真空动力固结饱和软土地基非线性固结解析解

0 引 言

真空动力固结法是近年来提出的一种新的沿海地区软基土体复合加固工艺，通过真空降水和动力固结的联合运用，软土地基加固效果明显。但软基土体也随之出现较大的沉降量[1]，呈现出典型的非线性、大变形特性。Mikasa [2]首先建立了基于有限应变理论的土体一维非线性固结方程；Gibson等[3]提出了软土一维非线性有限应变理论；Xie等 [4]构建了以超静孔隙水压力u为变量的饱和均质土体的一维非线性有限应变固结控制方程; 黄杰卿等[5]基于Mesri非线性关系，推导出考虑起始比降的饱和土体一维大应变固结控制方程；李传勋等[6]基于变荷载和土体非达西渗流现象在拉格朗日坐标系中建立以超静孔隙水压力为变量的软土一维大变形固结模型并利用有限差分法进行数值求解。但是，上述研究均未考虑真空动力固结荷载和动孔压影响，并且由于饱和软土地基真空动力固结过程的复杂性，现有的相关研究主要采用现场试验和数值模拟，鲜见相关的解析成果。本文对拉格朗日坐标下真空动力固结饱和软土地基一维大变形非线性固结问题展开深入研究，并给出其解析解，同时对单层地基的大变形非线性固结性状进行分析，为更深入研究饱和软土地基真空动力固结机理奠定理论基础。

1 问题的描述

土层初始厚度为H,底面为固定边界，单面排水，规定拉格朗日坐标系中a与t是独立的基本变量，且以竖直向下为正。饱和软土地基真空动力固结模型见图1，真空动力固结加载曲线如图2所示。

图1 真空动力固结饱和软土地基模型
Fig.1 Vacuum dynamic consolidation saturated soft soil base model

图2 真空动力固结加载曲线(1降1夯)
Fig.2 Vacuum dynamic consolidation loading curve(1 drop and 1 compaction)

真空动力固结荷载由真空降水荷载和动力固结荷载组成，为计算方便，真空动力固结加载曲线如图2所示，荷载表达式见式(1)。

(1)

式中，q0参照文献[7]关于真空降水等效荷载的表述；β为与饱和度有关的系数，可取0.9～1.0；γw为水的重度，单位为kN/m3；α为降水深度(m)；动力固结荷载qu为参照文献[8]表述，并针对加卸载过程软基土体弹性模量变化做出修正；W为夯锤重量；h为夯锤落距；A为夯锤底面积；T为单次夯击历时，T=h/(2g)；K为动力固结荷载修正系数，K=1-E0/Es0，其中E0为加荷弹性模量，Esu为卸荷弹性模量。

2 基本方程

2.1 基本方程

①平衡方程:

(2)

②渗流连续条件：

(3)

③孔压平衡条件：

(4)

④真空动力固结荷载相互影响：

(5)

⑤Terzaghi有效应力原理：

(6)

⑥Dracy定律：

(7)

联立式(2)～(7)，得到真空动力固结饱和软土地基微分控制方程：

(8)

式中，k为渗透系数；u为超静孔压；γw为水的重度；e为土的孔隙比；其随拉格朗日坐标a及时间t变化；e0为初始孔隙比；σ为竖向总应力；Gs=γs/γw为土粒相对密度；γs、γw分别为土粒、孔隙水容重；n为孔隙率；mR为大变形再固结体积压缩系数，具体详见文献为初始有效应力，且

2.2 真空动力固结饱和软粘土地基非线性固结方程

真空动力固结过程中饱和软基土体的压缩性和渗透性非线性变化参考文献[6]结论。

(9)

e-e0=cklg(k/k0)，

(10)

由式(5)～(6)，(9)～(10)得到软基土体土工参数mv、kv和cv：

(11)

式中，cc、ck为压缩指数和渗透指数；σ′为有效应力；e、e0为孔隙比和初始孔隙比；k0、k分别为对应于e的渗透系数；e0为初始孔隙比；为初始有效应力；k0为初始渗透系数；cc为压缩指数；ck为渗透指数(即e～logkv曲线的斜率)；mv为体积压缩系数；为初始体积压缩系数；cv为土体固结系数；cv0为土体初始固结系数，

综合式(8)～(11)，得到以超静孔压u为变量的方程：

(12)

采用孟庆山[10]提出的动载条件下淤泥质软土孔压ud形式：

(13)

将式(13)代入方程(12):

(14)

式中，tf为与Nf对应的持续时间；t为对应冲击击数的持续时间；cF为非线性固结系数，为非线性体积压缩系数，

且

方程(14)即为综合考虑了真空动力固结过程中真空动力固结荷载影响，软土地基压缩性和渗透性非线性变化等工况的非线性固结方程。

3 解 答

对方程(14)采用变量代换和分离变量法进行推导可以得到其解析解。

3.1 超静孔压计算

采用以下变换：

w=w(a,t)=exp(mFu)-1，

(15)

方程(14)及相应的求解条件可变换为:

(16)

(17)

求解条件及变换后的形式如下：

(18)

(19)

(单面排水)。

(20)

先考虑单面排水的情况，令

(21)

式中：βm，Cm，λm均为待定系数；Tm(t)为t的待定系数，与R(t)有关，R(t)由见式(17)。

由式(16)、(17)、(21)并结合三角函数正交性得：

(22)

(23)

(24)

