摘要：从液体静压导轨系统全局的角度出发，研究负载因素对其性能的影响。利用液阻网络理论，综合考虑油液黏温效应，推导关联参数与负载因素之间的数学关系，建立基于关联参数的CFD求解计算模型；在不同负载因素条件下，根据摄动理论，使用Fluent动网格技术求解导轨系统的性能参数，进而研究其在脉冲载荷下的振动性能。研究结果表明：负载因素与初始压力比对导轨系统的性能参数产生影响，当负载比越大时，系统流量、固有频率和最大振幅就越小，同时阻尼与阻尼比就越大；系统刚度则主要随初始压力比增大先增大后降低，出现峰值；作为导轨系统重要设计参数，可以通过调整初始压力比来适应负载因素的变化，以达到更好的系统性能。
关键词：液体静压导轨；负载因素；关联参数；动网格；初始压力比
液体静压导轨以其高精度、高刚度、高阻尼吸振性、低摩擦和长寿命等技术优势，在超精密加工领域获得了越来越广泛应用。在负载作用下，导轨系统的参数及性能会发生联动变化，因此，孤立地研究设计参数对导轨系统性能带来的影响已不能满足导轨系统设计与控制要求。BOUZIDANE等[1−2]从油液特性和油腔结构参数的角度研究了静压支承系统流量、刚度和阻尼等性能参数的变化情况；赵建华等[3]从油膜厚度和油腔压力的角度研究了静压导轨静动态性能指标随参数改变的情况。DU等[4]分析了3种导轨系统的动态模型，经过参数识别与测试实验，发现综合考虑油液可压缩性与惯性效应的质量、刚度、阻尼系统是描述静压导轨的最佳动态模型；高殿荣等[5]从补偿元件的角度，通过对不同PM流量控制器参数下静动态特性进行分析，指出要同时获得较好的静态和动态性能，必须合理选择PM控制器参数；杨小高等[6]研究了基于固定节流的径向滑动轴承静态特性。导轨刚度与阻尼等性能参数的求解方法有：通过建立导轨系统振动模型，从理论上推导出系统的油膜刚度及阻尼系数的计算公式[3]；使用有限差分法，通过求解雷诺方程得到油膜压力分布，对积分后的承载力公式通过泰勒级数展开求解刚度阻尼系数[1−2, 7]；通过动网格技术，依靠在位移扰动与速度扰动下承载力变化的计算来求得静压支承系统的刚度阻尼系数[8]。另外，从油液温度变化与导轨运动速度变化研究黏温效应[9]与动压效应[10]对导轨系统性能的影响也是液体静压导轨的重要研究领域。但从液体静压导轨系统全局的角度出发，利用动网格求解技术考察负载因素对导轨系统性能的影响很少。为此，本文作者在对负载因素与关联参数数学关系分析而建立的CFD计算模型的基础上，研究不同负载因素下导轨系统基本性能参数及其在脉冲载荷下的性能；通过仿真分析与实验结果对比证实模型的有效性，以便为静压导轨系统初始设计参数的选取提供理论参考。
1 液体静压导轨系统分析建模
1.1 静压导轨系统原理与负载因素分析
图1所示为液体静压导轨系统原理图。图1中：f(t)为加工力载荷，Ps为供油压力，Pr为油腔压力，Rg为进油液阻，Rh为出油液阻，h为油膜厚度。润滑油液由液压泵泵出，经过毛细管节流器进入油腔，在导轨与溜板之间形成油膜，以抵抗溜板与工件重力和外载荷作用，属于毛细管节流器补偿的恒压供油式液体静压导轨。
该液体静压导轨为矩形油腔，其具体结构参数如图2所示。图2中：L为油垫总长度，B为油垫总宽度，l为油腔内长，b为油腔内宽，l1为封油边长度，b1为封油边宽度。
静压导轨在工作过程中主要受到的载荷有：固定重力(导轨溜板)、可变重力(工件与夹具)以及切削力载荷。将其前2项定义为负载因素。
图1 液体静压导轨系统原理图
Fig. 1 Scheme of hydrostatic guideway system
图2 矩形油腔结构图
Fig. 2 Structure of rectangle oil pocket
(1)式中：F为静压导轨总负载，N；M为导轨溜板质量，kg；m为工件与夹具质量，kg；g为重力加速度，m/s2。文献[3]只对导轨在初始设计状态下进行了计算，即只考虑导轨溜板重力，而忽略了工件与夹具重力。实际上，可变重力对导轨系统性能参数产生影响。定义负载比
为总质量与固定质量(导轨溜板)之比，以定量表征负载因素。
(2)
