基于产形线切齿法的弧齿锥齿轮精确建模

理论上弧齿锥齿轮的齿形是球面渐开线，其齿面为圆锥螺旋渐开面。但是，目前在实际工程生产中大多数采用近似的球面渐开线齿形，以达到简化弧齿锥齿轮加工制造方法的目的［1］，比较有代表性的就是美国格里森(Gleason)公司的以“局部共轭原理”为基础的加工体系［2-3］。这种加工方法所加工的齿轮在传动中属于局部点接触，近似共轭传动［4］，为了获得满意的啮合性能往往需要进行反复的调整试切［5-7］。而本文所介绍的产形线切齿法可以有效地避免上述缺陷，具有加工效率高、无原理误差和机床运动简单等优点［8］。目前，国内外对螺旋锥齿轮的建模进行了大量的研究工作。有的在对圆锥齿轮的齿面生成原理进行分析的基础上，在CAD的条件下实现了螺旋锥齿轮的精确建模［9］;有的基于参数化设计思想建立了弧齿锥齿轮模型［10］;有的则通过扫掠球面渐开线齿廓的方法来建立锥齿轮模型［11］。本文提出了一种基于产形线切齿法的弧齿锥齿轮建模方法。

1 弧齿锥齿轮产形线切齿法

1.1 弧齿锥齿轮齿面的形成

由弧齿锥齿轮齿面与其基圆锥相交所形成的圆锥螺旋线，在弧齿锥齿轮基圆锥展开成的扇形平面内为一圆弧曲线AB，见图1。图中基圆锥的顶点与圆平面(Q)的圆心重合，基圆锥底面圆与圆平面(Q)的圆边相切，当基圆锥与圆平面(Q)相对作纯滚动运动时(保持 ω/ω1=sin δb)，圆弧曲线 AB 的轨迹所形成的圆锥螺旋渐开面即为弧齿锥齿轮的齿面［12］。

图1 球面渐开线弧齿锥齿轮齿面的形成
Fig.1 The formation of spiral bevel gear tooth surface with spherical involute

圆弧曲线AB即为弧齿锥齿轮齿面的产形线，如果以圆弧曲线AB构成刀具的刀刃，并用这样的刀具加工弧齿锥齿轮的方法(保证刀刃在(Q)平面内，并且齿坯与(Q)平面相对作纯滚动运动)即为弧齿锥齿轮的产形线切齿法。文献［1，8，12］对这种加工方法进行了详细的论述。

1.2 弧齿锥齿轮齿面的切削

图2为收缩齿制锥齿轮角度计算关系图，其中δa、δf、δb分别为锥齿轮的面锥角、根锥角和基锥角，切平面(Q)与基圆锥切于母线OJ，并与面锥交于OA、OB，与根锥交于 OK、OI，μ、ψ 分别为切削区角和切削区调整角。其中

图2 收缩齿制锥齿轮角度计算关系
Fig.2 Relations of the angles of the bevel gear with tapered tooth depth

将图2所示按图1关系绘于图3，图中Li为弧齿锥齿轮小端基锥母线长，Le为弧齿锥齿轮大端基锥母线长。半径为R的圆弧WV作为产形线，其圆心Oo与回转中心O的距离为q，称之为刀位。当产形线随(Q)面一起以角速度ω绕回转中心O旋转的同时，被加工锥齿轮以角速度ω1绕轴线OO1旋转，保持二者作纯滚动(ω/ω1=sin δb)。产形线 WV进入切削区，由位置W1V1运动到位置W2V2完成齿面的切削，为了保证加工过程中不产生过切现象，要求圆弧刀刃绕其自身轴心Oo以 ω0自转［12］。当 q=R=Lm(Lm为弧齿锥齿轮齿宽中点处的基锥母线长)时，弧齿锥齿轮齿宽中点处的基锥螺旋角 βm=30°［12］。

