性，也证明了BRDF建模的可行性及其用于杂散光分析的可靠性，为航天消光材料的BRDF测量与分析提供了一种思路。不过，文章只是对消光黑漆Z306进行了建模分析，未必适用于所有材料，该模型对于其它材料的适应性还有待进一步的验证。
