复杂消声器中穿孔管传递矩阵的研究

在汽车排气系统中，穿孔管普遍用于消声器的设计，主要原因是由于穿孔管具有较低的流动阻力损失和良好的消声性能。数值解耦分析法［1］已经被用于预测直通型穿孔管消声器的消声性能。国外，Sullivan和 Crocker［2］第一个提出了分析带有封闭膨胀腔的直通型穿孔管消声器的方法。Iljae Lee［3］在一维解耦模型的基础上，对直通型穿孔管阻性消声器的声学性能进行了研究。国内，季振林［4］使用三维边界元法精确预测了直通型穿孔管消声器的高频消声性能，并验证了中低频数值解耦分析法的正确性。但是，直通型穿孔管结构并不能满足实际应用中复杂穿孔管消声器的设计。研究的目的:①在数值解耦分析法的基础上，对复杂消声器中几种常见的穿孔管结构进行分析，并推导出各自的传递矩阵;②将数值解耦分析结果与有限元分析结果进行比较，验证了数值解耦分析法的有效性和精确性。

1 理论建模

如图1所示，穿孔管膨胀腔结构中，穿孔管内的声压和质点速度为p1和u1，气流马赫数为Ma1，管外腔内的声压和质点速度为p2和u2，气流马赫数为Ma2。管道内和腔内的声波方程［1，5］为

图1 穿孔管膨胀腔结构

式中:k0表示波数，D为腔体直径，d为穿孔管直径，ρ和c分别表示空气的密度和声速，ε表示穿孔管的声阻抗率。解微分方程式(1)和式(2)得到所穿孔管进出口两端声学量间的关系为

式(3)中:T表示穿孔管和膨胀腔间声压和质点速度的关系矩阵。

2 几种常见穿孔管结构传递矩阵的讨论

2.1 穿孔管结构

图2表示了声压和质点速度间的传递关系，可以得到不同应用场合下的穿孔管结构。

图2 声压和质点速度间的传递图

图3 表示直通型穿孔管结构，对应传递矩阵

图4表示扩张型穿孔管结构，对应传递矩阵

图5表示收缩型穿孔管结构，对应传递矩阵

F 4表示的结构不常用见，在此不于讨论。

图3 直通型穿孔管结构

图4 扩张型穿孔管结构

2.2 穿孔管结构传递矩阵的推导

2.2.1 边界条件

如图6所示为一段盲管［6］，管中入射声波的声压为p i，反射声波的声压为p r、p Ai和p Ar分别为入射声波和反射声波的声压幅值。

图5 收缩型穿孔管结构

图6 盲管

管道中任一点的总声压和质点速度分别为

管道中任一点的声阻抗为

当x=0时，

当x=l时，

由式(4)和式(5)可得

因为管道末端为刚性壁面，所以z(l)趋向于无穷大，所以 z(0)= － jρc cot(k0l)。即

2.2.2 直通型穿孔管结构传递矩阵F 1

对于直通型穿孔管结构而言(如图(3)所示，箭头方向为气流方向，如下。)，当x=0时，长度为l i的腔管可以看作是声波沿x轴负方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相反。代入式(6)得

当x=l p时，长度为l o的腔管可以看作是声波沿x轴正方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相同。代入式(6)得

结合式(3)、式(7)、式(8)可以得到

式中:F 1为直通型穿孔管结构的声传递矩阵。其中:

2.2.3 扩张型穿孔管结构传递矩阵F 2

对于扩张型穿孔管结构而言［如图(4)所示］，当x=0时，长度为l i的空腔可以看作是声波沿x轴负方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相反。代入式(6)得

当x=l p时，长度为l o的穿孔管可以看作是声波沿x轴正方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相同。代入式(6)得

结合式(3)、式(9)、式(10)可以得到

式中:F 2为扩张型穿孔管结构的声传递矩阵。其中:

2.2.4 收缩型穿孔管结构传递矩阵F 3

对于收缩型穿孔管结构而言［如图(5)所示］，当x=0时，长度为l i的穿孔管可以看作是声波沿x轴负方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相反。代入式(6)得

当x=l p时，长度为l o的空腔可以看作是声波沿x轴正方向传播的盲管，所以质点振速与声压相位相同。代入式(6)得

结合式(3)、式(11)、式(12)可以得到:

式中:F 3为收缩型穿孔管结构的声传递矩阵。其中:

所以，穿孔管结构的传递损失可表示为

3 传递矩阵法与有限元法比较

三种穿孔管结构的参数为:外腔直径D=0.15 m，管直径 d=0.04 m，l i=0.02 m，l p=0.16 m，l o=0.02 m，入口处气流马赫数Ma=0，小孔直径d a=0.003 m。

对于穿孔直通型结构而言，其传递矩阵法和有限元分析的模型如图3所示。将传递矩阵法与有限元法得到的传递损失进行比较，得到如图7所示结果。

对于穿孔扩张型和穿孔收缩型结构而言，其构

图7 穿孔直通型传递损失

成的消声器(如图8、图9)为传递矩阵法和有限元法分析的模型。穿孔扩张型消声器的传递矩阵由扩张型穿孔管传递矩阵、直管传递矩阵和截面收缩传递矩阵［7］串联而成;穿孔收缩型消声器的传递矩阵由截面扩张传递矩阵、直管传递矩阵［7］和收缩型穿孔管传递矩阵串联而成。将传递矩阵法与有限元法得到的传递损失进行比较，得到如下结果(如图10、图11)。

图8 穿孔扩张型消声器

图9 穿孔收缩型消声器

图10 穿孔扩张型传递损失

由图7、图10、图11可知，在0～2 200 Hz范围内，数值解耦法和声学有限元法在计算穿孔管消声器传递损失时具有较高的精度，从而验证了数值解耦分析法的有效性和精确性。

4 结束语

图11 穿孔收缩型传递损失

在平面波假设的数值解耦方法的基础上，根据穿孔管、膨胀腔内不同声压和质点速度间的传递关系推导了穿孔直通型、穿孔扩张型和穿孔收缩型三种结构的传递矩阵。并由此三种结构构成的消声器，运用传递矩阵法计算出各自的传递损失，与声学有限元分析［8］得到的传递损失进行比较，结果表明数值解耦法和声学有限元法在计算穿孔管消声器传递损失时具有较高的精度，从而验证了数值解耦分析法的有效性和精确性。并且数值解耦法在实际的工程应用中对复杂穿孔管消声器的研究起到一定的指导意义。同时，相对于声学有限元法节约了大量的计算时间，缩短了复杂穿孔管消声器的研发周期。