感应电机低采样频率的磁链观测器离散化模型研究

0 引言

感应电机的转子磁场定向控制或直接转矩控制等都需要准确的观测模型来观测磁链、转速等关键信息，以用于系统闭环控制。开环状态观测模型加上相应的信号反馈，可形成闭环状态观测模型，实现对状态变量的观测，并根据状态变量的估算误差和估计值自适应辨识出电机的实际转速或定子电阻等参数[1]。近年来，国内外学者针对感应电机观测器设计做了大量的研究工作，提出了多种磁链观测和转速估算的方法，大致可分为两类：一类是基于理想电机模型的方法；另一类是基于电机非理想特性的方法[2]。根据系统是否闭环，基于理想电机模型的方法又可分为开环磁链观测方法[3]和闭环磁链观测方法两种[2,4-9]。对于开环和闭环状态观测器以及在状态空间中的参数估计模型，其核心在于设计一个状态空间模型。通常，这个过程在时间上是连续的，但状态观测器或参数估计观测器的实现一般是建立在数字信号处理器系统上，处于一个离散处理时间内,因此需要建立的状态空间模型必须是一个离散时间模型。在线性定常系统的情况下，转换矩阵针对模型离散化问题给出了一般的解决方案，但转换矩阵需要大量的数值计算[10]，而且计算一般是离线完成，对于线性时变系统，这种方法往往不适用。在所有这些情况下，使用计算能力相对较小的微处理器系统在线计算转换矩阵，系统通常无法实现。因此，一般期望不采用“精确”的转换矩阵，而是使用近似的转换矩阵。在各种数值积分算法中，一阶欧拉离散化方法计算简单，易于实现，应用较广泛[2,11-14]。

针对感应电机模型，文献[15-16]采用一阶欧拉离散化方法离散感应电机模型，当电机运行至中高速区域时存在误差大、观测结果发散不收敛的问题，当采用二阶梯形法或更高阶精度的离散化方法时，则不存在观测结果发散不收敛的现象，但增加了离散化观测模型的复杂度和数字信号处理器的计算量。针对中高速区域出现观测结果发散不收敛的现象，文献[14]将一阶欧拉法和双线性变换法相结合，对定子电流采用一阶欧拉法离散化，对转子磁链采用双线性法离散化，取得了较小的离散误差，但因采用双线性变换法而导致计算量增加，并且未针对离散模型出现不稳定的原因进行分析。文献[16]提出了将离散模型的状态矩阵分解为时变矩阵和常数矩阵的解决方案，但只针对时变矩阵离散化，该方案提高了离散模型的精确度和稳定性，但需要大量的三角函数计算，实现比较困难。文献[17-18]提出一种通过设计反馈矩阵使极点向左平移的观测器，使电机离散化模型能够满足最大运行转速要求的稳定区域范围内，重点在平移系数的设计，若配置不当将导致系统不稳定，而且在更高速情况下不能确保观测模型的稳定。文献[19]提出一种类似模糊控制的观测器模型，在不同转速下使用离线计算的观测器矩阵值，确保观测器极点在稳定区域内，但离线调用方法比较复杂，具体实施比较困难。

本文针对感应电机全阶磁链观测器的一阶欧拉离散化模型的局限性，通过对一阶欧拉离散与混合离散感应电机模型的极点轨迹的研究，分析不稳定的实质原因。同时从极点方面着手，提出了一种基于静止坐标系和转子坐标系下的改进感应电机磁链观测器离散化模型。该模型以定子电流估算值与实际值的误差构成反馈，设计反馈矩阵进行观测器极点配置。最后通过仿真与实验对所设计的离散化模型进行了对比验证。

1 感应电机离散化模型

感应电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统，考虑采用标量表示的数学模型十分复杂，因而使用复矢量表示方法[20]。德国学者 J. Holtz教授将复矢量与信号流图相结合，并首次应用于交流电机建模中[21]。在建模中引入复矢量的概念，不仅可以简化电机模型表达式，还能将多变量系统简化为单变量系统，使古典控制理论分析手段（如根轨迹、伯德图等）可用于交流传动系统分析中。

