密度对一维铝/硅橡胶声子晶体低频带隙的调控

声子晶体是一种新型声功能材料，声波或弹性波在声子晶体中的传播时，某些频率的声波无法穿透声子晶体，即形成所谓的禁带．声子晶体结构分为一维、二维和三维结构，其中对一维声子晶体带隙特性的调节与控制分析，已有一些研究成果［1－15］．这些研究论文中，还没有关注到单一密度变化对一维杆状声子晶体中纵波带隙的调节作用．本文以一维匀直杆状声子晶体为例，基于集中质量法，选用金属材料铝和非金属材料硅橡胶材料，组成金属/非金属型结构．通过单一改变结构中每种材料的密度，寻找密度对一维铝/硅橡胶声子晶体结构带隙特性的调控规律．

1 一维铝/硅橡胶声子晶体

一维匀直杆状声子晶体的振动模式以沿周期方向的弹性波的纵波激发为主，横波激发对带隙的影响很小，可以忽略不计［16］．因此，对于本文选择的杆状结构，仅考虑纵波带隙特性．针对一维二组元匀直杆状声子晶体，常取周期方向为x方向．下图1是一维二组元杆状结构声子晶体模型．该模型由A，B两种材料沿着方向交替排列构成细长有限杆状复合结构，两种材料的材料参数和结构参数严格沿x方向周期性变化，它们的长度分别为aA，aB，且aA+aB=a，认为 a是该声子晶体的1个晶格常数，对应1个周期结构．

图1 一维二组元杆状声子晶体结构示意

由两种不同的材料铝和铅构成的一维二组元(A/B/A/B型)匀直杆状声子晶体．A/B结构为铝/铅声子晶体结构．集中质量法的计算思想假设组成该声子晶体的两种材料是理想弹性介质，可将其均匀地离散，且每个离散单元只有一种材料．图2就是一维二组元声子晶体原胞离散示意图，该声子晶体的每个个周期就可以简化为很多个自由度的弹簧振子结构．

图2 一维二组元声子晶体原胞离散示意图

图2中，设每个离散单元的长度为dj，按质心不变原则，每个振子位于简化单元的中心，振子两侧为等刚度的弹簧，弹簧振子质量mj为

式(1)中ρ为离散单元的材料密度，S为声子晶体等截面面积．我们用振子质量代替原子质量，用弹簧的刚度系数代替原子间的恢复力常数，那么，对于无限周期弹簧振子结构，容易得出复合结构中第j个振子的运动方程:

式(2)中，xj－1，xj和 xj+1分别为第 j－1，j和 j+1个质量元的位置坐标，kj为第j个弹簧振子与第j+1个弹簧振子串联后的拉压刚度，kj－1为第j－1个弹簧振子与第j个弹簧振子串联后的拉压刚度．

该振子运动方程的解可写为振幅Aj及角频率为ω的简谐振动表达式

将(3)代入(2)，结合Bloch定理和引入的周期边界条件，可以得到一个线性方程组:

求解此矩阵X的特征值ω(q)与给定波矢q之间的关系，画出图来，就是上述周期弹簧振子结构的弹性波能带结构图．

由两种不同的材料A和B构成的一维二组元(A/B型)匀直杆状声子晶体．A/B结构是铝/硅橡胶声子晶体结构，其中两种材料的物理参数如下表1所示．Hz．第2带隙起始频率为88.2929 Hz，截止频率为152.3484 Hz，第1带隙宽度为64.0494 Hz．

2 计算结果分析

一维铝/硅橡胶匀直杆状声子晶体的弹性波带隙结构，属于金属/非金属型组合结构．从图1显示的第1、第2带隙分布情况来看，带隙的起始频率和截止频率较低．

2.1 单一改变材料A铝的密度

当单一改变材料铝的密度，计算一维铝/硅橡胶匀直杆状声子晶体的弹性波带隙时，保持结构其他参数不变，计算结果见图4所示．随着材料铝的密度由小到大线性增加，结构第1带隙的起始频率由49.1593Hz逐步减小到24.1570Hz;第1带隙的截止频率为76.1784Hz，保持不变;第1带隙的中心频率随着铝密度的增大而逐渐减小，但带隙宽度展宽．

表1 材料物理参数

图3是一维铝/硅橡胶匀直杆状声子晶体结构的弹性波带隙图．计算中选用表1中的材料物理参数，取结构的晶格常数为0.3 m，材料A与材料B的厚度相同．另外，计算中将每个原胞简化成自由度数为300的弹簧振子结构．图3中阴影部分从下到上分别为两种声子晶体杆的第1、第2带隙．第1带隙起始频率为30.6994 Hz，截止频率为76.1784 Hz，第1带隙宽度为45.479

图4 单一改变铝/硅橡胶声子铝的密度

2.2 单一改变材料B硅橡胶的密度

当单一改变材料硅橡胶的密度时，保持结构及其他参数不变，计算结果见图5所示．随着材料硅橡胶的密度由小到大线性增加，可以计算出:第1带隙的起始频率由32.4726 Hz逐步减小到29.1419Hz，差值为3.3307Hz，变化不大;截止频率由158．5779 Hz逐步减小到57.2716 Hz，差值为101.3063 Hz;第1带隙中心频率随着铅密度的增大而逐渐减小，带宽由126.1053 Hz减小为28.1297 Hz，减小了 97.9756 Hz．

图5 单一改变铝/硅橡胶声子硅橡胶的密度

3 结论

对于一维塑料/硅橡胶声子晶体，通过单一改变结构中塑料或者硅橡胶的密度，观察对应变化对该声子晶体第1带隙的影响．主要结论有:(1)随着材料铝密度的线性增大，结构第1带隙的起始频率减小，截止频率保持不变，第1带隙带隙频率减小．但频率宽度增大;(2)随着材料硅橡胶密度增大，结构第1带隙的起始频率变化不大，截止频率降低，带隙宽度减小．

总之，对于一维铝/硅橡胶匀直杆状声子晶体，单一改变金属材料铝的密度，随着材料铝密度的线性增大，结构第1带隙的起始频率减小，截止频率保持不变，第1带隙宽度增大．这为低频宽带带隙的获得提供了思路．当单一改变非金属材料硅橡胶的密度，随着材料硅橡胶密度增大，结构第1带隙的起始频率变化不大，截止频率降低，带隙宽度减小．显然，要获得低频宽带要求，就要选用密度更小的非金属材料与密度更大的金属材料组合．