弹性背腔板式消声器的低频宽频带消声特性

管路低频噪声控制技术是近年来研究的热点和难点，传统多孔、纤维吸声材料制成的消声器能有效吸收中高频噪声，却对低频噪声的作用甚微；扩张式消声器和Helmholtz是目前常用的抑制低频噪声的手段，却存在通过频带、消声带宽不足和体积大的缺点，此外，由于通流截面的突变，会产生额外的压力损失和再生流噪声。噪声主动控制技术对于控制管路低频噪声具有较大优势，然而实际应用中的可靠性和成本问题不容忽视。

Huang[1-2]提出了鼓型消声器，利用声波和弹性结构的耦合作用，使消声器内的声阻抗不连续而发生反射和散射作用，从而降低下游透射的声能。较传统扩张式消声器，这种结构的通流截面保持不变，所以不会产生额外的压力损失。实验和研究证明，鼓型消声器在低频具有宽频带的消声特性，并且消声性能较同体积的扩张腔式消声器具有明显优势[3-4]。对于鼓型消声器，弹性薄膜的张紧力对消声性能影响关键[5-6]，为获得宽频带消声效果要求薄膜具有低的密度的同时需要施加非常大的张紧力，通常接近材料的强度极限，这在工程中也难以实现和维持，此外，薄膜的张紧力还会受到材料蠕变和环境温度等因素的影响。为此，Huang[7]提出利用弹性板来替代弹性薄膜形成板式消声器，在相同几何尺寸条件下，得到比鼓型消声器具有更宽低频吸声带宽的效果。由于工程实际中固支边界更普遍和容易实现，Wang等[8]研究了固支边界条件下板式消声器的传递损失特性，并对板式消声器进行了优化设计和实验研究。为了得到低密度高刚度的弹性板，Wang等[9]设计了低密度高弯曲刚度的碳纤维增强三明治结构，在理论分析过程中将其看作均质材料，在低频范围内与实验结果吻合较好。

通常，板式消声器在中低频范围内具有较好的吸声效果，而在高频范围的吸声效果有待提高， Wang等[10]在板式消声器背腔内填充吸声材料，形成了复合式消声器，并对利用有限元方法求解了三维复合板式消声器的传递损失特性，在同容积条件下其消声带宽大于二维模型的板式消声器，消声器结构尺寸也更加紧凑。在此基础上，Choy等[11] 研究了介质流动对鼓型消声器的性能的影响，设计了由六棱柱体板式消声器，使结构更为紧凑[12]。此外，Li等[13]利用渐变宽度膜、板结构阻抗在轴线方向上随宽度变化的特性，研究了渐变宽度膜、板消声器的声学特性。赵晓臣等[14]研究了双层鼓型消声器的传递损失特性。何涛等[15-16]建立三维弹性板式消声器理论模型，探讨了鼓型消声器在水介质中的应用。

为进一步的拓宽板式消声器的有效吸声带宽，本文将板式消声器的背腔改为弹性结构，建立了弹性背腔板式消声器的结构-声耦合模型，研究弹性背板对板式消声器传递损失特性的作用，并与有限元仿真结果进行对比。

1 弹性背腔板式消声器理论

Huang提出的板式消声器由两个矩形腔与覆在矩形腔和管道之间的两个弹性板组成，弹性背腔板式消声器是将两个矩形腔的腔壁用弹性板替换，其结构模型如图1所示，主管道的高度为背腔的高度和宽度分别为和w*，弹性板的长度为L*，管道内流体介质的特性声阻抗为

图1 弹性壁扩张式消声器结构示意图
Fig.1 Geometry of plate silencer with flexible wall

由于结构具有对称性，为简化理论分析，取其一半进行分析。 定义主管道为a空间，扩张腔为b空间，在入射波的激励下，弹性板的速度响应为v*(y,z,t)，弹性背背板的速度响应为u*(y,z,t)，a空间的声场为空间内声场为

以和作为长度、速度和时间单位，对所有参数进行无量纲化处理，本文中所有带“*”角标的表示有量纲的参量，对应相同符号不含“*”角标的为相应的无量纲的参量，B1,2和M1,2分别为弹性板或弹性背板的弯曲刚度和面密度。

(1)

1.1 弹性板和弹性背板的振动响应

在单位幅值入射平面波的作用下，

pi=ej(ωt-k0z)

(2)

k0=ω0/c0为管道介质中的波数。建立弹性板和弹性背板的运动微分方程为：

(3)

(4)

式中：D1,2，M1,2分别为弹性板或弹性背板的弯曲刚度和面密度，4=(∂2/∂z2+∂2/∂y2)2。

弹性板和弹性背板的速度响应为：

(5)