式中，非线性时间因数TF=cFt/H2，Cm=2/M；Tm=eTFM2R(τ)dτ

将式(22)～式(24)代入式(21)得

(25)

由式(21)、式(15)可得超静孔隙比：

(26)

3.2 孔隙比及沉降计算

由式(6)、式(9)、式(26)可得

(27)

(28)

3.3 平均固结度计算

由式(6)、(9)、(29)及u|a=H=0，可得平均固结度Us为:

(29)

式中，ε为土的竖向应变，且有为土的最大竖向应变，为对应最大有效应力的孔隙比；qu为真空动力固结过程中的动力固结值。

由式(6)结合平均固结度Up定义可得：

(30)

将式(1)、(17)、(26)分别代入式(29)、(30)可求出Us、Up值，双面排水条件下的解答同样可以按照上述方法得到。

4 解的验证

将以上解析计算成果同Terzaghi线性小应变理论[11]及室内模型试验结果进行比较分析。

4.1 与Terzaghi线性小应变理论解比较

通过单层排水条件下非线性固结计算得到的地基平均固结度随大变形时间因数变化曲线分析(图3所示)，可以较好的反映真空动力固结条件下饱和软土地基平均固结度变化趋势。其中按照沉降和孔压定义的软土地基平均固结度结果差值呈现出先增大后缩小特征，且受大变形时间因数影响明显，有别于Terzaghi固结理论中Us=Up，在任一时刻均存在Us>Up，也即饱和软土地基沉降发展速率明显快于超静孔压消散速率，应用时需引起注意。

图4揭示了依据非线性固结计算同Terzaghi线性小应变理论计算得到的超静孔压变化规律，可以发现两种方法计算超静孔隙水压力受时间影响明显，Terzaghi小应变理论解峰值相对保持平稳，原因在于前者计算过程没有充分考虑真空动力固结过程中软基土体性能参数非线性变化因素，但两者差异随时间变化逐渐减小，表明非线性固结计算更加适用荷载较大条件下的饱和软土地基计算。非线性固结计算涉及的初始计算如表1所示

图3 地基平均固结度与时间因数的关系曲线
Fig.3 Relationship curve between average consolidation degree and time factor of foundation

图4 超静孔压时程曲线
Fig.4 Ultra static pore pressure time curve

表1 非线性固结初始参数
Tab.1 Geotechnical parameters used in numerical examples

4.2 与室内试验结果计算对比

试验土样取自曹妃甸地区某真空动力固结施工现场淤泥质粘土层，采用由文献[12]研制的真空动力固结室内试验系统可以模拟真空动力固结现场施工工况，本次室内试验采用1降1夯工艺，具体试验过程参照文献[12]，试验参数见表2。

表2 室内模型试验参数
Tab.2 Test parameters of vacuum dynamic consolidation indoor model

从图5揭示的饱和软土地基表面沉降曲线可以看出，真空动力固结条件下饱和软土地基表面沉降量变化S=S(0,t)同时间成正比例关系，但沉降速率逐渐降低直至最终趋于稳定，沉降值最大值达到349 mm，真空主动降水和动力固结作用使软基土体沉降量的增幅逐渐减小，最终趋于稳定，非线性固结解同室内试验结果变化趋势基本一致，表明了非线性固结计算饱和软土地基真空动力固结问题的合理性。试验过程中发现夯坑周围会形成不可恢复的塑性沉降区域，且夯坑周边土体侧移会对土层沉降产生有利影响。本次计算未考虑上述因素导致计算结果同室内试验值存在一定误差。

图5 饱和软土地基表面沉降曲线
Fig.5 Comparison of topsoil subsidence

图6 动力固结后超静孔压消散曲线
Fig.6 Dispersion curve of ultra static pore pressure after dynamic consolidation

软基土体超静孔压消散变化规律可以作为判定饱和软土地基真空动力固结效果和动力固结时间间歇的重要参考依据，分析图6发现，以动力固结结束作为超静孔压计算初始时刻，超静孔压的非线性固结计算值同室内试验结果比较吻合，这表明在动力固结阶段土中超静孔压由于短时多次夯击作用增大至峰值后，动力固结结束，土体超静孔压消散明显，0.98天超静孔压可消散至19.9 kPa时，消散程度为54%，超静孔压自然消散程度如达到80%，需耗时6 d，因此出于缩短工期和超静孔压消散考虑，动力固结和真空降水时间间隔不宜超过1 d。

5 结 论

本文基于有限应变理论对真空动力固结饱和软土地基进行的解析分析对于深入研究真空动力固结软土地基加固机理具有较大的理论价值，研究结论如下：

①结合饱和软土地基真空动力固结特点，构建了真空动力固结饱和软土地基的非线性固结方程，并采用采用变量代换和分离变量法得到方程的解析解。

②按照非线性固结方程计算得到的平均固结度受大变形时间因素影响明显，且呈现出先增大后缩小的变化特征，饱和软土地基的沉降发展速率明显快于超静孔压消散速率，在任一时刻均存在Us>Up，而且方程相比Terzaghi线性小应变理论更加适用荷载较大条件下的饱和软土地基计算。

③软基土体沉降量的增幅逐渐减小，直至趋于稳定，非线性固结计算曲线同室内试验结果变化趋势基本一致，表明了方程的合理性。而出于缩短工期和超静孔压消散考虑，动力固结和真空降水时间间隔不宜超过1 d。