摘 要：针对井下巷道围岩表面不平整，锚杆尾部受拉、扭、弯组合应力而发生破断的现象，采用理论分析和数值模拟的方法，研究了不同球形垫圈对锚杆尾部受力的影响，分析了托盘与球形垫圈之间夹角θ、摩擦系数μ对锚杆尾部受力和变形的影响，得出球形垫圈可以很好的改善锚杆尾部的受力。预紧力为30kN，锚杆弯曲时，使用球垫的锚杆尾部受力比不使用球垫的锚杆尾部受力降低了66%；球形垫圈与托盘球窝之间夹角θ越大、摩擦系数μ越小，锚杆尾部弯曲角度越小；夹角θ取30°时，球垫调心范围最大。
关键词：ANSYS；球形垫圈；偏心载荷；锚杆；矿井支护
随着矿井开采强度与深度的不断增加，井下支护难度越来越大，要求锚杆充分发挥其高强支护作用[1，2]。在预应力高强度锚杆的支护过程中，通过观察现场发生断裂的锚杆，发现锚杆的破断大部分发生在锚杆尾部，这是由于锚杆尾部受拉、扭、弯三种组合应力的作用[3，4]。
针对上述情况，前人提出偏心载荷对锚杆尾部起到十分不利的影响，应尽量避免锚杆发生弯曲，提出玻璃钢锚杆尾部应采取压痕式锚尾结构[5，6]。
但并未研究在使用球形垫圈情况下，锚杆尾部的受力状态[7] ，以及球形垫圈在锚杆安装初期和围岩变形两个时期的调心原理及调心效果。因此，为了减少锚杆尾部的弯曲变形，这就要求锚杆尾部螺母与托盘之间的球形垫圈充分发挥其调心作用[8，9]，使得锚杆在发生较小的弯曲情况下，钢带能完全贴紧岩面。由于煤矿井下开挖巷道的表面大都不平整，使得井下大部分锚杆的安装处于以下状态，如图1所示。
图1 巷道表面不平整的锚杆安装情况
1 理论分析
岩面不平整时，如图1所示，对锚杆施加预紧力，锚杆托盘会围绕球形垫圈发生旋转。在锚杆托盘尺寸一定的情况下，不同球形垫圈所允许的旋转角度不同，即调心范围不同。当锚杆托盘旋转一定角度后，托盘会卡住螺母或者锚杆。为了充分发挥球形垫圈的调心作用，应使托盘旋转一定角度后，同时卡住锚杆和螺母。锚杆托盘与球形垫圈之间位置关系，简化为图2所示。
图2 托盘与球形垫圈的位置关系
图2中Dt为锚杆托盘球窝直径，一般取38mm；Dm为锚杆直径，取22mm；R为球形垫圈半径，mm。
根据图2中几何关系可知：
(1)
(2)
式中，θ为锚杆托盘与球形垫圈未发生相对旋转时的安装角度，(°)。根据式(1)、(2)可以计算出，球形垫圈直径R为22mm，安装角度θ为30°。因此，球形垫圈直径为22mm时，锚杆托盘围绕垫圈的旋转角度最大，即垫圈的调心范围最大。由于锚杆托盘有一定的厚度，球形垫圈最大调心角度为θ-β，如图3所示。
图3 球形垫圈最大调心范围示意图
根据现场使用情况，锚杆托盘厚度大部分采用10mm，由图3几何关系可知：tanβ=5/R，其中R=22mm。由此可得：β=12.8°。
由理论计算可知，锚杆托盘球窝直径为38mm，托盘厚度为10mm时，应采用半径为22mm的球形垫圈，其调心范围最大，且最大调心角度为17.2°。
2 数值模拟
数值模拟采用ANSYS软件[10-14]，主要是为了研究一下三个方面：①巷道不平整时，采用球形垫圈能否改善锚杆尾部受力；②不同直径的球形垫圈对锚杆尾部弯曲角度的影响；③球形垫圈与托盘之间不同摩擦系数对锚杆尾部弯曲角度的影响。
2.1 数值模型建立
为了模拟在不平整岩面下锚杆尾部的受力特征，需建立以下几个数值模型：不平整岩面、W钢带、锚杆托盘、球形垫圈和锚杆尾部杆体。各模型如图4所示。
