渐变截面背腔微穿孔管消声器声传递特性分析

微穿孔吸声结构[1]具有高声阻、低声抗的特点，是传统多孔、纤维材料的优良替代品。较传统吸声材料，微穿孔吸声结构不仅具有更轻的重量，还具有清洁、无污染及不受材料限制的优点，避免纤维和微粒对人类健康的危害，在被动消声领域具有广阔的应用前景。Liu等[2]研究了结构参数对其吸声效果的影响，Bravo等[3-5]考虑了微穿孔板的振动的影响，通过合理设计微穿孔板的物理参数，来优化微穿孔吸声结构的吸声效果。

近年来微穿孔吸声结构被制成管路消声器用于通风、排气管道噪声控制领域，因其具有低的阻力和再生流噪声，具有传统结构的管路消声器无法比拟的优势。Sullivan等[6]利用平面波理论推导了直通穿孔管消声器声学传递损失求解方法，季振林[7]研究了穿孔率和几何参数对消声器的声学性能的影响，徐贝贝等[8]利用有限元分析了阻性消声器的声学特性， 张孟浩等[9]推导得到了双层微穿孔管消声器的传递损失，左曙光等[10]进行了微穿孔管消声器的结构参数优化研究；Allam等[11]分析了气流对微穿孔管消声器声学性能的影响，Zhao等[12]研究穿孔结构的再生流噪声的作用；Shi等[13]构造了周期性微穿孔管的吸声结构，通过有限元、边界元分析和试验验证，证明了其理论的确性。然而，这些工作都是基于圆柱形背腔结构的微穿孔管消声结构。本文旨在研究渐变截面背腔结构对微穿孔管消声器声学性能的影响，进而提高微穿孔管消声器的性能。

1 微穿孔吸声理论

微穿孔板(Micro-Perforated Panel，MPP)利用空气的黏性耗散，可以实现较宽频带的吸声效果。通常MPP吸声体的穿孔直径小于1 mm，穿孔率在1%左右。根据管的波导理论，马大猷给出微穿孔板的相对阻抗率的表达式为

(1)

式中：c0为声速；μ为运动黏滞系数；d为穿孔直径；t为板厚；σ为穿孔率；

已有大量的实验研究表明马氏理论模型具有足够的精确性[14-17]。

2 渐变截面背腔微穿孔管消声器声传播方程

渐变截面背腔微穿孔管消声器结构模型如图1所示，消声器内部微穿孔管的通径为d0，背腔直径为dz，膨胀腔的截面积是管轴坐标的函数S=S(z)。假设在膨胀腔内，波阵面形状在传播过程中保持一定。根据平面波理论，得到渐变截面背腔微穿孔管消声器的连续性方程为

(2)

运动方程

(3)

假设整个过程绝热，有理想气体物态方程

p(z)=ρ(z)c02

(4)

式中：p1，u1，ρ1分别为微穿孔管内声压、质点振速和空气密度；p2，u2和ρ2分别为膨胀腔内声压、质点振速和空气密度；v1为微穿孔管到膨胀腔的质点声速；ρ0为静态空气密度。

在正弦波激励作用下，联立式(2)～式(4)求得渐变截面背腔微穿孔消声的声学控制方程为

图1 渐变截面背腔微穿孔管消声器结构模型
Fig.1 Geometric model of the GCBCMPTM

+α1p1+α2p2=0

(5)

式中：

整理得到

(6)

式中：

3 基于传递矩阵的渐近解

基于平面波理论求得渐变截面背腔微穿孔的声学控制方程如式(5)所示，由于式(6)中的系数矩阵为随管轴坐标的变系数矩阵，无法直接求得消声器内声场。使用传递矩阵法将变截面背腔消声器微分成N段子消声器串联结构，原消声器可以等效为N段长度为Δl=L/N的等直径背腔的微穿孔消声器和N-1段面积突变结构的串联，如图2所示。

图2 渐变截面背腔微穿孔管消声器的离散
Fig.2 Discrete approximation of the GCBCMPTM

对于直通式微穿孔消声器的传递矩阵，已有研究人员推导，此处仅简要描述。从第i段微穿孔消声器入口到出口的传递矩阵[R]i为

(7)

其中，

(8)

[Ω]i为[A]i的特征矩阵；λ为[A]i的特征值。

(9)

