摘要：为减轻横梁质量并提高其静动态特性，首先对横梁进行受力分析，通过灵敏度分析找出各设计变量对横梁质量和最大变形量的影响程度，然后综合考虑横梁的质量和最大变形量，利用响应面法构造回归方程，并对回归方程进行准确性验证，用优化工具箱对横梁进行多目标优化求解，得到最优的尺寸参数。将优化前后的参数进行对比分析。结果表明，优化后的横梁不但质量减轻，而且静动态特性都有所提高。

关键词：灵敏度分析；响应面法；多目标优化；静动态特性

龙门加工中心是现代工业发展中必不可少的加工设备，横梁是龙门加工中心的重要组件之一，它的静动态特性对龙门加工中心的加工精度和工件的加工质量产生很大影响，为了满足机床高精度、高速度、高效率的设计要求，横梁必须具有足够的静动态特性[1]。本文对某龙门加工中心横梁进行了分析研究，首先在根据传统经验设计得到横梁结构的基础上，选择合适的尺寸参数，以横梁的静变形量和质量为性能指标，进行多目标联合灵敏度优化分析，得出各尺寸变量对横梁静变形量和质量的影响情况。然后根据灵敏度分析结果，找出对性能指标影响较大的结构尺寸，使用有限元分析和响应面法相结合的方法确定横梁尺寸多目标优化函数。最后利用MATLAB优化工具箱得到最佳尺寸配置，从而提高横梁的静动态特性。

1　横梁有限元模型建立及受力分析

使用SolidWorks三维建模软件对横梁进行建模，并对横梁模型做出必要的简化，忽略螺纹孔、圆角、倒角等特征，加快有限元软件的计算速度。

为求出横梁的受力情况，首先对横梁进行受力分析。把直角坐标系原点设置在横梁跨距中心，X方向原点设置于上导轨中间线与下导轨中间线的中心，距离上导轨表面461.25mm。横梁放在两根立柱上，其受力结构可以简化为两点简支梁结构，横梁的自重会产生一定的变形，另外当滑鞍和滑枕等部件在横梁上不同位置移动时，也会引起不同程度的弯曲变形。据已有的分析可知，横梁在加载切削力的情况下，由于切削力竖直方向的分力与横梁主要受力方向刚好相反，并且切削力在各方向的分力相对较小，所以在加载切削力的情况下，横梁的变形反而比不加切削力的情况要小[2]。因此本文主要考虑横梁在不受切削力的情况下受力状况。

滑座在横梁导轨上左右运动时，横梁会产生不同程度的弯曲变形，据分析可知，滑座处于横梁中间位置、滑枕运动到最低点时，横梁会产生最大的弯曲变形，所以按这种情况求解横梁受力[3]。由于横梁在导轨方向产生的摩擦力很小，为方便求解，忽略横梁与导轨、导轨与滑块之间产生的微小摩擦力；横梁与滑鞍通过导轨相连，连接部位即为横梁的受力位置，将横梁受力分解为X和Z两个方向的力，建立力学模型如图1所示。

横梁部件受到的力如图1所示，主要有滑枕、滑鞍及主轴部件的合成重力G合以及横梁自身的重力G横。其中滑枕、滑鞍及主轴部件的总质量约为5 000kg。将G合的力平移到坐标系原点得到以及作用于XOZ平面的力矩MXOZ，其中G合与方向相同，大小也相等，则有

(1)

图1　横梁受力分析

将MXOZ分解为作用在上下导轨上的两个大小相同方向相反的力

(2)

将这两个力近似地作用到横梁上导轨面上的3个和下导轨面上的4个滑块上，滑块的型号为MRB55，尺寸为162mm×140mm×57mm。经计算得上导轨各个滑块上受到的压强为0.86MPa，方向为X轴负方向，下导轨各个滑块上受到的压强为0.26MPa，方向为X轴正方向。将分解为加载在横梁上下滑块上的力，忽略产生的微小扭矩，得上导轨各个滑块上侧受到的压强为0.72MPa，下导轨各个滑块上侧受到的压强为1.32MPa，方向均为Z轴负方向。

2　灵敏度分析

将横梁模型导入到Workbench有限元分析软件中，选择横梁的材料为HT250，其弹性模量E=1.38×1011Pa，泊松比为0.156，密度ρ=7 280kg/m3；横梁导轨的材料为GCr15，其弹性模量E=2.07×1011Pa，泊松比为0.3，密度ρ=7 850kg/m3；滑块材料为不锈钢，其弹性模量E=1.93×1011Pa，泊松比为0.31，密度ρ=7 750kg/m3。将上文计算得到的压强加载在横梁的上下滑块之上，添加横梁自重，并在横梁底部连接立柱部位作固定约束，同时忽略横梁组件各结合面之间的接触变形，近似将各接触面看作刚性接触[4]。

2.1　设计变量选择

灵敏度分析及优化在结构优化设计中的应用已越来越多，龙门横梁结构通常比较复杂，很多尺寸参数都可以进行优化分析，在进行灵敏度分析时，选择的参数过多会使计算量过大，造成资源浪费，参数较少则有可能漏掉对结构性能影响较大的尺寸参数。因此，合适的尺寸参数选择至关重要。