图4 模型构件及配合关系图
各模型的材料设置为各向同性，弹性模量取E=200GPa，泊松比μ=0.26，剪切模量G=10000MPa，考虑材料的非线性，材料强化采用双线性等向强化BISO准则。模型均采用单元类型为solid95单元，模型内部划分为四面体网；建立的接触对全部为对称接触，接触面单元类型分别取Targe170单元和Contac174单元。
2.2 有无球形垫圈对锚杆尾部受力的影响
通过ANSYS模拟有无球形垫圈对锚杆尾部受力的影响，为了使用同一模型模拟不使用球形垫圈的情况，将球形垫圈与托盘球窝之间建立绑定的接触面，即两者之间没有相对滑动。
为了研究球形垫圈的作用，主要进行以下三种模拟方案：①巷道表面为平整岩面，锚杆未发生弯曲；②巷道表面不平整，球形垫圈发挥调心作用；③巷道表面不平整，球形垫圈与托盘球窝之间建立绑定接触面，其未发挥调心作用。模型如图5所示。
图5 受力模型
由于锚杆弯曲后使得锚杆杆体局部发生应力集中，并且应力集中的区域大多发生在锚杆尾部即螺母与螺纹联接段。因此在对锚杆进行受力分析时，主要考虑锚杆尾部螺纹联接段处附近的锚杆杆体受力。图5(b)托盘与球形垫圈之间建立了可移动摩擦面，便于模拟调心垫圈发挥调心作用的情况，图5(c)托盘与球形垫圈之间建立了绑定摩擦面，两者之间不能发生相对移动，便于模拟不适用球形垫圈的情况。
对锚杆逐渐施加0kN到30kN的锚杆轴向力，每增加1kN记录一次锚杆杆体存在应力集中处的受力，从而得到模型的变形和锚杆轴向力与应力集中处的曲线图，如图6所示。
图6 锚杆轴向力与应力曲线图
由图6可知：
1)锚杆未弯曲时，锚杆杆体轴向力与应力呈线性关系；锚杆发生弯曲后，随着锚杆弯曲角度的逐渐增加，锚杆杆体受力先是缓慢增加，然后急剧增加。
2)球形垫圈发挥调心作用时，锚杆杆体的受力比未弯曲的锚杆受力增加了58.6%；球形垫圈没有发挥调心作用时，锚杆杆体的受力比未弯曲的锚杆受力增加了124.6%。
由于球形垫圈的作用，锚杆杆体的受力减小了66%。由此可知，锚杆尾部安装球形垫圈后，并不会避免锚杆发生应力集中现象，但是会减少锚杆产生应力集中的程度。
2.3 不同尺寸球形垫圈对锚杆尾部变形特征的影响
根据井下情况，球形垫圈与托盘球窝之间的夹角差异性较大，夹角从十几度到几十度不等，且调心效果各有不同。根据理论计算可知，球形垫圈与托盘球窝之间的夹角θ范围为0°～60°，其中夹角为30°时球形垫圈的调心范围最大，角度过大或过小都会影响球形垫圈的调心范围，但是角度大小与球形垫圈调心难易程度之间的关系尚未确定。因此，为了更好地研究角度与球形垫圈调心性能的关系，主要分以下3种不同的角度：30°、45°和60°，三种不同角度的模拟模型，如图7所示。
图7 不同的球形垫圈与托盘球窝之间的角度
当锚杆弯曲一定角度后，无论球形垫圈与托盘之间的角度为多少，球形垫圈都会起到调心作用。为了进一步研究不同的夹角对球形垫圈调心效果的影响，在模拟过程中记录锚杆弯曲角度、托盘旋转角度和球形垫圈调的角度三者与锚杆轴向力的关系，如图8所示。
图8 不同θ角下锚杆轴向力与弯曲角度曲线图
由图8可知：
