超声速气流中壁板颤振分析及负电容分流控制

壁板颤振是一种典型的气动弹性问题，它是飞行器表面蒙皮在气流中受到气动力作用而产生的一种自激振动[1]。壁板颤振可以引起飞行器表面蒙皮疲劳破坏以及附近仪器设备的损坏[2]。超声速壁板颤振是高速飞行器设计中需要考虑的关键问题之一，对壁板颤振进行控制对于提高飞行器性能和可靠性具有重要意义[3]。Dowell[4-5]对壁板颤振进行了开创性研究，揭示了壁板颤振的非线性本质特征。Xie等[6-8]对壁板颤振机理和非线性壁板颤振模型降阶开展了较深入的研究，杨智春等[9]对壁板颤振分析模型和分析方法进行了综述。

近年来，随着智能材料的发展，越来越多的学者将智能材料引入到结构振动控制中。压电材料作为一种常见的智能材料，可以通过压电效应实现机械能与电能的转换，被广泛用作结构振动控制的传感器或驱动器。压电分流技术是20世纪70年代出现的一种结构振动控制技术，其原理是通过压电片将结构振动的机械能转换为电能，然后利用连接的分流电路对其进行抑制。1979年Forward[10]首次提出压电分流的概念，并利用电感和电阻分流电路对结构的模态振动进行抑制，其研究方法主要基于实验测试。直到1991年Hagood等[11]给出了压电分流系统的数学模型，有关压电分流技术的研究工作才逐渐增多。随后，各国学者进行了大量的理论和实验研究，提出了不同的分流电路类型，包括谐振分流电路[12]、开关分流电路[13]和负电容分流电路[14]等。其中，负电容分流电路是一种主动电路，与谐振分流电路和开关分流电路相比具有更好的控制效果。负电容分流电路利用负电容抵消压电片固有电容，可以大大提高压电片等效机电耦合系数，增强电路的分流效果。Tang等[15]比较了负电容分流电路和谐振分流电路的振动控制效果，发现负电容分流电路的控制效果要远远优于谐振分流电路。Park等[16]利用负电容分流电路对悬臂梁的多个模态振动进行控制，实现了0～3 000 Hz内5 ～20 dB的振动衰减。Marneffe等[17]研究了负电容对压电堆的增强作用，分析了系统的稳定裕度和控制效果，结果表明负电容分流电路比被动分流电路控制效果好，但比积分力反馈控制效果差。Manzoni等[18]研究了负电容分流电路的减振特性，分析了电路的稳定性，并对电路进行了优化。国内也有学者对负电容分流电路的振动控制效果进行了一些研究，张文群等[19]研究了不同负电容分流电路的能量耗散特性，发现串联电路的中低频特性较好，而并联电路的高频特性较好。沈星等[20]在结构表面粘贴压电片，采用电阻负电容分流电路对结构振动进行控制，并且设计了一种补偿电路来提高负电容的转换精度。马小陆等[21]利用负反馈控制理论推导了负电容压电分流系统的控制系统模型，并对其进行了稳定性分析。

已有研究结果表明，负电容分流电路可以改变压电片等效弹性模量[22-23]，因而本文提出利用负电容分流电路修改壁板刚度，以实现对超声速气流中壁板颤振的控制。首先，采用有限元方法建立模型，对壁板颤振特性进行分析。然后，根据壁板颤振时的模态振型，在壁板上粘贴压电片，并在每个压电片上连接一个相同的负电容分流电路。最后，建立负电容分流电路和壁板的机电耦合模型，分析负电容对颤振边界影响，并通过非线性仿真验证负电容对壁板颤振的控制效果。

1 壁板颤振分析

1.1 壁板模型

壁板模型为正方形薄板，边长为a=800 mm，厚度为h=3 mm，如图1所示。壁板材料为铝，密度为2 730 kg/m3，杨氏模量为70 GPa，泊松比为0.33。壁板边界条件为四边简支，且只有上表面受到超声速气流的影响。超声速气流参数采用海拔7 km的高空大气参数，空气密度为0.59 kg/m3，声速为312.31 m/s。