为书写简便，下文中统一省略时间项ejωt，

利用模态叠加法表示弹性板和弹性背板的速度响应，

(6)

(7)

为实现主管道与背腔之间的隔离，在z=0,L的左右两边和y=0,w的前后两侧边采用简支边界。此时，

(8)

对公式(3)、(4)两侧分别乘4φj′q′(y,z)/Lw，并在弹性板表面积分得，

(9)

(10)

式中：V为弹性板的模态幅值向量，U为弹性背板的模态幅值向量。

(11)

1.2 辐射阻抗

利用Galerkin法求弹性板和弹性背板的响应，设m和n分别为矩形管道在垂直于轴线截面内沿y轴方向和沿x轴方向的模态阶数，文献[7]中给出简支弹性板向矩形管道的模态辐射阻抗的详细推导过程，此处不再赘述，

(12)

其中，

(13)

b空间的声压由弹性板辐射声场pb1(x,y,z)和弹性背板辐射声场pb2(x,y,z)两部分叠加组成，

pb(x,y,z)=pb1(x,y,z)+pb2(x,y,z)

(14)

设矩形腔沿x轴、y轴和z轴方向的模态阶数分别是n,m,l，b空间内的广义Green函数为，

Gb(x,y,z|x′,y′,z′)=

(15)

式中：Φblmn(x,y,z)为b空间第(l,m,n)阶特征函数，Vb为b空间体积,Λblmn为第(l,m,n)阶模态质量，ωblmn为b空间第(l,m,n)阶特征频率，

Φblmn(x,y,z)=cos(k1x)cos(kmy)cos(knz)

(16)

Vb=Lhbw

(17)

(18)

(19)

由Kirchhoff-Helmholtz积分公式，可得b空间的声压分布为

pb1(x,y,z)=

(20)

pb2(x,y,z)=

(21)

其中，

(22)

将式(20)、(21)代入式(14)得弹性板下表面的声压为：

pbu=pb1(0,y,z)+pb2(0,y,z)

(23)

弹性背板上侧的声压为：

pbl=pb1(-hb,y,z)+pb2(-hb,y,z)

(24)

定义弹性板向b空间的模态辐射阻抗为弹性背板向b空间的模态辐射阻抗为利用模态正交性可得：

其中，

(27)

(29)

1.3 耦合方程的求解和传递损失

将公式(12)、(25)和(26)代入公式(9)和(10)可得

(30)

(31)

联立(30)和(31)可以求得弹性板的响应为

V=

(32)

弹性板向管道内的辐射声场为，

pa(x,y,z)=

(33)

其中，

(34)

透射到下游管道的声压为入射声波pi和辐射声场pa的叠加，在截止频率以下，

pt=pi+pa|x→+∞

(35)

pa|x→+∞=

求得消声器的传递损失为

(37)

本文旨在研究具有低频、宽频带吸声效果的消声器，定义TLcr为消声效果评判依据，Huang设置3倍尺寸条件下扩张式消声器最大传递损失为评判依据，为保持与Huang的研究一致，本文选取TLcr=10 dB为评判消声效果的指标。在传递损失大于TLcr的频率范围内f∈[f1,f2],TL>TLcr，称为有效消声频率范围。对于低频消声器，定义B=f2/f1，为有效吸声带宽更合理。

2 理论模型验证

2.1 模态收敛性检查

利用模态叠加法求解弹性背腔板式消声器的传递损失，在实际计算过程中，分别截取前Nj,Nq阶的结构模态和前Nl,Nm,Nn阶的管路声模态。为确保求解结果的精确性，需要对模态数目截断收敛性进行验证。设置弹性壁扩张式消声器的几何参数与材料属性，如表1所示。

表1 弹性背腔板式消声器的几何参数与材料属性
Tab.1 Structural Parameters and Material Properties of flexible expansion silencer

根据结构尺寸比例，取Nj=5Nq=N1=5Nm=5Nn=5N，以有限元计算结果为准，构建模态截断误差函数为:

(38)

式中：[fL,fH]为频率范围，本文主要关注[0,0.2]无量纲频率范围内的弹性壁扩张式消声器的传递损失特性。得到模态截取误差随截断模态阶数的曲线如图2所示，随着模态数目的增加，模态叠加法求解结果趋近一致。当N=14时，所得结果误差为3.3%，综合考虑计算成本，本文在计算弹性背腔板式消声器传递损失时，截取模态阶数为

Nj=5Nq=Nl=5Nm=5Nn=70

(39)

图2 模态数目截断误差曲线
Fig.2 Convergence of transmission loss with different numbers of modes

2.2 有限元验证

利用有限元方法对理论结果进行验证，选用COMSOL Multiphysics中声-壳耦合模块，在结构和声场耦合面上满足压力连续和法向振速连续条件。求得弹性壁扩张式消声器的传递损失曲线的理论结果与有限元结果对比，如图3所示。

