径向球塞液压马达广义椭圆定子曲线导轨的建模与性能分析

径向球塞式液压马达作为液压系统执行元件广泛运用于工程机械[1-2]。精确获取径向液压马达定子导轨曲线是径向液压马达建模的核心技术之一，不同厂家生产的径向液压马达导轨曲线不同，液压马达生产厂家往往将导轨曲线技术作为核心技术并对外保密[3-4]。目前市场上成熟且公开的等加速等减速曲线，转子运行过程中，始终存在着较大的柔性冲击问题，作为研究热点的等接触应力曲线某些性能优异，但是曲线绘制通常采用曲线拟合的办法，形式复杂，在实际加工中达不到要求精度而未得到广泛应用[5-6]。功能优异的椭圆曲线导轨已经运用于液压泵[7]，观察椭圆曲线，发现同时改变长半轴、短半轴的变化频率，可以得到一系列新型的径向球塞液压马达定子导轨曲线，该曲线为一条简单、连续、封闭且高次可导的周期性曲线，同时该类型导轨曲线由特定方程生成，绘制便捷，可解决内曲线马达的内部冲击问题[8-9]。对那些曲线来源进行探究，发现都可以由一个广义椭圆曲线方程生成，在Matlab中运行，可得到该曲线精确数据，导入到SolidWorks中进行三维建模，根据模型数据编写可用于机床加工的数控程序代码，从而加工出导轨实体[10]。

1 广义椭圆定子曲线导轨的建模

1.1 曲线的理论基础

观察液压泵中优异的椭圆导轨曲线，其曲线可由2个对称的波形线构成，改变椭圆曲线中的长半轴、短半轴的变化频率，可以得到3～6个等数值的对称波形线，径向球塞液压马达导轨通常需要5～10个对称的波形线[11]。获取广义椭圆球塞马达钢球运行的轨迹曲线(广义椭圆方程曲线)过程如下。在椭圆极坐标方程中，一动点在椭圆轨迹上运动，有极径

(1)

式中：a为椭圆短半轴；b为椭圆长半轴；θ为椭圆转角，则椭圆上任意点(x，y)有

(2)

当椭圆方程曲线长半轴、短半轴同时改变变化频率时，得到的新型曲线可以用广义椭圆极坐标方程生成。

在广义椭圆极坐标方程中，一动点在广义椭圆轨迹上运动，有极径

(3)

式中：a1为广义椭圆短半轴；b1为广义椭圆长半轴；θ1为广义椭圆转角；n为广义椭圆作用次数，即曲线波形线个数，当n=2时，广义椭圆极坐标方程对应标准椭圆极坐标方程。

则广义椭圆极坐标方程上任意点(x1，y1)有

(4)

分析式(3)，该方程曲线为一条简单、连续、封闭且高次可导的周期性曲线，可解决内曲线马达内部柔性冲击问题。

1.2 曲线数据的获取

由于式(3)中的曲线无法在SolidWorks绘图软件中使用常规绘图指令绘出，可以先在Matlab中获取曲线数据，然后在SolidWorks中加载出该曲线数据得到所需曲线。

为使径向球塞液压马达的钢球有较大行程和作用次数，从而使液压马达获得较大的输出扭矩，同时避免使钢球通过尖角(长半轴、短半轴)处因过切而发生“卡死”现象的问题，通常n取值为5～12的整数，且有

(5)

取式(3)中a1的数值为48.5 mm，b1的数值为53 mm，n=6，代入Matlab中运行得到曲线数据向量Z，界面如图1所示。

图1 获取曲线数据的Matlab界面
Fig.1 Obtain curve data interface in Matlab

将向量Z数据保存为text文件，向量Z的数据即为图1中径向球塞液压马达广义椭圆定子导轨曲线数据。

1.3 导轨的三维建模过程

打开SolidWorks软件，点击“曲线”命令，选择“通过XYZ点的曲线”，界面如图2所示。

图2 在SolidWorks中点击“曲线”指令
Fig.2 Click on the "curve" instruction in SolidWorks

在弹出的“曲线文件”窗口选择中，点击“浏览”，双击向量Z，将曲线数据加载到SolidWorks中，界面如图3所示。

图3 在SolidWorks中加载曲线数据
Fig.3 Load curve data in SolidWorks

点击向量Z文件，则广义椭圆定子导轨曲线数据加载到SolidWorks中，并且加载出了广义椭圆定子导轨曲线如图4所示。

点击“确定”，广义椭圆定子导轨曲线则准确地绘制在SolidWorks界面中，如图4所示，值得注意的是Matlab的数值导入到SolidWorks中的单位是mm。曲线轨迹为球塞中心轨迹，在曲线的垂直面进行草图绘制，在广义椭圆定子导轨曲线的短半轴处向曲线外侧做一条长6 mm的法线，在法线端点处作其长35 mm的垂直线，继续做线构成封闭的矩形，用此广义椭圆定子导轨曲线作为路径和此矩形作为轮廓进行扫描切除，得到的径向球塞马达广义椭圆定子曲线导轨模型如图5所示。

