摘 要：如何将托盘科学地在系统内调度是目前托盘共用系统管理者们亟待解决的问题。面对各类参数的随机性和多种多样的托盘，管理者很难仅凭经验做出科学的决策。利用随机机会约束规划的方法，构建了考虑混合型号托盘的托盘共用系统调度随机规划模型，使用确定性等价转化的方法将机会约束转化为了其确定等价形式，通过算例进行了数值求解和分析，验证了模型的有效性，提出了决策策略建议。
关键词：托盘；调度；随机规划
1 引言
托盘是物流作业中应用最广泛的工具。托盘共用系统是管理托盘的有效方法。如何将托盘科学地在系统内调度是目前托盘共用系统管理者们亟待解决的问题[1-8]。而该问题之所以难以解决，是因为管理者在制定调度方案时常常被各种各样的不确定因素困扰，其中随机因素是最普遍存在的，如需求随机、供给随机、运输能力随机等[9-10]。
另一个给管理者造成调度难的原因是一个托盘共用系统内通常都有多种型号的托盘，比如CHEP（集保）、招商路凯、iGPS等托盘共用服务商均提供各种类型的托盘以满足顾客的需要。我国确定的标准托盘也有1 200 mm×1 000 mm和1 100 mm×1 100 mm两种规格，所以在较长的一段时间内，这种情况将一直存在。因此本文重点研究的是随机条件下有多种型号托盘的共用调度问题。
2 模型构建
2.1 问题描述及假设
图1描绘了CHEP、招商路凯、iGPS等几乎所有的托盘共用系统的运作流程[11-13]。
不失一般性，本文考虑的即是这一标准的托盘共用系统，并做出以下假设：
（1）研究的托盘共用系统中有多种型号的托盘，而且托盘的性质决定了它们之间不能互相替代。托盘和集装箱等物流器具不同，托盘之间没有完美的替代关系（如一个40 ft箱可以利用2个20 ft箱替代），所以托盘共用服务提供者一般不采用替代策略，即使在极端情况下为了满足特定客户的需要，也需以价值高的托盘替代价值低的托盘，否则客户不会接受，不具经济性。因此本文不考虑托盘之间的替代关系。
（2）系统内的需求者是富盘需求者（简称“富盘者”）还是缺盘需求者（简称“缺盘者”）是确定的。即管理者已在决策前获得需求者是需要提供托盘供给服务还是托盘回收服务的信息。
（3）由于市场竞争激烈，供给者必须准时满足所有需求，当供给者的现有托盘不足以满足需求时可向系统外购买或租借托盘。
（4）供给者可以直接将富盘者需要回收的托盘再分派给缺盘者以满足其需要，但这些托盘必须是完好无损的。供给者需对回收的托盘进行全面的检测、维修并评估为可重复再使用时才可再用这些托盘满足客户需求，这些工作需要耗时一个单位周期。
（5）管理者掌握的参数中有部分是随机的（包括需求、供给、待回收托盘量、库存能力和运输能力），并已知其分布函数。
（6）富盘者已将每期需要回收的所有型号托盘的完好率告知供给者。
（7）单位托盘所占的各种能力的系数均是固定不变的。
（8）各种型号托盘的各种单位成本均固定不变。
（9）为了降低成本，供给者只按整车分派、再分派和回收托盘（在实际运作中，几乎所有的托盘共用系统都只整车运输托盘），且车载量固定不变。
图1 运作流程
2.2 模型构建过程
利用随机机会约束规划的方法[14-15]，构建模型：
目标函数：式（1）表示总成本最低，包括分派成本、再分派成本、回收成本、购买（租借）成本、库存成本和惩罚成本。
约束条件：式（2）为供给能力约束。式（3）表示富盘者可用于再分派的托盘数量。式（4）表示所有缺盘者的需求都必须被满足。式（5）表示从富盘者运出的托盘不能超过其拥有的托盘总量。式（6）～（10）为供给者服务站、富盘者和缺盘者的库存约束。式（11）～（13）为运输能力约束。式（14）～（16）为整车约束。式（17）～（19）为装卸能力约束。式（20）表示决策变量的取值。
2.3 模型处理