(10)

从第段微穿孔消声器出口到第i+1段微穿孔消声器入口的传递矩阵[B]i为

(11)

渐变截面背腔微穿孔消声器的入口到出口的声压与质点振速传递矩阵[C]为

(12)

[C]=[R]1[B]1[R]2…[B]N-1[R]N

(13)

在膨胀腔，入口端和出口端的边界条件可以写成

u2(0)=0
u2(L)=0

(14)

代入式(12)可得穿孔管入口和出口之间的传递矩阵关系式

(15)

式中：

进而得到消声器的传递损失为

(16)

式中：Si和So分别为消失器入口和出口截面积。

4 理论模型验证

前文基于平面波理论和微穿孔吸声理论，推导了渐变截面背腔微穿孔管路消声器的声学控制方程，并且利用传递矩阵法求得消声器的传递损失。下面对两种特殊结构—锥形结构背腔微穿孔管消声器(Conical Back Cavity Micro-Perforated Tube Muffler，CBCMPTM)和弧形体结构背腔微穿孔管消声器(Circular Arc Back Cavity Micro-Perforated Tube Muffler，CABCMPTM)的传递损失进行数值计算，并利用声学有限元软件ACTRAN进行仿真验证。以下分析都是在标准大气、15 ℃的条件下进行，空气密度为ρ0=1.225 kg·m-3，声速为c0=340 m/s。

4.1 圆锥结构背腔微穿孔管路消声器

如图3所示，圆锥结构背腔微穿孔管消声器的背腔入口直径为d1，出口直径d2，长度为L。可得圆锥结构背腔的截面积为

(17)

图3 圆锥结构背腔微穿孔管消声器结构模型
Fig.3 Geometric model of CBCMPTM

圆锥结构背腔的结构参数表1所示。

表1 圆锥结构背腔微穿孔管结构参数

Tab.1 CBCMPTM structure parameters

代入式(7)～式(16)可得圆锥结构背腔微穿孔管消声器的传递损失。

为检验本文理论推导结果的误差和适用范围，采用三维有限元分析软件ACTRAN进行仿真验证，有限元模型如图4所示。

图4 圆锥结构背腔微穿孔管消声器的有限元模型
Fig.4 FEM model of CBCMPTM

使用六面体单元划分模型，根据每波长6个声学网格的原则，模型能够分析的上限频率为

(18)

满足分析频率范围需要。

考虑到高阶模态声波的传播过程，使用管道模态模拟弧形管的出、入口，仿真计算得到的结果与前文理论求解结果的对比，如图5所示。

图5 圆锥结构背腔微穿孔管消声器的有限元仿真与理论计算比较
Fig.5 Comparison of calculated values with FEM results of CBCMPTM

对比理论计算和仿真分析结果，发现在中低频范围内，基于一维声传播理论求得的圆锥结构背腔微穿孔管消声器的传递损失能较好地预测圆锥结构背腔微穿孔管消声器的声学特性。

4.2 弧形体结构背腔微穿孔管路消声器

如图6所示，弧形体结构背腔微穿孔管消声器的背腔入口直径和出口直径同为d3，长度为L，圆弧半径为R。可得弧形体背腔的截面积为

(19)

代入式(5)可得弧形体结构背腔微穿孔管消声器的声学控制方程。

弧形体结构背腔的结构参数表2所示。

表2 弧形体结构背腔微穿孔管结构参数

Tab.2 CABCMPTM structure parameters

图6 弧形体结构背腔微穿孔管消声器结构模型
Fig.6 Geometric model of CABCMPTM

同理，有限元仿真计算结果与前文理论求解结果的对比，如图7所示。

图7 弧形体结构背腔微穿孔管消声器的有限元仿真
与理论计算比较
Fig.7 Comparison of calculated values with FEM results of CABCMPTM