初始压力比
是静压导轨系统重要的初始设计参数，其定义为初始设计状态下油腔压力
与供油压力
之比。调节可改变。
(3)
(4)
式中：Ae为油腔有效承载面积，m2。
根据油路液阻网络理论[11]，液体静压导轨系统有如下关系：
(5)
(6)
对于毛细管节流器，进油液阻Rg表达式为
(7)对于矩形油腔，出油液阻Rh表达式为
(8)
由式(5)~(8)可以求得任意负载下油膜厚度：
(9)式中：Q为润滑油流量，m3/s；
为润滑油黏度，Pa∙s；lc为毛细管长度，m；dc为毛细管直径，m。
从式(6)~(9)可以看出：在考虑导轨负载因素时，油腔压力Pr与油膜厚度h均是负载比的函数，因此，应深入研究这些参数之间的内在数学关系。
1.2 负载因素与关联参数关系
对于同一个液体静压导轨系统，当负载比确定时，油腔压力Pr与油膜厚度h也确定，此时，这3个参数构成一组关联参数A：
(10)在初始设计状态下，此时只考虑导轨溜板质量，忽略工件重量，负载比为1，相应地，油腔压力为Pr0，油膜厚度为h0。分别定义负载因素下的量纲一参数油腔压力比
与油膜厚度比
，可得：
(11)
(12)量纲一参数便于表征导轨系统的相对状态，同样，这3个量纲一参数也可构成一组关联参数B：
(13)
在液体静压导轨系统中，油液流经出油液阻Rh会导致温升，进而影响油液黏度并导致关联参数数学模型发生变化。假使这一过程为绝热过程，即出油液阻Rh处发热均被流经油液吸收，则根据热平衡理 论[12]可得：
(14)
(15)
式中：
为油液温升，K；为润滑油密度，kg/m3；c为油液比热容，J/(kg·K)；k为半经验常数，k=0.6。静压导轨选用矿物润滑油，其黏度随温度上升而剧烈下降，两者之间呈指数级关系[13]：
(16)式中：n和r均为黏温关系曲线拟合常数，n= 3.566 5×1031；r=−13.228 38；T0为环境温度，K。
同样地，在初始设计状态即负载比为1时，润滑油黏度为
，定义负载因素下量纲一参数为黏度比。
(17) (18)
在考虑油液温度与黏度变化时，油膜厚度h关系式可进一步描述为：
(19)
(20)
由式(19)可知：油膜厚度h不是关于黏度的函数，即油膜温度与黏度不会对油膜厚度h产生影响。但在对油膜进行流场分析时，油液黏度的变化是不可忽略的，此时，负载比、油腔压力Pr、油膜厚度h和油液黏度构成一组关联参数：
(21)
同理，负载比、油腔压力比、油膜厚度比与黏度比也构成了一组量纲一化的关联参数：
= (22)
从式(21)与式(22)可知：关联参数组
与不仅是负载比的函数，而且主要与4类参数有关，即：基础参数，如供油压力Ps、导轨溜板质量M和环境温度T0；导轨系统结构参数，如Ae，dc，lc与Ab；油液参数，如与c；常数，如n，r，k，
与g。
1.3 关联参数下的计算模型
基于动网格技术的导轨性能参数计算方法是在计算流体动力学(computational fluid dynamics，CFD)软件Fluent的基础上，采用自定义程序实现导轨间隙扰动功能，结合差分计算模型，计算导轨油膜性能参数的一种新方法[8]。但文献[8]并未从整个系统的角度来考虑因负载因素变化所导致关联参数的联动效应，进而影响计算模型质量。
当静压导轨在某一负载因素下的平衡位置受到小扰动作用(位移扰动与速度扰动)时，油膜力会发生变化。根据摄动理论，对油膜力进行一阶泰勒级数线性化处理，油膜力变化与位移扰动和速度扰动之间的关系[14]可以表达为
(23)式中：为油膜力的变化，N；
为负载因素作用下的刚度，N/m；为负载因素作用下的阻尼，N·s/m；
为位移扰动，m；
为速度扰动，m/s。这样，在任一关联参数
下，导轨系统刚度与阻尼计算式为
， (24)
求解式(24)的关键是要解决3个技术问题：1) 建立应用关联参数的数学模型；2) 基于动网格技术施加小扰动并界定扰动范围；3) 求解计算模型得到油膜压力分布与油膜力。
首先，关联参数需运用于计算模型中。其中，油膜厚度h决定了流场三维模型的结构，油液黏度
