摘要：高速下运行的螺旋槽干气密封，存在较大的离心力作用，由碳化硅等脆性材料制成的旋转环可能破裂，造成密封失效，甚至危害到主机。基于弹性力学理论方法和数值模拟方法，考察旋转密封环在离心力作用下的应力分布，并给出具体的案例。结果表明：数值分析方法与弹性力学理论方法得到的结果接近；旋转环径向应力随着半径的增大，呈先增大后减小的趋势，而切向应力在内径处最大，随半径增加而减小；径向和切向应力均随着角速度的增加而增大；由于切向应力远大于径向应力，强度校核时主要针对切向应力；当切向最大应力超过其强度极限时，认为密封旋转环即产生裂纹或断裂，从而失效。
关键词：干气密封；旋转环；应力；离心力；强度；弹性理论
螺旋槽干气密封是一种应用日益广泛的新型非接触式密封，它的旋转环一般由硬质合金或碳化硅等脆性材料制成。对于碳化硅等材料，其抗拉强度并不高，在离心力的作用下，碳化硅等材料制成的旋转环可能破裂，造成密封失效，甚至危害到主机。旋转密封环在离心力作用下的破坏问题，即强度问题是一个值得关注的问题。但迄今为止，对此问题的研究并不多。
本文作者基于弹性力学理论和数值模拟方法，考察旋转密封环在离心力作用下的应力分布，并针对常用的反应烧结碳化硅材料，结合具体的案例，分析其允许的最高转速或旋转角速度，为干气密封旋转环的设计与使用提供参考。
1 螺旋槽干气密封计算案例
螺旋槽干气密封的端面几何结构和动环三维示意图分别如图1和图2所示，其中螺旋槽的槽型曲线为对数螺旋线，在极坐标下可表示[1]为
r=rgeθtanα
(1)
式中:rg为槽根半径;
为展开角;α为螺旋角。
图1 螺旋槽干气密封端面几何模型
Fig 1 Geometric model of spiral groove dry gas seal
图2 动环三维示意图
Fig 2 Three-dimensional schematic of rotary ring
选用GABRIEL[2]经典论文中的干气密封作为计算案例，其结构尺寸和操作条件如表1、表2所示。
表1 干气密封结构尺寸
Table 1 Geometric parameters of dry gas seal
表2 干气密封操作条件及材料物流性能参数
Table 2 Operating conditions of dry gas seal and physical performance parameters of material
2 基于弹性力学的解析计算方法
2.1 模型简化
解析计算时，对模型进行一定的简化。密封旋转环(动环)的表面开有深度为5 μm的螺旋槽，而动环的厚度为12 mm。由于槽深与密封环其他方向上的尺寸差距较大，因此强度分析计算时，忽略螺旋槽深的影响，将其简化为圆环。
文献[5]给出了转动圆盘的应力计算方法。即在圆环上取微元体如图3所示,然后根据平衡方程、几何方程、本构方程以及边界条件将其应力方程求解出来。
图3 微元体受力示意图
Fig 3 Stress schematic of unit
2.2 应力计算
2.2.1 平衡方程
由于圆盘厚度远小于半径，且厚度为常量，因此径向应力σr与切向应力σθ沿厚度(z方向)的变化可以忽略不计。由于轴对称，σr及σθ不随θ变化，且根据密封环动环稳定旋转r方向的平衡条件，可得：
(2)
由于dθ很小，
，上式简化为
dC+dp′-dp-dTdθ=0
其中，dC为离心力
dC=rω2dm=ρr2ω2z·dr·dθ
(2-1)
dp为作用在CD截面上的径向力
dp=σrzrdθ
(2-2)
dp′为作用在AB截面上的径向力
dp′=(σr+dσr)·z·(r+dr)dθ
(2-3)
dT为作用在径向截面上的圆周方向的力，即切向力
dT=σθzdr
(2-4)
式中：ρ为密封环材料密度；r为密封环某截面的半径；ω为密封环旋转角速度；z为密封环厚度。
再将求得的dC、dp、dp′和dT的值代入式(2)，并消去每项中的dθ和除以dr后得到：
(3)
2.2.2 几何方程
分析微元体的变形，微元体的半径r处的径向位移为L(暂不考虑温差引起的位移)，此时半径变为r+L；在半径r+dr处的径向位移为L+dL。这样，微元体在载荷作用下半径方向的厚度变为dr+dL。
根据相对变形的定义可求εr和εθ。
(4)
(5)
式中:εr为径向应变；εθ为切向应变。
2.2.3 本构方程
根据平面应力状态下虎克定律用应变表示应力[6]得：
(6)
(7)
将式(6)、(7)代入式(3)，可得：
(8)
式中
将式(8)进行积分微分整理后得到密封环径向应力和切向应力的公式：
