悬臂梁电极长度对压电俘能电气特性的影响研究

1 引言

压电换能器迅速发展已成为最可靠的机电转换机制之一，并得到进一步的拓展和应用[1～4].压电悬臂梁因其结构简单，清洁环保和易于实现小型化和集成化等优点广泛应用于振动俘能系统，并成为国内外学者的研究热点[5～7].在振动俘能过程中为了获得较大的输出功率，悬臂梁的几何形状、尺寸和电极分布情况等均需进行合理的设计和优化.文献[8,9]指出三角形压电悬臂梁改善了应变分布特性，其输出电压优于矩形和梯形悬臂梁.文献[10～12]研究了矩形、梯形和三角形压电悬臂梁在振动俘能过程中的输出特性，指出三角形悬臂梁在改善输出功率方面是最佳的几何形状.文献[13]在三角形梁的基础上进一步提出了内弧边和外弧边三角形压电悬臂梁，通过仿真和实验证明了当载荷相同，负载电阻匹配时，内弧边梁的输出功率最大，外弧边梁的输出功率最小.Mark Stewart等人提出在振动俘能过程中，压电悬臂梁的应变不均匀分布会导致电荷的重新分配过程，此过程存在能量损失，进而导致压电俘能器效率降低[14].英国剑桥大学的Sijun Du等人通过理论分析和实验验证提出在能量收集过程中，悬臂梁的电极长度存在最优值使得输出功率最大，并指出了矩形梁的电极长度为梁长的44%时输出功率最大[15].

综上，在压电振动俘能过程中，对于俘能器件悬臂梁而言，无论是压电材料、形状尺寸还是电极长度均影响能量收集系统的输出电压和输出功率.而关于电极长度对压电振动能量系统电气特性的影响现有文献研究较少.本文提出了用能量函数描述在振动俘能过程中电场能量与电极占比(为了便于比较引入“电极长度占比”，即电极长度与悬臂梁长度之比，以下简称“电极占比”)的关系，更准确地分析了电极占比的影响，并探究了电极占比对电气输出特性影响的本质；通过ANSYS仿真和实验验证了矩形和三角形悬臂梁在能量收集过程中的最优电极占比，指出了在实际应用过程中通过优化电极长度来提高输出功率是可行的.

2 理论分析

本文首先给出了矩形和三角形悬臂梁的应变分布函数，其次得到了电场能量的分布函数，进而得到悬臂梁在振动俘能过程中所收集的电场能量与电极分布的关系，并探究了电极占比对电气输出特性影响的本质.

2.1 应变分布函数

压电悬臂梁最常用的模型如图1(a)所示，本文为了方便研究电极占比对压电悬臂梁输出特性的影响，令电极长度为x(0≤x≤l)，l为悬臂梁长度.

在外力载荷F作用下，压电悬臂梁满足如式(1)所示的欧拉-伯努利梁振动方程.

(1)

其中，ρ为基底材料的线密度，y为位移，F为外部载荷，E为基底材料的弹性模量，I为悬臂梁的惯性矩.

通过分析求解式(1)，得到压电悬臂梁的各阶振动模态函数[16]，并根据悬臂梁变形理论得到在不同模态下的平均应变在其长度方向的分布函数，即应变分布函数为：

(2)

其中，i(x)为各阶振动的模态函数，h为压电悬臂梁中性层到压电层中心的距离.

对式(2)作归一化处理即可得到一阶和二阶的应变分布图，通过多项式拟合即可得到悬臂梁的一阶和二阶应变分布函数.在振动能量收集过程中压电悬臂梁工作在一阶模态下，本文仅分析一阶应变分布函数，矩形梁的一阶应变分布图如图1(b)所示.经拟合得到矩形和三角形悬臂梁的一阶模态应变函数如式(3)和式(4)所示.