图3 切削原理
Fig.3 Cutting principle

2 球面渐开线和齿面方程

2.1 球面渐开线的生成

弧齿锥齿轮的齿形理论上为球面渐开线，球面渐开线的生成机理(见图4)为:一圆平面(Q)的圆心与一基圆锥的顶点相重合，基圆锥的底面圆与圆平面的外圆相切，二者之间作纯滚动运动时，圆平面上一点P所形成的轨迹PP1即为球面渐开线。

图4 球面渐开线生成原理
Fig.4 The generation theory of spherical involute

根据文献［13］可以推导出球面渐开线的方程为

式中:Rb为基圆锥大端母线长;δb为基圆锥锥角;Φ为基圆锥底面圆展成角;ψ为大圆(Q)展成角，ψ=Φsin δb。当Φ取正值时可以得到右(左)旋齿轮的凸(凹)齿面齿廓的球面渐开线，反之则为右(左)旋齿轮的凹(凸)齿面齿廓的球面渐开线。

2.2 弧齿锥齿轮齿面方程

弧齿锥齿轮基圆锥的展开平面图如图5所示，弧线AB为产线线，P为其上任意一点，θ为P点所对应的极角，其余参数同前述。图6为扇形平面所围卷成的圆锥面，P1为P点在XOY平面内的投影，γ为OP1与X轴正方向的夹角。根据几何关系可以推导出:

图5 由基圆锥展开的扇形平面
Fig.5 The sectorial plane of generation of base cone

弧齿锥齿轮齿面是由无数条图4所示的球面渐开线构成的，由图6中圆锥螺旋线AB上任一点P所生成的球面渐开线的方程在OX1Y1Z1坐标系下与式(3)是相同的，只需将Rb变为Rbi(P点的母线长)即可。而由坐标系OX1Y1Z1变换到坐标系OXYZ的变换矩阵为

所以，弧齿锥齿轮的齿面方程为

式中:B1=Rbi(sin δbcos Φcos ψ +sin Φsin ψ)cos γ ，B2=Rbi(sin δbcos Φcos ψ +sin Φsin ψ)sin γ，C1=Rbi(sin δbsin Φcos ψ -cos Φsin ψ)sin γ，C2=Rbi(sin δbsin Φcos ψ -cos Φsin ψ)cos γ 。

图6 扇形围卷成圆锥面
Fig.6 The cone surface with the rolled-up sector

根据齿轮参数(见表1)并参考图5可以求出:

表1 弧齿锥齿轮参数
Table 1 Spiral bevel gear parameters

3 弧齿锥齿轮齿面的界限

由弧齿锥齿轮齿面的方程式(6)和式(7)可知，弧齿锥齿轮齿面的界限主要取决于参数Φ和γ。根据1.2节所述，取弧齿锥齿轮齿宽中点处的基锥螺旋角βm=30°。参照图5，根据数学知识可以求得θ的取值范围为:0≤θ≤0.207 rad，再利用式(4)便可求出γ的取值范围为:0≤γ≤0.710 6 rad。参数 Φ 的计算可以参照图7，P＇为球面渐开线上任意一点，δi为其对应的锥角，其余符号同前所述。根据几何关系可以求得:

对于面锥上的点所对应的Φ值可以带入齿轮参数(见表1)求得:Φ=0.789 8 rad。所以Φ的取值范围为0≤Φ≤0.789 8 rad，从而弧齿锥齿轮齿面的界限也就确定了。

图7 展角计算
Fig.7 Opening angle calculation

4 节锥螺旋角和中点分度圆弦齿厚的计算

节锥螺旋角是指节锥齿宽中点处的母线与节锥齿线在齿宽中点处切线的夹角。由式(3)和γ=0.344 6 rad、Φ =0.381 3 rad 可以求出节锥齿宽中点的坐标为(35.728 9，13.459 8，117.085 2)。