改变式(3)中n的数值，同时保持a1、b1数值不变，可得到一系列同类型的径向球塞马达广义椭圆定子曲线导轨如图6所示。

图4 在SolidWorks加载出所需曲线
Fig.4 Load the required curve in SolidWorks

图5 三维径向球塞液压马达广义椭圆定子曲线导轨模型
Fig.5 Radial ball plug hydraulic motor general elliptical stator curve rail model built

(a) n=2(b) n=4(c) n=5

(d) n=6(e) n=8(f) n=9
图6 n取不同值时的广义椭圆定子曲线导轨
Fig.6 n take different values of general elliptical stator curve of orbit

1.4 导轨建模的应用

在SolidWorks中获取图5模型后，根据模型数据可编写定子曲线导轨的数控程序代码后，在四轴数控铣床中加工出的径向球塞液压马达广义椭圆定子曲线导轨实体如图7所示，该曲线导轨实体可在液压力作用下引导半径为6 mm的钢球在式(3)中n=6,a1=48.5 mm,b1=53 mm的广义椭圆曲线方程轨迹中运行，可进行后续的动力学性能实验分析。

广义椭圆定子导轨数据曲线轨迹，完成曲线轨迹的加工，根据实际生产需要，对尖点处进行了过渡区线的加工，得到径向球塞马达广义椭圆定子曲线导轨实体如图7[9]，可进行后续的动力学性能实验分析。

图7 数控铣床中加工出的径向球塞液压马达
广义椭圆定子曲线导轨实体
Fig.7 CNC milling machine processing of radial ball plug in hydraulic motor general elliptical stator curve orbit entities

2 方程参数对该类型球塞液压马达的性能影响

采用广义椭圆曲线导轨的液压马达结构图如图7所示，采用了图6中n=6时的径向球塞马达广义椭圆定子曲线导轨，主要由零件定子1、钢球2、球塞3、转子4、配流轴5组成。由图6定子曲线可知，n的数值即为广义椭圆定子导轨曲线球塞马达的长、短半轴个数，即作用次数(对称的波形线个数)为n。一个钢球紧贴定子内壁运行一圈过程，一个钢球每经历一次由短半轴到长半轴再到短半轴的变化，可以完成一次压、排油过程。其中压油过程(钢球从短半轴运行到长半轴)，高压油通过压油腔为钢球底部提供推力，使钢球顶部挤压定子内壁，定子内壁对钢球的反作用力N可以分解为与钢球底部液压推力相平衡的径向力F和切向力T，切向力T乘以ρ1即为一个钢球所提供的扭矩，所有处于压油过程的钢球产生的扭矩累加即为瞬时扭矩，共同推动转子运动；排油过程(钢球从长半轴运行到短半轴)，钢球底部的低压油从排油腔排出，钢球通过惯性作用继续运转。

由图8液压马达结构及工作过程可知，n值的增大可以增加马达的作用次数，增加马达的排量，在不计摩擦及泄漏的情况下，广义马达工作过程中输出的平均扭矩为

(6)

式中：Δp为压油腔与排油腔的油压差，MPa；V为广义椭圆定子导轨曲线径向球塞马达流量，mL·r-1；s为广义椭圆定子曲线导轨球塞马达钢球的行程，mm；且有s=b1-a1，r为钢球半径，mm；n为广义椭圆定子曲线径向马达作用数；z为钢球个数。在有限的容积下分析式(6)，马达工作过程中输出的平均扭矩与n的数值及行程成正比关系，在追求液压马达大扭矩的情况下，可以增加n的数值以及行程，但是随着数值n的增加，广义椭圆曲线导轨加工难度增加，且钢球在通过尖角时，在尖角处产生过切现象的概率增加，n和行程增加到一定数值时，会使液压马达因钢球“卡死”而停止工作，因此n通常取5～12的整数值，a1与b1的数值关系为

1.定子;2.钢球;3.球塞;4.转子;5.配流轴。
图8 采用广义椭圆定子曲线导轨的球塞液压马达结构
Fig.8 Hydraulic motor structure using generalized elliptical stator curve orbit ball

3 结论

1) 同时改变椭圆方程导轨曲线长半轴、短半轴的变化频率，可以得到一系列适用于液压马达的定子导轨曲线，可以用一个广义椭圆曲线方程生成，该曲线为一条简单、连续、封闭且高次可导的周期性曲线，可解决内曲线马达的内部冲击问题。

2) 径向球塞液压马达广义椭圆定子导轨曲线的绘制，相应的定子曲线导轨建模与加工在实践中的实现，为机械加工行业加工径向球塞液压马达定子曲线导轨提供了一条新路径。

3) 为使采用广义椭圆定子曲线导轨球塞液压马达获得优异的性能，广义椭圆定子曲线导轨的作用次数n通常取值为5～12的整数，长、短半轴数值数值关系有