通过分析横梁结构可知，横梁由外部壳体和内部筋板组成，考虑到横梁外形尺寸的改变会影响后续的装配关系，因此横梁外部壳体的结构与尺寸不作变动。横梁内部筋板布置错综复杂，可选择的设计尺寸相对较多，由于所选择的设计尺寸要兼顾到机床其他构件的装配，所以在分析时，把不影响装配的一些设计尺寸作为设计变量。同时也应考虑到设计变量的变化范围，否则横梁的数字化模型不能生成，使分析无法进行[5]。在此基础上选取横梁内部X向筋板厚度、横向筋板厚度、纵向筋板厚度等7个参数，即n=7进行多参数联合优化。具体设计变量见表1(实际对应位置如图2所示)。

表1　横梁设计变量

图2　横梁内部筋板剖视图

2.2　灵敏度分析结果

灵敏度分析结果如图3所示。由静变形量灵敏度分析结果和横梁质量灵敏度分析结果可知，对于横梁变形的影响程度：P3>P2>P6>P1>P5>P7>P4。对于质量的影响程度：P2>P3>P6>P1>P4>P7>P5。从中可以看出P2，P3，P6对其影响最大，所以对这3个尺寸要进行进一步分析优化。对于其他尺寸，根据灵敏度分析结果，利用变尺寸法对横梁结构的关键尺寸进行调整，使用Workbench软件提供的基于试验设计(DOE)方法，利用目标驱动优化(goal drive optimization，GDO)技术，采集设计参数样点，计算各个样点的响应结果，利用二次插值函数构造设计空间的响应面或者设计曲线，最终获得优化的解集[6]。目标函数设置为最大变形量不小于84μm，且质量最小。得到优化结果：P1=15.2，P4=205.3，P5=190.8，P7=105.6。尺寸圆整为P1=15，P4=205，P5=190，P7=106。

图3　灵敏度分析结果

3　关键尺寸的优化分析

3.1　正交试验法及分析结果

正交试验设计是一种有效地研究多因素多水平的数理统计方法。它能够合理地安排并科学地分析各试验因素。正交试验设计具有正交性，使试验具备均衡分散和综合可比的特性。此方法应用方便，准确性高，在多因素多水平的条件下有很大的优越性，是一种高效率、快速、经济的试验设计方法[7]。因此对P2，P3和P6进行正交试验求出其响应面模型。将P2记为X1，P3记为X2，P6记为X3。将X1，X2，X3作为正交试验的3因素，设计变量的4组取值为正交试验的4水平(正交试验设计的因素、水平见表2)，采用4水平3因素正交试验表，进行L16(43)=16组数据的有限元分析。

表2　正交试验的因素、水平

在ANSYS/Workbench中进行相关参数设置，对16组正交试验组合进行分析，最终得到横梁关于质量和最大变形量的分析结果(见表3)。

表3　正交试验分析结果

3.2　响应面模型的建立

在多因素数据处理试验的分析中，响应面分析可以分析试验指标(因变量)与多个试验因素(自变量)间的回归关系，在响应面分析中，首先要得到回归方程，然后通过对自变量的合理取值，求得最优的值，这就是响应面分析的目的[8]。二次响应面(多元二次多项式)模型描述为：

(3)

以X1，X2，X3作为自变量，横梁质量和最大变形量作为优化目标进行优化，通过regress进行二次回归方程的拟合，得到横梁质量的拟合函数：

(4)

最大变形量的拟合函数为：

(5)

3.3　响应面模型的准确信验证

设计变量取4组如表4所示的值，且确保所取点不是插值点。分别求取各个点的响应面模型计算值与有限元模型在软件中的计算值，对比分析的结果见表4。由表中数据可知，响应面模型与有限元模型的计算结果相差很小，而且二者的相对偏差均在设计误差范围内，因此本文所构建的响应面模型用于求解横梁多目标优化设计问题时的准确性是可靠的[9]。

表4　设计变量的不同取值

3.4　多目标优化结果分析

本文对横梁进行化优化设计的目的是降低其最大变形量并实现结构轻量化。取两个优化目标函数的权重为相同值，即km=ks=0.5，从而将多目标优化转化为单目标优化。目标函数模型如下:

(6)

利用MATLAB优化工具箱中的fmincon函数对目标函数进行求解，得到最优尺寸解为X1=20.455，X2=24.073，X3=7.934。

为提高横梁的铸造精度，需对优化后的设计参数进行圆整[10]，圆整后的尺寸为X1=20mm，X2=24mm，X3=8mm。

3.5　优化结果分析

将横梁结构优化后的关键尺寸运用SolidWorks软件重新建模，并导入Workbench软件中进行静动态特性分析，分析结果如图4和图5所示。将优化后横梁分析结果和原横梁进行比较，发现经过优化后质量减轻了184kg，最大变形量减少了0.66μm，最大应力减少了1.063MPa，一阶固有频率增加了0.87，即优化后横梁的质量、最大应力和最大变形量均减小，一阶固有频率略有提高，说明横梁的质量降低且静动态特性均得到了提高。

图4　优化后横梁的静变形量云图

图5　优化后横梁的一阶模态频率云图

4　结束语

本文对龙门加工中心横梁进行尺寸优化并设计。首先对横梁进行灵敏度分析，通过灵敏度分析可以确定各个设计变量对横梁性能的影响程度，然后选择影响较大的参数，进行进一步优化分析，这样可以减少计算量，提高优化效率。横梁的多目标优化在实现横梁质量减轻的同时又提高横梁的静动态性能。优化设计后的横梁与原横梁相比不但质量减轻，并且静动态特性得到进一步提高，说明本文提出的横梁优化设计方法是合理可行的，可以应用到机床其他零部件及整机的优化分析中。