在两相静止参考坐标系下，根据感应电机磁链方程及电压方程，选择定子磁链和转子磁链作为状态变量，推导得到感应电机矢量形式状态方程为

其中

式中，ψs、ψr、us、is分别为定子磁链、转子磁链、定子电压和定子电流矢量，ψs=ψ sα+jψsβ、ψr= ψ rα+jψrβ 、us= u sα+jusβ 、is=isα+jisβ ；Rs、Rr分别为定子电阻和转子电阻； L s、 Lr、 Lm分别为定子电感、转子电感和互感；ωr为转子角频率。

状态矩阵A、B分别为

将连续域的状态方程式（1）离散化，得到感应电机离散状态方程为

式中，x为状态变量，即转子磁链和定子磁链；u为控制输入电压；T为数字信号处理器的采样时间。对应的离散状态矩阵为

式中，状态矩阵 A的幂指数函数eTA的麦克劳林级数展开式为

同时

式中，l（l≥1）为离散的阶数，l值越大，离散化模型越精确，但同时给信号处理器带来的计算最也越大。

由以上分析可知，离散化模型的“精确”状态矩阵为式（6）和式（7），不同精度的离散化方法都是对指数函数的近似处理[2]，因此感应电机离散化模型的离散精度可直接由离散化近似处理后的状态矩阵与矩阵幂指数函数eTA的近似程度决定。

2 传统一阶欧拉离散化模型的局限性

鉴于一阶欧拉离散化方法具有更小的计算量，本文主要围绕一阶欧拉法离散化进行。对于一阶欧拉离散化方法，离散状态矩阵中L取1，则离散状态矩阵为

根据离散状态矩阵Φ和特征值方程(λ-I-Φ)=0，可得出离散状态方程的极点λ1与λ2。在不同采样频率下，以定子磁链和转子磁链为状态变量的感应电机一阶欧拉离散化模型极点轨迹如图 1所示（0≤fr =≤160 Hz）。其中 z域下的稳定限制条件为极点轨迹必须在单位圆内，即极点的模要小于1[10]。由图1所示，随着转速的升高，极点轨迹超出了稳定限制圆，进入到不稳定区域，即稳定限制圆与模型的极点轨迹的交点就是临界发散频率，且该临界发散频率fr与离散采样时间T有很大的关系，T越大，临界转子角频率ωr越小。

图1 一阶欧拉离散化模型的极点轨迹
Fig.1 Pole trajectory of the discrete model using firstorder euler

3 改进的感应电机离散化模型设计

针对第2节提到的以定子磁链和转子磁链为状态变量的感应电机离散化模型，无论是转子坐标系还是定子坐标系下，在中高速区域，电机离散化模型的极点都超出稳定区域。为了解决该问题，结合定子坐标系和转子坐标系的情况，分别选择定子坐标系下的定子磁链以及转子坐标系下的转子磁链作为状态变量，得到混合坐标系下的状态方程为

式中，上标“s”和“r”分别表示定子坐标系下的变量和转子坐标系下的变量。对式（12）连续域下的状态方程，采用一阶欧拉离散化方法转换为离散域状态方程。

为了更简便地分析式（13），将转子坐标系下的转子磁链转换至定子坐标系下的转子磁链进行表示[22]。两相静止-旋转变换表达式为

根据式（13）～式（15）得到改进的感应电机一阶欧拉离散化模型为

根据式（16）中的离散化状态矩阵Φ，可使用Matlab绘制出离散采样时间为0.5 ms时的离散极点轨迹图，如图2所示，在全速度范围内极点都处于稳定区域，解决了一阶欧拉离散化模型在高速区域不稳定的问题。进一步地，可发现相对式（10）给出的离散状态矩阵而言，混合坐标系极点轨迹不同的主要原因在于式（16）的状态矩阵存在 e jTωr(k)分量，从而使得状态矩阵为

图2 改进的感应电机离散化模型的极点轨迹
Fig.2 Pole trajectory of the improved discrete model of induction motor

其中

式（17）的第二行元素具有二阶以上的因子，相对传统一阶欧拉离散化方法而言，模型离散化精度更高，更接近式（6）所示离散状态矩阵。

随着离散采样时间的增加，感应电机离散化模型的状态矩阵与矩阵幂指数函数eTA的误差逐渐增大，通过定义离散化误差评估函数可评估离散化的状态矩阵与矩阵幂指数函数eTA的近似程度。图3为不同离散采样时间下改进磁链观测器模型的离散化误差函数对比。由图3可知，在采样时间为1 ms及以下时，模型的离散化误差函数值较小，能够保持在5%以内。而随着离散采样时间的增加，模型的离散化误差函数值均升高，并且在采样时间为2 ms及以上时，误差函数值明显较大，超过了10%，因而限制了采样时间的选取。同时根据香农采样定理可知，采样频率也应不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍，因此离散采样时间不宜过大。