ε1(x′)=0.5cos(1.875x′)+0.5cosh(1.875x′)

-0.367sin(1.875x′)-0.367sinh(1.875x′)

(3)

ε(x′)=23.365x′6-82.108x′5+113.742x′4

-76.275x′3+24.365x′2-4.188x′

(4)

2.2 能量分布函数

由于矩形梁为等截面梁，对其长度作归一化处理，即令l=1，在0～x′的位置覆盖电极，则压电悬臂梁可视为电容，即：

(5)

其中，S=Wx′为0～x′的面积，W为梁的宽度.根据压电方程得到微元的电荷量：

dQ=d31σdS

(6)

其中，为x′处应力，dS为微元面积，进而，得到0～x′的总电荷量为：

Q(x′)=d31WEε(x′)dx′

(7)

在振动俘能过程中，悬臂梁存储的电场能量E0为：

(8)

将式(5)和(7)代入式(8)，从而得到矩形梁存储的电场能量与电极占比的变化关系为：

(9)

其中，E为悬臂梁等效弹性模量.

矩形梁的开路电压为：

(10)

当悬臂梁工作在其一阶模态时，其集中参数等效电路为电流源iP、电阻RP和电容CP的一个并联组合[17].假设压电材料的电阻率为ρ，其一阶模态的固有频率为ω0时，有:

(11)

(12)

匹配负载为：

(13)

同理，可以得到三角形悬臂梁在振动俘能过程中的电场能量、开路电压和匹配负载与电极占比的关系为：

(14)

(15)

(16)

以矩形梁为例，将式(3)分别代入式(9)、式(10)和式(13)得到了矩形压电悬臂梁的电场能量、开路电压及匹配负载随电极占比的变化关系(归一化)，如图2所示.

由图2看出，矩形梁在振动俘能过程中，其开路电压和匹配负载随着电极占比的增加而减小；而存储的电场能量则随着电极占比的增加呈现先增加后减小的趋势，当电极占比为52%时，电场能量获得最大值，该结论与文献[15]相吻合.同样，可以得到三角形压电悬臂梁的最优电极占比为57%.换句话说，在振动俘能过程中无论是矩形梁还是三角形梁都存在最优的电极比.

2.3 本质探究

2.3.1 定性分析

首先要明确的是，当两个电容量为C1和C2，电压分别为U1和U2(U1≠U2)的电容作并联时，两电容上的电荷会重新分配，并存在一定的能量损失，其损失的能量为：

ΔE

(17)

其次，对于悬臂梁上压电层而言，可以看作是由无数个宽度相同的“小电容”组成.在振动时，压电悬臂梁电极表面感应出可以自由移动的电荷，在一个极短的时间内感应电荷重新分配，从而在电极表面形成一个等势面.这个过程如同无数个电压不同的“小电容”在极短的时间内并联，所以能量损失是存在的.

2.3.2 定量分析

根据微元法思想建立如图3所示的悬臂梁微元模型，将矩形梁看作n个矩形“小电容”组成，每个“小电容”的长度为1/n，宽度为W.第i个电容存储的能量，可以通过理论计算得到.

第i个“小电容”的面积、电荷量、电容及电场能量分别为:

(18)

(19)

组成矩形梁的n个电容的总电能量为：

(20)

将x′=1(即x=l，全电极)，代入式(9)可得全电极矩形压电悬臂梁的电能量为：

(21)

同样地，组成三角形梁的n个电容的总电能量为：

(22)

全电极三角形压电悬臂梁的电能量为：

(23)

比较式(20)和式(21)以及式(22)和式(23)，即可得到矩形和三角形悬臂梁在不同电极占比下损失的电场能量.采用式(3)和(4)所示的应变分布函数，且取尽可能大的n值，由MATLAB得到的仿真结果如图4所示.

由图4可以看出，当悬臂梁的电极占比为最优值时能量损失最小.即矩形梁和三角形梁的电极占比分别为52%和57%时，能量损失率分别为12.28%和6.48%.

3 仿真分析

本文选用PVDF压电材料，仿真过程中涉及到的介电常数、压电常数等系数矩阵参见文献[18,19].压电悬臂梁模型参数如表1所示.