决定了油液的参数，油腔压力Pr决定了模型的边界条件。由于关联参数是负载比的函数，因此，不同的负载因素就会导致计算模型完全不同。关联参数与计算模型的关系如图3所示。
图3 关联参数与计算模型关系图
Fig. 3 Relationship between correlation parameters and computational model
其次，在位移扰动与速度扰动情况下，油膜几何形状随时间发生变化，必须引入动网格技术进行处理，此时，油膜与溜板之间的边界层网格与油膜内部网格均产生变形。油膜网格运动的计算模型采用基于线性假设的弹性光顺Smoothing模型，其核心思想是基于胡克定律，网格线类似于弹簧，两端节点作弹性移动的网格运动方式。油膜厚度扰动程序建立在Fluent软件提供的用户自定义函数(user define function，UDF)基础上，其功能通过宏DEFINE_PROFILE实现[15]：
((BOTTOMWALL_profile 2 point)
(time 0 t)
(v_z vh vh))
在该UDF程序中，t为网格运动终结时间，v_z为z向网格运动速度，vh为指油膜厚度网格运动速度。参照熊万里等[8]提出的原则，即通过对比研究动网格瞬态计算和稳态计算在平衡点的变化，分析位移扰动与速度扰度对油膜力的影响，进而界定其取值范围。
对于位移扰动：vh≤1 μm/s；vh∙t≤0.2 μm。
对于速度扰动：vh≥0.1 mm/s；vh∙t≤0.2 μm。
最后，在用SolidWorks建立的三维油膜模型文件x_t基础上，采用前处理软件ICEM CFD划分网格，油膜厚度方向网格为10层。采用Fluent软件求解模型，不同负载因素下的参数取值自关联参数。经过迭代数值计算，便可获得流场分布：
(25)式中：
为油膜xy面上的压力，Pa；W为油膜力，N。由上述动网格瞬态计算过程最终可求得关联参数下的油膜刚度与阻尼系数，另外还可求得系统流量Q：
(26)
式中：
和分别为油膜xy和yz方向的速度，m/s。
2 负载对导轨系统性能参数的影响
为了定量地分析负载因素对系统性能参数的影响规律，以某精密机械研究所超精密加工系统静压导轨油垫为例进行分析。其基本参数见表1。
表1 静压导轨系统基本参数
Table 1 Parameters of hydrostatic guideway system
除了表1所列举的基本参数外，导轨系统还有一些基础参数，如供油压力Ps=2.5 MPa，导轨溜板质量M=500 kg，环境温度T0=293 K，初始状态润滑油黏度=0.03 Pa·s。基础参数可在上述数值附近变化，并配合初始压力比
来研究其对不同负载因素下导轨系统性能参数的影响以及其合理取值。
2.1 负载因素对关联参数的影响
关联参数是影响计算模型的重要参数，并且随负载因素变化而变化，因此，定量地研究负载因素对量纲一化关联参数的影响水平是研究系统性能参数的基础。
图4所示为量纲一化关联参数随负载因素的变化关系。从图4可见：油腔压力比与负载比呈线性关系，随负载比增大而增大。这是由于油腔压力取决于负载，负载变化是油腔压力变化的原因。油液黏度比随增大而变大，但受负载比取值范围所限，温升也较小，油液黏度比变化也较小，约增大3.04%，因此，图4中曲线呈近似直线变化。油膜厚度比变化曲线因初始压力比取值不同而不同，但均随负载比增大而减小，所以，除了负载比以外，初始压力比也是导轨系统的重要参数，在研究导轨性能时必须予以考虑，确定较佳的取值。
2.2 负载因素对性能参数影响分析
流量Q、油膜刚度与阻尼是导轨系统的重要性能参数。研究不同负载因素与初始压力比对性能参数的影响，不仅能够更清晰地分析性能参数随负载比的变化规律，而且能为确定初始压力比的合理取值空间提供理论依据。图5所示为流量Q随负载比和初始压力比的变化曲线。从图5可以看出：不同负载比下的流量均随初始压力比的增大而减小，近似呈线性关系，且在不同处流量最终减为0 m3/s，这是由于关联参数中的油膜厚度h已经为0 m，达到了承载极限。当为某定值时，越大，Q越小。这是由于较大时，油膜厚度h较小，出油液阻较大，因而流量Q较小。