图3 理论计算结果与有限元仿真结果对比
Fig.3 Comparison between predicted results and FEM results

对比发现，在分析频率范围内，理论结果和有限元结果吻合良好，从而验证了本文理论推导的准确性。

3 弹性背腔板式消声器参数分析

文献[7]研究发现，横向位移约束对于鼓型和板式消声器的消声效果起负作用。特殊地，当弹性板和弹性背板的前后两侧边，y=0,w，为自由状态时，其在平面波的作用下，弹性板的横向振动可以忽略，此时，弹性板的振动可以简化为两端简支的梁，同理，弹性背板也可以简化为简支梁。弹性背腔板式消声器的模型由三维结构变为二维结构，以便与现有的板式消声器对比。

尽管板式消声器结构并不复杂，但是有众多影响消声性能的参数，比如背腔的长度和深度、弹性板的面密度、弯曲刚度和阻尼等，弹性背板的引入，使得消声器又增加了新的变量，Huang和Wang已对板式消声器做了参数分析，下面简要概括他们的研究结论，主要对弹性背板参数对传递损失的影响进行讨论。

3.1 背腔的尺寸

背腔对弹性膜或弹性板起到附加刚度作用，尤其是在低频范围，减弱了弹性膜或弹性板的振动响应，进而影响反射声压的减弱。对于相同容积的背腔，当背腔深度较浅时，由于背腔的附加刚度作用较大，消声器容易取得宽频消声效果；当背腔深度较深时，背腔的附加刚度作用相对较小，弹性膜或弹性板在低频范围的响应较强，消声器的低频消声效果的较好。文献[5]对鼓型消声器背腔的尺寸进行优化研究发现，对于矩形截面鼓型消声器，取背腔容积为Lhb=5ha2，当背腔长度为L=5ha，深度为hb=ha时，鼓型消声器能够取得宽频消声效果。

3.2 弹性板的参数

Huang等对鼓型消声器和板式消声器的结构参数进行了优化研究，发现弹性板的无量纲面密度为M1=1，弹性板的弯曲刚度取Dlopt=0.129时，可以获得最优吸声带宽。

3.3 弹性背板的面密度和弯曲刚度

在前人对弹性板和背腔尺寸的研究基础上，对弹性背板的参数进行研究。当弹性背板取不同面密度时，得到对应的最优弯曲刚度D2opt，其对应的吸声带宽B和最低吸声频率f1如图4和图5所示，可以发现，随着弹性背板面密度的增大，对应的最优弯曲刚度随之增大，但是，消声带宽却逐渐减小。由图4和图5还可以发现，对于不同面密度和最优弯曲刚度组合，弹性背板对消声器的最低消声频率几乎没有影响。

图4 不同弹性背板面密度对应的最优弯曲刚度、消声带宽和最低吸声频率
Fig.4 Influence of surface density of the FBP on logarithmic bandwidth, optimal bending stiffness, and lower bandlimit frequency.

图5 面密度和弯曲刚度对传递损失的影响
Fig.5 Influence of surface density and bending stiffness of the FBP on transmission loss

3.4 弹性背板的阻尼

实际中弹性背板为有阻尼结构，此时，用替代原有的背腔的结构特征参数[Ls2]，

(40)

代入公式(32)求得含背腔阻尼条件下的弹性背板的响应，进而求出消声器的声学传递损失特性，背腔阻尼对柔性背腔鼓型消声器的影响如图6所示。可以发现，传递损失曲线的第四个极大值随背腔阻尼增加而逐渐减小，可得，减小背腔阻尼对于拓宽有效吸声带宽有利。

图6 弹性背板阻尼对传递损失的影响
Fig.6 Influence of damping factor of the FBP on transmission loss

3.5 与刚性背腔板式消声器的对比

选取式(41)作为弹性背腔板式消声器的结构参数，并且与相同条件的刚性背腔板式消声器的结果进行比较，结果如图7和表1所示。

M1=1,D1=0.129,hb=1,L=5,M2=1,D2=25

(41)

图2中TLH为文献[7]中板式消声器理论计算结果，TLFBP为当本文弹性背腔板式消声理的结果。可以发现，在相同的评判依据TLcr下，弹性背腔板式消声器在低频范围具有更宽的吸声带宽，结合表1，弹性背腔比相同结构尺寸条件下刚性背腔的吸声带宽拓宽了57.8%。