(9)
(10)
式中：积分常数C1、C2由边界条件决定。
2.2.4 边界条件
对于密封环动环，当其以ω旋转时，若其两边界上都不受力，就有
(σr)r=ri=0，(σr)r=ro=0
由此可得：
将C1、C2的值代回方程得：
(11)
(12)
则式(11)、(12)为密封环旋转时离心力产生的应力表达式，也是文献[5]给出的公式。后面将利用式(11)、(12)对密封旋转的应力分布进行计算。
文献[5]还给出了径向和切向最大应力的表达式。最大径向应力表达式为：
(13)
最大切向应力表达式为
(14)
下文中利用公式(14)求解最大旋转角速度。
2.3 强度条件及允许的最大旋转角速度
由于密封环属于脆性材料，且在旋转时内径处受到较大的拉应力，因此根据第一强度理论，密封环脆性断裂的条件[7]为：
σ1=σt
强度条件为
式中:σ1为最大拉应力;σt为抗拉强度极限;nb为安全系数。
由文献[3]可知,反应烧结碳化硅的最小弯曲强度为400 MPa(三点弯曲强度)。目前，通过实验直接测得的碳化硅等脆性材料的抗拉强度数据很少。但文献[8]给出了一种三点抗弯强度与抗拉强度的关系式:
(15)
式中:σt为抗拉强度；σb为三点弯曲强度；δ为破坏发生区尺寸；W为弯曲试件厚度。
碳化硅属于细晶陶瓷，破坏发生区尺寸δ为0.08～0.3 mm[8]，δ取0.3 mm时计算出的抗拉强度最低，即最危险。文中取δ=0.3 mm。
弯曲试件厚度W，根据文献[9]取为3 mm。
则可以得到：
借鉴文献[10]选取脆性材料安全系数nb为10，则许用应力为
在其他条件不变的情况下，使得
，可以计算出允许的最大旋转角速度[ω]max为
(16)
3 数值模拟方法
解析计算方法仅能对圆环等简单形状的密封环进行计算，对于开有螺旋槽等实际密封环应力分布的计算，需要借助于数值模拟方法。为了验证数值模拟的正确性，先对不开槽的旋转环进行数值模拟分析，并与解析结果进行对比，然后计算分析了开有螺旋槽密封环的受力情况。
3.1 建立分析模型
首先利用三维软件对密封动环进行三维建模，然后利用ANSYS Mechanical 对其进行应力分析。在建模过程中，根据有限元分析实际模拟情况，并保证计算的准确性和可行性的条件下，对模型进行了适当的简化，第一种情况为圆环模型，是为了与解析法进行对比，验证其准确性。第二种情况为带有螺旋槽的圆环模型，忽略了台阶及开销槽的情况。
3.2 网格划分与独立性检验
实体建模结束后，需将实体模型划分为合适的网格单元，以便进行有限元分析计算。网格划分的质量直接决定了有限元分析的精度。为得到网格独立的解，对网格进行了独立性检验。当不同的网格数下得到的结果误差小于2%时，则认为结果可取[11]。图4、5示出了无槽模型和有槽模型在ω=1 087.08 rad/s时旋转环在不同网格数下的切向最大应力计算结果，综合考虑计算精度要求和计算机配置情况，无槽圆环模型所采用的网格为1 469 547个节点，344 466个单元。有槽的模型采用367 218 0个节点，2 603 339个单元的网格，对最小应力及其他转速条件下的计算模型均进行网格独立性检验。
图4 无槽模型最大应力网格独立性检验
Fig 4 Maximum stress mesh independency test of non-groove model
图5 有槽模型最大应力网格独立性检查
Fig 5 Maximum stress mesh independency test of groove model
3.3 载荷及边界条件
动环的实际几何形状和受力情况比较复杂，对其进行精确的应力分析需要的数据准备和计算工作量都很大，计算周期很长。因此本文作者仅分析离心力单独作用时的应力分布情况。
在进行应力模拟之前按照表2所给数据设定其物理参数，密封环旋转时并未与转轴接触，因此不施加固定约束，只给定旋转角速度进行模拟。
4 计算结果与分析
4.1 解析法结果
利用解析法给出的公式分别计算文献[2]中案例的径向应力与切向应力分布。图6、7分别示出了在角速度ω=1 087.08 rad/s时的径向应力与切向应力分布。
图6 ω=1 087.08 rad/s时密封动环径向应力分布
Fig 6 Distribution of radial stress in rotary ring atω=1 087.08 rad/s
图7 ω=1 087.08 rad/s时密封动环切向应力分布
Fig 7 Distribution of tangential stress in rotary ring atω=1 087.08 rad/s