归一化关联参数：1—；2—；3—
；4—；5—
。
图4 量纲一化关联参数随负载比变化曲线
Fig. 4 Relationship between non-dimensional correlation parameters and load ratio
负载比
：1—1.0；2—1.1；3—1.2；4—1.3；5—1.4；6—1.5。
图5 流量与初始压力比的关系
Fig. 5 Relationship between flow rateand initial pressure ratio
图5中流量Q降为0 m3/s时的初始压力比对系统设计具有参考价值，当小于该数值时，设计才有意义。当=1.0时，≤1；当=1.1时，≤0.91；当=1.2时，≤0.83；当=1.3时，≤0.77；当=1.4时，≤0.71；当=1.5时，≤0.67。
图6所示为导轨系统刚度K随负载比和初始压力比的变化曲线。从图6可以看出：不同负载比下的刚度随初始压力比呈现出不同的变化规律，它们都有一个共同的特征，就是在某一个处存在1个最优刚度。当=1.0时，最优为0.67，这与文献[1]用理论分析所得到的结论近似。不同下最大刚度虽对应的有所不同，但最大刚度相同，均为1 545 N/μm。最大刚度时与对应关系如下：当=1.0时，=0.67；当=1.1时，=0.61；当=1.2时，=0.56；当=1.3时，=0.52；当=1.4时，=0.48；当=1.5时，=0.45。
负载比：1—1.0；2—1.1；3—1.2；4—1.3；5—1.4；6—1.5。
图6 刚度与初始压力比的关系
Fig. 6 Relationship between stiffness and initial pressure ratio
负载比：1—1.0；2—1.1；3—1.2；4—1.3；5—1.4；6—1.5。
图7 阻尼与初始压力比的关系
Fig. 7 Relationship between damping and initial pressure ratio
图7所示为导轨系统阻尼C随负载比和初始压力比变化的曲线。从图7可以看出：当变化时，随着增加，不同时的阻尼C均会增大，且增大速度越来越快，呈近似指数关系。为了便于比较，阻尼C采用对数坐标。因此，从增大阻尼的角度来考虑，初始压力比应越大越好。因此，系统刚度与阻尼对初始压力比的需求并不一致，还需要进一步分析在脉冲载荷下负载因素对系统振动性能的影响规律与初始压力比的合理取值范围。
3 负载因素对系统振动性能的影响
液体静压导轨的油膜相当于带有阻尼的液体弹簧，其主动振动等效模型如图8所示。
(a) 物理模型；(b) 力学模型
图8 静压导轨系统等效振动模型
Fig. 8 Equivalent vibration model of hydrostatic guideway system
图8中，导轨系统简化为1个单自由度的质量−刚度−阻尼系统。假设作用在液体静压导轨上的载荷为脉冲载荷，此时考虑负载因素的系统振动模型为：
(27)
(28)
式中：为单位脉冲信号，
(29)由式(27)~(29)可以得出导轨系统的动态响应方程为
(30)
式中：Am为导轨系统最大振幅；
为有阻尼固有频率；为无阻尼固有频率；为阻尼比。导轨系统振动性能指标表达式如下：
(31)
(32)
(33)
(34)由式(31)~(34)可以看出：导轨系统的振动性能指标均与系统的基本性能参数如质量、刚度与阻尼有关。而这些参数又与负载比和初始压力比有关，因此，研究负载比和初始压力比对系统性能指标的影响是必要的。图9所示为导轨系统阻尼比 随负载比和初始压力比的变化曲线。从图9可以看出：在任意负载比下，初始压力比越大，阻尼比就越大；在某一特定下，负载比越大，就越大。阻尼比是表征振动过程中振幅衰减速度的重要物理量，因此，具有较大的初始压力比或较大的负载比的系统就会有较快的衰减速度。