图3 改进磁链观测器模型的离散化误差函数对比
Fig.3 Comparison of error assessment of the improved discrete model of induction motor

4 改进的闭环状态观测器极点配置

对式（16）所示的改进感应电机离散状态方程，即开环状态方程进行极点配置，加入定子电流误差值作为反馈，设计反馈矩阵对闭环磁链观测器进行极点配置，得到改进的闭环状态观测器。误差反馈矩阵为

得到改进的闭环状态观测器为

其中

式中，“^”表示观测值。改进的闭环磁链观测器结构框图如图4所示，其中z-1为延迟器[24]。

图4 改进的闭环磁链观测器结构框图
Fig.4 Block diagram of the improved closed-loop observer

在式（19）的基础上，依据离散域下极点配置原则提高系统整体的收敛速度和参数鲁棒性。离散域下极点配置原则为：观测器极点应配置为电机模型极点的p倍，且0＜p＜1，即

式中，oλ为离散域下闭环观测器的极点；mλ为离散域下电机极点。结合式（19），令

得到改进的闭环观测器的状态矩阵为

结合式（16）和式（24），得到两个模型的特征方程分别为

其中

利用式（21）进行极点配置，可得

对式（27）进行求解，可得反馈矩阵如下表达式

根据式（16）和式（24）对应的状态矩阵，可使用Matlab绘制出各自状态观测器的极点轨迹进行对比。图5为全阶磁链观测器和改进磁链观测器（开环和闭环磁链观测器的p=0.95）的极点轨迹对比。通过对磁链观测器进行改进的离散化和合理的极点配置设计，提高了磁链观测器的观测精度和性能。

图5 磁链观测器极点轨迹对比
Fig.5 Comparison between the pole trajectories of observers

5 仿真结果

基于 Matlab/Simulink并采用模块化的方法对本文提出的改进磁链观测器离散化模型进行仿真验证。仿真模型采用的电机参数见表1。

表1 感应电机参数
Tab.1 Induction motor parameters

图 6是采样频率为 2 kHz，即控制周期设置为0.5 ms时，不同转速下全阶磁链观测器离散化模型的转子磁链估计值rαˆψ与实际值rαψ对比。在转速为600 r/min时，全阶磁链观测器离散化模型的估计值和实际值基本吻合。而随着转速的上升，全阶磁链观测器离散化模型的估计值和实际值之间的幅值和相位差异逐渐增大，并且在转速为2 250 r/min（75 Hz）时，转子磁链估计值开始出现发散现象。

图7是采样频率为2 kHz时，改进磁链观测器离散化模型的转子磁链估计值rαˆψ与实际值rαψ对比。与图6相比，改进磁链观测器离散化模型的估计值与实际值能够更好地吻合，并且在高速区域不会出现转子磁链估计值发散现象，验证了改进磁链观测器离散化模型的有效性。

图6 全阶磁链观测器离散化模型的转子磁链波形
Fig.6 Rotor flux observed by the model of the discrete full-order flux observer（fs =2 kHz）

图7 改进磁链观测器离散化模型的转子磁链波形
Fig.7 Rotor flux observed by the improved discrete model

图8 、图9分别是采样频率fs为1.5 kHz时，传统的全阶磁链观测器离散化模型与改进磁链观测器离散化模型得到的转子磁链估计值ˆψrα与实际值ψrα对比。与图6和图7相比，传统的全阶磁链观测器离散化模型偏离和发散更为严重，而改进磁链观测器离散化模型工作正常，观测结果稳定，进一步验证了改进磁链观测器离散化模型的有效性。如果将采样频率进一步降低，存在类似结果，这里不具体给出。

图8 全阶磁链观测器离散化模型转子磁链波形
Fig.8 Rotor flux observed by the model of the discrete full-order flux observer