1)当锚杆发生一定的弯曲角度时，球形垫圈才开始发挥其调心作用。θ角为30°时，锚杆弯曲2°36′球形垫圈开始发挥其调心作用；θ角为45°时，锚杆弯曲2°18′球形垫圈开始发挥其调心作用；θ角为60°时，锚杆弯曲1°24′球形垫圈开始发挥其调心作用。因此，球形垫圈与球窝之间的夹角θ越大，托盘与球垫开始旋转时，锚杆弯曲角度越小。
2)球形垫圈与托盘球窝之间的夹角不同时，球形垫圈所发挥的调心效果不同。θ角为30°时，锚杆最终的弯曲角度为3°30′；θ角为45°时，锚杆最终的弯曲角度为2°54′；θ角为60°时，锚杆最终的弯曲角度为2°30′。因此，球形垫圈与球窝之间的夹角θ越大，锚杆最终的弯曲角度越小。
2.4 球形垫圈与托盘之间不同摩擦系数对锚杆尾部变形特征的影响
由于球形垫圈与托盘之间无润滑情况下的静摩擦系数为0.3，动摩擦系数为0.18。但是由于球形垫与托盘球窝的加工工艺的影响，使得两者之间的静摩擦系数可能大于0.3。为了更全面的研究球形垫圈与托盘球窝之间摩擦系数对球形垫圈调心效果的影响，现将球形垫圈与球窝之间的摩擦系数分别设置为以下3种情况：摩擦系数为0.18、摩擦系数为0.3和摩擦系数为0.4。为了得到球形垫圈与球窝之间的摩擦系数对球形垫圈调心效果的影响，模拟过程中其他条件保持不变，球形垫圈与托盘球窝之间角度为30°。三种不同球形垫圈与托盘之间的摩擦系数所对应的角度与锚杆轴向力的关系，如图9所示。
图9 不同摩擦系数下角度与锚杆轴向力的关系
由图9可知：
1)球形垫圈与托盘之间摩擦系数不同时，球形垫圈开始发挥调心作用时锚杆弯曲的角度不同。摩擦系数越小，球形垫圈开始发挥调心作用时锚杆弯曲的角度越小。当球形垫圈与球窝之间的摩擦系数为0.18时，球形垫圈开始发挥调心作用时锚杆弯曲的角度为1°29′；当球形垫圈与球窝之间的摩擦系数为0.3时，球形垫圈开始发挥调心作用时锚杆弯曲的角度为2°36′；当球形垫圈与球窝之间的摩擦系数为0.4时，球形垫圈开始发挥调心作用时锚杆弯曲的角度为3°21′。
2)当锚杆轴向力达到30kN时，球形垫圈与托盘之间摩擦系数不同，锚杆最终的弯曲角度也不相同，摩擦系数越小，锚杆最终的弯曲角度越小。当球形垫圈与球窝之间的摩擦系数为0.18时，锚杆最终的弯曲角度为1°51′；当球形垫圈与球窝之间的摩擦系数为0.3时，锚杆最终的弯曲角度为3°12′；当球形垫圈与球窝之间的摩擦系数为0.4时，锚杆最终的弯曲角度为3°56′。
3)在锚杆轴向力从0kN到30kN的逐渐增加的过程中，球形垫圈与球窝之间摩擦系数为0.3时，球形垫圈的调心角度比摩擦系数为0.18时，锚杆弯曲角度增加了73.0%；球形垫圈与球窝之间摩擦系数为0.4时，球形垫圈的调心角度比摩擦系数为0.18时，锚杆弯曲角度增加了112.6%；球垫与球窝之间摩擦系数每增加0.1，锚杆弯曲角度平均增加56%。
3 结 论
1)锚杆尾部安装球形垫圈可以明显改善杆体尾部的受力状态，在锚杆受弯曲载荷的情况下，使用球形垫圈的锚杆尾部受力比不使用球形垫圈的锚杆尾部受力降低了66%。
2)锚杆受弯曲载荷时，球形垫圈与托盘球窝之间的夹角θ越大、摩擦系数μ越小越有利于球形垫圈发挥调心作用，降低锚杆的弯曲角度。
3)综合考虑球形垫圈的调心效果和调心范围，确定球形垫圈与托盘球窝之间的夹角θ为30°时，即有利于球形垫圈发挥其调心效果，又可以使调心范围达到最大，并且球形垫圈的最大调心角度可以达到17°左右。
4)球形垫圈与托盘球窝之间的摩擦系数μ每增加0.1，锚杆弯曲角度平均增加56%。