图10所示为导轨系统有阻尼固有频率随负载比和初始压力比的变化曲线。从图10可以看出：在任意负载比下，有阻尼固有频率都会先增大，后减小为0 Hz；在为0.27时，固有频率最大，达5 792 Hz。结合图9与图10可以看出：阻尼比为1时为临界阻尼状态，此时，对应的固有频率为0 Hz；当处于＞1的过阻尼状态时，频率依然为0 Hz；当=1时，(,)分别为(1.0，0.91)，(1.1，0.84)，(1.2，0.76)，(1.3，0.71)，(1.4，0.66)和(1.5,0.61)。另外，假如激振力f(t)为一谐波信号，其激振频率为，此时应调整初始压力比，使得频率远离激振频率为，避免共振发生。
负载比
：1—1.0；2—1.1；3—1.2；4—1.3；5—1.4；6—1.5。
图9 阻尼比与初始压力比的关系
Fig. 9 Relationship between damping ratio and initial pressure ratio
负载比：1—1.0；2—1.1；3—1.2；4—1.3；5—1.4；6—1.5。
图10 固有频率与初始压力比的关系
Fig. 10 Relationship between natural frequency and initial pressure ratio
图11所示为导轨系统最大振幅Am随负载比和初始压力比的变化曲线。从图11可以看出：在欠阻尼状态时，在任意负载比下，初始压力比越大，最大振幅Am越小；在过阻尼状态下，越大，Am也越大。因此，需要选择1个合理的初始压力比，使得最大振幅Am处于较小状态。
负载比：1—1.0；2—1.1；3—1.2；4—1.3；5—1.4；6—1.5。
图11 最大振幅与初始压力比的关系
Fig. 11 Relationship between the maximum amplitude and initial pressure ratio
当负载比改变时，可以通过调节初始设计参数初始压力比来改变性能参数(流量Q、刚度K、阻尼C、阻尼比、有阻尼固有频率、最大振幅Am)。但这些性能参数分别达到最优时对应着不同的，因此，可以结合文中的方法，针对自身导轨系统所要达到的性能调整。
4 实验研究
实验平台在中国航空工业集团北京航空精密机械研究所国防科技重点预研项目即“Nanosys−300 非球面超精密加工系统”的基础上改造而成。给导轨施加脉冲载荷，利用LK-G80激光位移传感器来测量导轨运动，并通过数据采集卡将数据传递到计算机中。另外，可以通过改变工件或夹具质量改变负载比，调整溢流阀压力、调节初始压力比的方式来得到导轨不同工作状态下的振动响应。
表2所示为在导轨不同工作状态下有阻尼固有频率与最大振幅Am的实验值与数值解比较。由于有阻尼固有频率与最大振幅Am是其他所有性能参数与指标的函数，因此，用实验方法证实与Am的正确性便可证明本文观点与研究方法的正确性。
表2 导轨不同工作状态下
与Am实验值与数值解比较
Table 2 Comparison between test and computational value of and Amunder different working conditions of guideway
表2中将3种负载比(1.0,1.2,1.5)与初始压力比(0.4,0.5,0.6)作为工作参数。从表2可以看出：在导轨系统各种工作状态下，数值解均能较好地与实验值相符合，相对误差维持在0.74%~1.44%。其差异是由于在导轨油膜流场数值模拟过程中，忽略了油液惯性力与黏压效应。实验结果证实了本文研究方法及结果的正确性。
5 结论
1) 负载比、油腔压力
、油膜厚度h与油液黏度构成一组关联参数，需综合考虑建立计算 模型。
2) 负载因素对导轨系统性能参数产生较大影响：若负载比越大，则流量Q越小，阻尼C越大，刚度K则在不同初始压力比下达到峰值1 545 N/μm。
3) 负载因素对导轨振动性能的影响通过对刚度与阻尼系数的影响来实现。负载比越大，阻尼比就越大，固有频率就越小，最大振动幅值Am也 越小。
4) 初始压力比是静压导轨系统重要设计参数。当负载因素发生变化时，可通过改变初始压力比使系统性能更优。因此，需要具体分析导轨系统特点来调整初始压力比。