表1 压电悬臂梁模型参数

3.1 输出特性分析

首先仿真分析了矩形和三角形压电悬臂梁的输出开路电压及匹配负载随电极占比的变化关系，如图5所示.

由图5可以看出，矩形梁和三角形梁开路电压和匹配负载均随着电极占比的增大而逐渐减小.

其次，分别对电极占比10%～ 100%的输出功率曲线进行仿真分析，输出功率特性曲线如图6所示.进一步提取图5和图6中负载匹配时的最大输出功率，进而得到如图7所示的最大输出功率随电极占比的变化趋势.

由图7可以看出，在振动俘能过程中，矩形梁、三角形梁的电极占比分别为50%和60%时获得的最大功率为9.84μW和11.41μW，分别为全电极输出功率的1.42倍和1.05倍.

3.2 能量分布函数和仿真结果比较

比较悬臂梁在振动俘能过程中电场能量随电极占比分布的函数曲线和ANSYS仿真分析的最大输出功率，其结果如图8所示.

由图8可以看出，由仿真得到的最大输出功率随电极占比的变化规律与电场能量随电极占比分布的函数曲线相当吻合.这说明利用压电悬臂梁的振型函数推导得到的电场能量随电极占比的分布函数的理论是正确的，用能量分布函数分析输出功率的方法是可行的，其分析结果较文献[15] 更准确，分析方法具有普遍性，不仅可以分析矩形梁，还可以分析三角形梁，同样也适用于梯形梁.

4 实验验证

实验采用自制的矩形和三角形压电悬臂梁，其尺寸和参数满足表1的要求.实验过程中采用AFG3021B信号发生器为YE5871A功率放大器提供信号，从而驱动JZK-5系列小型激振台，进而激励固定在振动台上的压电悬臂梁，最后通过TDS1002来观察输出电压波形，并记录实验结果，实验装置如图9所示.

在实验过程中，首先测得在振动俘能过程中矩形和三角形悬臂梁的输出开路电压和匹配负载随电极占比的变化，其变化规律与理论分析及仿真的结果相吻合.其次，不断地改变负载，测得悬臂梁在10%～100%电极占比下的输出功率，提取不同电极占比的最大输出功率和对应的匹配负载从而得到最大功率和匹配负载随电极占比的变化曲线.以矩形悬臂梁为例，如图10(a)和10(b)所示.最后，对实验结果与ANSYS仿真所得最大输出功率以及能量分布函数曲线进行了对比.以矩形悬臂梁为例，比较结果如图11所示.

由图10(a)和10(b)可以看出，最大输出功率和匹配负载随不同电极占比的变化规律均与理论和仿真结果相吻合，只是最优电极占比和最大输出功率在数值上与仿真有点偏差.实验测得的矩形和三角形悬臂梁的最优电极占比分别为60%和50%，其最大功率分别为全电极的1.45倍和1.17倍.由图11可以看出，实验测得负载匹配时的最大输出功率与仿真结果以及电场能量随电极占比分布的函数曲线三者表现出了良好的一致性.

5 结论

本文从电极占比的角度探究了在压电振动俘能系统中电极分布对压电悬臂梁俘能特性的影响.利用压电悬臂梁的振型函数推导得到了在俘能过程中存储的电场能量与电极占比的关系，更准确的分析了电极占比的影响，并探究了电极占比对电气输出特性影响的本质，指出了在振动俘能过程中存在电荷的重新分配，且存在能量损失，在最优电极处能量损失最低，全电极时能量损失较大；其次通过仿真分析了矩形和三角形悬臂梁在振动俘能过程中的输出特性，指出最优电极占比在50%～60%之间.最后，通过实验验证了矩形和三角形悬臂梁在振动俘能过程中的最优电极占比与仿真和能量分布函数得到的最优值相当吻合，进一步说明利用压电悬臂梁的振型函数推导得到的电场能量随电极占比的分布函数的理论是正确的，该分析方法更具有普遍性，不仅可以分析矩形梁、三角形梁，同样也适用于梯形梁.在实际应用过程通过优化电极占比来提高输出功率是可行的.