图9 改进磁链观测器离散化模型的转子磁链波形
Fig.9 Rotor flux observed by the improved discrete model

6 实验结果

为进一步检验和评估改进的离散化磁链观测器模型的性能，采用DSP芯片TMS320F2812实现离散化模型算法，使电机运行在矢量控制下，进行不同运行频率的空载和负载实验，实验电机参数见表1。在负载扰动实验中，通过调节与异步电机同轴连结的直流发电机的励磁电流来改变负载转矩大小。全阶磁链观测器离散化模型估计得到的电流结果，与参考电流钳得到的实际定子a相电流进行电流波形对比。

图10是系统采样频率fs为4 kHz，不同给定转速下全阶磁链观测器的定子电流估计值与实际值对比。从给定运行频率为30 Hz开始，全阶磁链观测器的电流估计值与实际值相比出现明显偏差，运行频率越高，其偏差越大，这说明一阶欧拉法观测模型在高速区域失效，这一结果也与前文的理论分析一致。

图11是系统采样频率为2 kHz时，全阶磁链观测器与改进磁链观测器的定子电流估计值与实际值对比。可以看出，在给定运行频率约20 Hz开始，全阶磁链观测器观测的定子电流的幅值和相位就已经出现偏差，说明一阶欧拉法在此频率下的观测已经开始失效，相较于图10降低较多，这与之前给出的采样时间T越大临界转速越小的结论相符合。而在采样频率为2 kHz时，改进磁链观测器观测的定子电流与实际定子电流的幅值和相位都能很好地吻合，解决了传统一阶离散法观测失效的问题。若给定频率在20 Hz以下，则系统运行结果正常，限于篇幅，接下来的相应结果中不具体给出。

图10 全阶磁链观测器的定子电流观测值与实际值对比
Fig.10 Actual stator current and current observed by the full-order flux observer

图11 定子电流的估计值与实际值对比
Fig.11 Comparison between actual stator current and observed current

图12 是系统采样频率为2 kHz，在不同的转速频率下，电机负载电流约为5 A时，改进磁链观测器得到的定子电流估计值与实际值对比。

图12 加载时的定子电流实际值与估计值对比（fs=2 kHz）
Fig.12 Comparison between actual stator current and observed current when loading（fs =2 kHz）

由图 12可看到，在加载条件下，运行频率的增加并不会影响实际估计电流结果，电流估计值与实际值基本吻合，改进磁链观测器离散化模型工作正常。

图13a～图13c分别给出了负载增加和减小时，改进磁链观测器的定子电流估计值与实际值。图13d为负载条件下得到的转子磁链位置角。从图中可看出，在负载扰动情况下，改进磁链观测器的定子电流估计值依然能够跟随上电流钳获得的实际电流分量，并且幅值和相位上无明显误差，验证了改进磁链观测器在负载变化过程中的观测性能。

图13 负载变化时的定子电流实际值与估计值及磁链位置角波形（fs =2 kHz，f1=42 Hz）
Fig.13 Actual current and observed current and the angle of the flux position when changing load（fs =2 kHz，f1 =42 Hz）

图14 不同频率下带载运行的观测波形
Fig.14 Observation waveforms with load at different frequencies

图15 空载和带载下的观测波形
Fig.15 Observation waveforms with and without load

为进一步验证不同采样频率下的离散化观测器性能，图14给出了系统采样频率fs为1.5 kHz时，电机带载运行于不同转速下的实际定子电流与改进磁链观测器观测的定子电流以及转子磁链波形。图15是采样频率fs为1 kHz，最高运行频率为42 Hz时的实验结果。可以看出在低采样频率的空载和带载下，改进磁链观测器依然能够准确地观测电流和磁链，估计值无明显偏差，幅值和相位工作正常，表明改进磁链观测器离散化模型在低采样频率下具有良好的观测性能。

7 结论

本文针对感应电机全阶磁链观测器的一阶欧拉离散化模型在低采样频率下存在的局限性，通过深入分析离散化模型的极点轨迹，阐明了磁链观测器离散化模型不稳定现象的根源。提出一种基于定子坐标系和转子坐标系下的改进感应电机磁链观测器离散化模型，并且通过加入定子电流估计值与实际值的误差构成反馈，设计反馈矩阵进行观测器极点配置，从而构成以转子磁链和定子磁链为状态变量的闭环磁链观测器模型，可实现全速度范围内模型稳定，能够有效应用于感应电机低采样频率下的状态观测。仿真和实验结果表明，在低采样频率时，本文提出的改进感应电机磁链观测器离散化模型在全速度范围内都能进行准确的观测，没有出现发散现象，验证了模型的有效性。