图7 弹性背腔板式消声器与刚性背腔板式消声器的对比
Fig.7 TL comparison of plate silencer with RBC and FBC

表2 弹性背腔板式消声器与刚性背腔板式消声器的消声带宽
Tab.2 Bandwidth of plate silencer with RBC and FBC

4 消声机理分析

4.1 反射系数

消声器产生辐射声场与原声场叠加，从而降低下游透射的声能。忽略阻尼耗散作用时，声能一部分透射过消声器向下游管路继续传播，一部分反射回上游管路。根据式(33)求得弹性背腔板式消声器的反射声压为，

如图8所示，可以发现，在弹性背腔板式消声器的消声频段内反射声压幅值趋近与1，大部分声能反射到上游管路。

图8 弹性背腔板式消声器的反射声压反射和透射声压
Fig.8 Reflection sound pressure and transmission sound pressure of plate silencer with FBC

反射声波是弹性板各阶振动辐射声场的叠加，

(43)

式中：

(44)

每阶模态的反射声波Rj,qVj,q，定义模态反射贡献率为γj,q，

(45)

式中:是反射声波pr的共轭，在弹性板两侧边自由条件下，仅考虑沿轴线方向的模态阶数，图9对比了刚性背腔和柔性背腔条件下，各阶模态幅值和模态反射贡献率。

图9 前四阶模态反射贡献率
Fig.9 The 1-4th modal reflections

在图9中，第一行为传递损失曲线，除去第一行的第一列为薄膜前4阶模态幅值|Vj|，第二列为前4阶模态反射系数|Rj|，第三列为前4阶模态反射声波|VjRj|，第四列为前4阶模态反射贡献率γj，其中，点画线代表刚性背腔板式消声器，而实线为弹性背腔板式消声器。由图9可以看出，在低频区域一阶振动模态的反射系数较高，较刚性背腔板式消声器，弹性背腔条件下弹性板在传递损失曲线的第三个峰值和第四个峰值之间的第一阶模态振动得到增强，更有利于弹性板辐射声波，从而拓宽了消声器的有效带宽。

4.2 传递损失峰值点的各阶模态贡献率

为更直观地研究柔性背腔对鼓型消声器声学性能的作用，下面研究传递损失曲线中峰值点弹性板的各阶模态振动的幅值和反射声波，以及弹性板的速度响应，如图10所示。其中，第一列、第二列、第三列和第四列分别代表传递损失曲线第一个极大值点、第二个极大值点、第三个极大值点和第四极大值点，其中，第一行为薄膜前10阶模态幅值|Vs|，第二行为前10阶模态反射系数|Rs|，第三行为前10阶模态反射声波|VsRs|，第四行为弹性板的速度响应V(z)。对比发现，在第一极大值点，弹性背腔板式消声器的弹性板的一阶模态幅值略大于较刚性背腔条件下的幅值，而第二阶模态幅值小于刚性背腔条件下的幅值，而其它各阶模态的贡献可以忽略；在第二极大值点，弹性板主要以一、三阶模态形式振动，由于第三阶模态的反射系数很低，所以第一阶模态的反射声压占主要贡献；在第三极大值点，反射声波主要由二、三阶模态组成，而弹性背腔条件下的反射声压较高；在第四极大值点，弹性背腔条件下弹性板的第一阶模态幅值高于刚性条件下的幅值，而第三阶模态幅值较刚性条件下幅值较小，从弹性板的速度响应可知弹性背腔条件下弹性板的振动响应明显高于刚性条件下的振动响应。由此可见，弹性背腔板式消声器主要提高了弹性板在传递损失曲线第三极值点和第四极值点之间频率范围内响应，从而提高对应范围内的传递损失，进而达到拓宽消声器有效吸声带宽的目的。

图10 传递损失曲线四个极大值点薄膜响应
Fig.10 The response of the membrane at the three peak points in TL curve

5 结 论

本文研究了弹性背腔板式消声器的声学特性，利用有限元法验证了理论结果的准确性，相较于相同尺寸条件下刚性背腔板式消声器，弹性背腔板式消声器得到更宽的消声带宽。进一步地分析了背腔参数对传递损失的影响，并对弹性背腔和刚性背腔板式消声器的消声机理进行分析对比。得到以下结论：

(1)对于不同弹性背板面密度，有对应的最优弯曲刚度使消声器获得最大消声带宽，随着弹性背板面密度的增加，最优弯曲刚度随之增加，然而，消声带宽却逐渐减小，换而言之，减小弹性背板面密度对拓宽消声带宽有利。此外，对于不同的弹性背板面密度和最优弯曲刚度组合，对于消声器最低消声频率影响甚微。

(2)相同尺寸条件下，弹性背腔板式消声器较刚性背腔板式消声器有更宽的消声带宽，最优消声带宽提高了57.8%。

(3)弹性背腔板式消声器提高了弹性板在传递损失曲线第三极值点和第四极值点之间频率范围内振动响应，从而拓宽了消声器的有效吸声带宽。