由图6可以看出，径向应力随着半径的增大先增大后减小，当半径
时，径向应力达到最大，最大值为0.570 3 MPa。由图7可以看出，切向应力随着半径的增大而减小，在内径处应力最大，最大值达到20.728 7 MPa。由图6、图7可以看出，切向应力远大于径向应力，切向应力最大值为径向应力最大值的36.35倍，故在之后的强度校核时主要是针对切向应力进行校核，认为当切向应力最大值超过许用应力时，强度失效。
4.2 有限元分析结果
通过ANSYS计算分析，得到了整个动环详细应力分布情况，为与解析法进行对比，依然采用第一强度理论(Maximum principal stress)以云图的形式对动环切向应力分布进行详细描述。
对于无槽的圆环模型，图8为在角速度等于1 087.08 rad/s的条件下得到的切向应力云图。其沿半径方向各个点的应力大小如图9所示。
图8 ω=1 087.08 rad/s时无槽的圆环模型切向应力分布
Fig 8 Tangential stress distributionof rotary ring of non-groove model at ω=1 087.08 rad/s
图9 ω=1 087.08 rad/s时不同半径处的切向应力
Fig 9 Tangential stressof rotary ring at different radius at ω=1 087.08 rad/s
由图8可以直观地看出，切向应力在内径处最大，达到20.734 MPa，在外径处最小，为14.481 MPa。图9中不同半径处的切向应力值，其趋势与解析法得到的是一致的，都随着半径增大而减小，且数值接近，说明数值模拟方法是可行的。
对于带螺旋槽的圆环模型，在转速为1 087.08 rad/s时其切向应力分布如图10所示。
图10 ω=1 087.08 rad/s时带螺旋槽的圆环模型切向应力分布
Fig 10 Tangential stress distributionof rotary ring of groove model at ω=1 087.08 rad/s
图10显示最大切向应力为20.733 MPa，最小切向应力为14.358 MPa ，与圆环模型得到的数值很接近，最大切向应力相差0.001 MPa，最小切向应力值相差0.123 MPa。两者的切向应力在外径处相差最大，但差值不大，说明螺旋槽对密封环切向应力的影响很小，可以忽略。
4.3 解析法结果与数值法结果的对比分析
在将特定转速下的几种模型进行计算之后，改变转速对几种模型进行计算模拟，得到结果如表3所示。
表3 解析法与数值模拟的应力比较
Table 3 The stress of rotary ring calculated by numerical method and analytical method
由表3可以看出，在相同转速条件下，数值法比解析法得到的最大应力要大一些，而最小应力要小一些。而2种数值模拟模型中，无螺旋槽圆环的应力比带有螺旋槽圆环的应力要大一些，但最大应力相差不超过0.002 MPa，而靠近外径处最小应力差距稍大，这是因为带有螺旋槽的圆环在外环附近开有螺旋槽，导致其质量减小，而离心力与质量成正比，从而使得离心力减小。不过，由于螺旋槽深远远小于动环厚度，应力不会发生明显变化，说明螺旋槽对旋转环的强度几乎没有影响。
图11示出了最大切向应力σθmax与角速度ω的关系。
图11 最大切向应力与角速度关系
Fig 11 Relationship between maximum tangential stress and rotational angular velocity
由图11可以看出，最大切向应力随着角速度的增大而增大，当转速达到1 432.605 rad/s时，计算应力等于许用应力，此时的角速度为允许的最大旋转角速度角速度[ω]max。当角速度大于此转速时，理论预测密封旋转环会发生破裂。
5 结论
(1)离心力作用下，旋转环径向应力随半径的增大，先增加后减小,在半径为
处达到最大值;切向应力随着半径的增大而减小，在内径处最大。
(2)切向应力远大于径向应力，强度校核时可主要考虑切向应力，其最大应力随转速的增加而增大。
(3)解析法与数值模拟方法均可以对螺旋槽密封旋转环进行应力计算，得到的结果较为相近。
(4)数值模拟方法中，由于螺旋槽深与其他方向尺寸差距较大，有螺旋槽和无螺旋槽模型得到的应力结果相近表明。螺旋槽对密封环强度的影响可以忽略。