将约束式（2）～（5）、（7）、（11）～（13）和（17）～（19）转化为其确定等价形式：
其中，η=sup{η|η=ϕ-1(1-δ)}表示取ϕ-1(1-δ)的最大值，ε=inf{η|η=ϕ-1(δ)}表示取ϕ-1(δ)的最小值。
3 算例
假定某标准托盘共用系统中有2个供给者服务站(i=a，b)，2个富盘者(j1=c，d)，2个缺盘者(j0=e，f)，2种托盘型号(p=p1，p2)。决策期长度为4期(t=t1，t2，t3，t4)，且管理者制定决策时仅有第3期和第4期面临的是随机条件。购买（租借）p1和 p2的单位价格分别为1 和1.1。所有时间段所有线路的车载量均为10。 p1和p2占用的所有能力之比都是1∶1.1。置信水平均为0.95。未将c的 p1和 p2回收的惩罚成本分别为12和14。未将d的 p1和 p2回收的惩罚成本分别为10和12。所有缺盘者对 p1的需求被过量满足的单位惩罚成本均为12。e和 f对 p2的需求被过量满足的单位惩罚成本分别为13和14。其他参数值如表1～表8所示。
表1 单位运输成本
表2 t1，t2，t4期的运输能力
3.1 数值求解
Lingo是建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更有效率的综合工具。大量经典文献在求解调度问题时使用该软件求解，因此本文也采用该软件编程求解模型[16]。
表3 t3期运输能力
表4 作业时间
表5 供给
表6 需求
表7 完好率
表8 其他
基于Lingo求解模型，最优解为37 911，最优调度方案如图2所示。即最优调度方案的调度成本为37 911。通过执行该方案，第1、2、4期所有需求者的需求都被满足；第3期所有缺盘者和c的需求也都被满足；仅有第3 期d的7个 p1托盘和6个 p2托盘因不足整车而未被回收。
进一步分析可知模型的解完全满足算例的所有要求，管理者能够使用该模型辅助决策。
图2 最优调度方案
3.2 数值分析
对第1期c的装卸能力以步长10从140取到210，每种取值下的计算结果如表9所示。分析可知，由于有整车约束的限制，当能力由140提高到150时，只能多回收10个 p1（共1车）；当达到160时，共回收9个 p1和10 个 p2（20车）；当达到210时可将所有托盘回收。因此可知，当因装卸能力不足无法满足富盘需求者的需求时，管理者应以整车和成本最低为原则来抉择。同理分析c的库存能力和运输能力对决策的影响，可得出同样的结论。
表9 求解结果
将单位 p2所占的运输能力设为3，求解模型时无法求得最优方案，如图3所示。因此可知，当因运输能力不足无法满足缺盘者的需求时，管理者必须以各种方法提高运输能力来满足需求（如租用车辆、采用导航系统引导车辆行驶避免拥堵等）。同理分析其所占的库存能力和装卸能力对决策的影响，可得出同样的结论。
图3 求解结果
4 结束语
针对随机条件下有多种托盘型号的托盘共用调度问题，构建了数学模型，管理者可以利用该模型做出最优决策。通过算例分析提出了管理者在面临多种型号托盘共用调度问题时，应采取的策略。
本文使用Lingo软件对模型进行求解，但当问题规模较大时，使用该软件求解可能会耗时较长，因此需要有效的算法缩短计算时间，这将是本课题下一步研究的重点。
文中假设的是所有富盘者和缺盘者都是确定的，即一个需求者是缺盘者还是富盘者是事先已知的，未考虑它们之间的转换关系（如缺盘者在使用完毕托盘后就转换为了富盘者），在下一步的研究中将把托盘运用周期等影响区分需求者类型的因素考虑在内，构建出更加符合实际需要的模型。
托盘共用已越来越被广泛关注，有关托盘共用的文献也越来越多。但是有关托盘共用调度的研究仍然非常少，希望有更多的专家对该问题进行深入研究。