节锥面的方程为

由此可求出节锥面齿宽中点处的法向量为

利用高等数学知识可以求出弧齿锥齿轮齿面在节锥齿宽中点处的法向量为

式中:

所以，节锥齿线在齿宽中点处的切向量为

节锥齿宽中点处的母线向量为

节锥齿宽中点处的螺旋角为

中点分度圆弦齿厚为

5 弧齿锥齿轮建模过程和模型检验

5.1 弧齿锥齿轮的建模过程

本文以右旋弧齿锥齿轮为例，齿轮参数示于表1，建模过程如下:

1)利用MATLAB的surf函数与齿轮参数绘制右旋弧齿锥齿轮的凸齿面三维图形(见图8)，观察凸齿面的形状，以初步检验弧齿锥齿轮齿面方程的正确性。

2)根据式(6)，利用MATLAB的xlswrite函数分别将弧齿锥齿轮凹(Φ取负值)、凸(Φ取正值)齿面上的点导进excel文件中。

3)进入CATIA安装文件目录下(D:Program Files→Dassault Systemes→B17→intel_a→code→command)，找到文件 GSD_Point SplineLoftFrom Exc el.xls并打开，依次进入工具→宏→Visual Basic编辑器修改CATIA自带宏程序 Feuil1.CreationSpline与Feuil1.CreationLoft中所允许输入点、线的上限，以满足建模的需要。输入的点、线的数目越多所建的模型越精确。

4)利用CATIA自带的宏程序Feuil1.Creation-Loft和导出的数据点对弧齿锥齿轮凹、凸齿面进行建模，结果示于图9(a)。

5)进入CATIA创成式设计模块，根据分度圆弦齿厚对凹齿面进行旋转操作，以满足齿厚的要求(见图9(b))。

6)再次利用CATIA的拉伸、修剪、封闭曲面、倒圆角等功能对弧齿锥齿轮的锥体、齿厚、背锥等特征进行建模，最后得到一个齿的模型，如图9(c)所示。将这个齿进行圆环阵列操作得到弧齿锥齿轮的整体模型(见图9(d))

图8 弧齿锥齿轮凸齿面
Fig.8 Convex tooth surface of spiral bevel gear

图9 弧齿锥齿轮建模过程
Fig.9 The modeling process of spiral bevel gear

5.2 弧齿锥齿轮模型的检验

根据上述的建模方法，建立另外一个齿数z2=46，模数m=6的左旋弧齿锥齿轮模型，二者传动比为46∶15。把2个齿轮模型导入CATIA的装配设计模块中，添加合适的位置约束和接触约束(两锥齿轮的锥顶点重合，轴线垂直)，通过CATIA装配设计模块中的“碰撞停止”命令调整两齿轮的相对位置，使其相互正确啮合(如图10所示)。通过观察可以发现两齿轮无干涉现象，可以验证所建模型的准确性和可靠性。

图10 弧齿锥齿轮装配图
Fig.10 Assembling diagram for spiral bevel gear

6 结束语

介绍了产形线切齿法原理，它不同于现有的齿轮加工方法。产形线切齿法从齿轮齿面的生成机理出发，以齿面的发生线构形刀具用于加工齿轮齿面，这种加工方法具有切齿效率高、没有原理误差、机床运动简单等优点。

由于用产形线切齿法原理加工的齿轮的参数是以基锥为基础的，而现有的齿轮计算体系是以节锥为基础的，所以本文推导了基于产形线切齿法的弧齿锥齿轮的齿面方程，确定了弧齿锥齿轮齿面的界限，同时提出了一种由弧齿锥齿轮基锥螺旋角计算节锥螺旋角的方法。

提出了一种基于产形线切齿法的弧齿锥齿轮精确建模方法，并建立一个右旋弧齿锥齿轮精确模型。结果表明这种建模方法理论正确、简单实用、具有可行性，并为弧齿锥齿轮进行有限元分析等研究奠定了基础。