同样，在中低频范围内，基于一维声传播理论求得的弧形体结构微穿孔管消声器的传递损失，能较好地预测弧形体结构背腔微穿孔管消声器的声学特性。

5 结果分析

为直观地比较背腔结构对微穿孔管消声器传递损失的影响，在等容积、等长度的条件下，构造圆柱结构背腔微穿孔管消声器，如图8所示，结构参数如表3所示。

图8 圆柱结背腔构微穿孔管消声器结构模型
Fig.8 Geometric model of cylindrical back cavity MPTM

表3 圆柱结构背腔微穿孔管结构参数

Tab.3 Cylindrical arc back cavity MPTM structure parameters

圆柱形结构背腔微穿孔管消声器的背腔直径和出口直径同为d5。对于圆锥结构背腔和弧形体结构背腔，当结构参数取d2=d1=d5和d3=d4=d5，R=∞的特殊情况，可以看作渐变背腔结构对圆柱形结构背腔的无限逼近。用本文理论计算圆锥结构背腔和弧形体结构背腔管路消声传递损失与采用参考文献[4]方法计算得到的圆柱形结构背腔微穿孔管消声器传递损失曲线对比，如图9所示。

图9 渐变截面背腔对圆柱形背腔微穿孔消声器的逼近
Fig.9 GCBCMPTM approach to cylindrical back cavity MPTM

可以看出，当渐变背腔结构对圆柱形结构背腔的逼近的时候，本文所推导的渐变结构背腔微穿孔管路消声器传递损失计算结果与参考文献[4]的求解圆柱形背腔微穿孔管路消声器的计算结果吻合良好。从另外一个角度验证了本文所建立的理论模型的准确性。

5.1 渐变截面背腔的声腔模态分析

利用有限元方法分析了圆柱形结构背腔(f1)、圆锥结构背腔(f2)、弧形体结构背腔(f3)三种结构背腔的微穿孔管消的声腔模态，表4列出了2 kHz以内的声腔模态频率及对应的模态阶数。

表4 不同结构背腔的声腔模态频率

Tab.4 Acoustic mode of different structural back cavity

结合图5、图7和图9发现，消声器的传递损失曲线在背腔轴向模态频率附近出现极小值，而在其他方向模态频率处没有明显影响。对比发现，渐变截面背腔的轴向模态频率较直通式背腔结构的轴向模态频率高，所以，渐变截面背腔微穿孔管消声器的吸声带宽较直通式背腔结构消声器更宽。

5.2 结构参数对传递损失的影响

为研究结构参数对渐变截面背腔微穿孔管消声器传递损失的影响，分别设置三种结构形式的微穿孔管消声器，其中S1为直通式微穿孔管消声器，用作比照；S2，S3为锥形结构背腔微穿孔管消声器；S4，S5为弧形体结构背腔微穿孔消声器。5个样本的结构参数如表5所示。依据前文推导的渐变截面背腔微穿孔消声器声传递理论，求得5个样本的传递损失曲线如图10所示。

表5 微穿孔管消声器结构参数

Tab.5 MPTM structure parameters mm

图10 结构参数对传递损失的影响
Fig.10 Influence of structure parameters on the TL

由图10可见，较圆柱形结构背腔微穿孔管路消声器，渐变截面背腔微穿孔管路消声器具有更好的低频消声效果。对于锥形结构背腔，增加锥形结构背腔的锥度，能够进一步拓宽吸声频带，同时提高背腔轴向共振频率处的极小值；对于弧形体结构背腔，减小弧形体半径，能够有效拓宽低频部分吸声带宽，同时提高低频的吸声效果。

6 结 论

本文基于平面波理论和微穿孔吸声理论，得到了渐变截面背腔微穿孔管路消声器的声学方程，利用传递矩阵法求得消声器的传递损失。对比理论计算结果与有限元仿真结果，二者吻合良好，验证了本文理论方法的有效性，进一步分析了结构参数对渐变截面背腔微穿孔管消声器传递损失的影响。得到以下结论：

(1)微穿孔管消声器的传递损失曲线在背腔轴向模态频率附近出现极小值，而在其他方向模态频率处的影响并不明显。对比发现，在等容积条件下，圆锥结构背腔和弧形体结构背腔的轴向模态频率较圆柱结构背腔的轴向模态频率高。

(2)较圆柱形结构背腔微穿孔管路消声器，渐变截面背腔微穿孔管路消声器具有更好的低频消声效果。对于锥形结构背腔，增加锥形结构背腔的锥度，能够进一步拓宽吸声频带，同时提高背腔轴向共振频率处的极小值；对于弧形体结构背腔，减小弧形体半径，能够有效拓宽低频部分吸声带宽，同时提高低频段的吸声效果。