图1 壁板模型(mm)

Fig.1 Layout of the panel(mm)

1.2 数学建模

壁板在超声速气流中受到气动力作用，可以采用活塞理论计算壁板所受到的气动力[24]。本文将分别采用一阶线性活塞理论和三阶非线性活塞理论对壁板进行频域颤振边界计算和时域非线性颤振响应分析。

由一阶线性活塞理论可知，壁板上的气动力可以表示为

(1)

式中：q为气流动压；V∞为气流速度；Ma为马赫数；w为壁板横向位移。

由三阶非线性活塞理论可知，壁板上的气动力可以表示为

(2)

式中，γ为比热比。

壁板厚度远小于面内尺度，可以忽略结构的横向剪切变形，采用Kirchhoff板模型对壁板进行有限元建模。其中，频率颤振边界计算时采用线性模型进行建模，而时域非线性颤振响应分析时将考虑几何非线性，采用von Karman大变形应变位移关系。采用哈密尔顿原理和标准有限元方法对壁板进行有限元建模，可以得到离散后的壁板动力学线性和非线性方程分别为[25]

(3)

(4)

式中：X为广义位移向量；线性模型中质量矩阵M、刚度矩阵K、气动阻尼矩阵Cair和气动刚度矩阵Kair都是常值矩阵；非线性模型中刚度矩阵K(X)、气动阻尼矩阵和气动刚度矩阵都是位移的函数。

在频域内求解式(3)的特征值ξ，其实部α为振动衰减率，虚部β为振动圆频率，定义模态频率f和模态阻尼δ为

(5)

(6)

当模态阻尼δ<0时，衰减率α>0，壁板将发生颤振，此时对应的模态频率即为颤振频率，对应的气流速度即为颤振速度。而非线性颤振响应的计算需要在时域内对式(4)进行迭代求解。

1.3 颤振边界计算

利用以上有限元方法和壁板参数对壁板模态频率和模态阻尼进行计算，得到壁板第一阶和第二阶模态参数随马赫数(1.5<Ma<4.0)的变化如图2所示。从图2可知，随着马赫数的增加，壁板第一阶模态频率升高，第二阶模态频率降低，在Ma=3.08时出现重合。但受到气动阻尼的影响，此时模态阻尼仍然大于零，还不会发生颤振。当Ma=3.11时，模态阻尼等于零，壁板开始颤振。

图2 壁板模态频率和模态阻尼随马赫数的变化

Fig.2 Variation of modal frequencies and damping with Mach number

壁板发生颤振时的模态振型如图3所示，从图3可知，壁板发生颤振时，壁板的变形主要发生在壁板左半平面，这将为后面颤振控制时压电片的粘贴位置提供参考。

图3 壁板颤振时的模态振型

Fig.3 Mode shape of panel flutter

1.4 非线性颤振响应

以Ma=3.5为例研究壁板非线性颤振响应，此时壁板将出现几何非线性，采用式(4)求解得到壁板的非线性响应(位移最大的点)如图4所示。从图4可知，壁板受到一个微小的初始扰动后，随着时间的增加位移逐渐增大，但受到几何非线性的影响，壁板位移并不会无限增大，而是渐渐趋于稳定值。壁板稳定后的振动频率为52.63 Hz，振动幅值约为1.12 mm。

图4 壁板非线性颤振响应

Fig.4 Nonlinear flutter response of the panel

2 壁板颤振控制

2.1 控制方案

为了提高壁板的颤振马赫数，本文提出采用压电分流电路对壁板颤振进行控制。壁板发生颤振后在左半平面内的椭圆形区域内变形较大(见图3)。为了使压电片产生较好的控制效果，将5个相同的正方形压电片布置在变形较大的椭圆形区域内，如图5所示。压电片边长b=80 mm，厚度为τ=0.4 mm。压电片材料为PZT-5H，密度为7 500 kg/m3，面内弹性柔顺系数分别为16.5×10-12 m2/N和-4.78×10-12 m2/N，压电系数d31=-2.74×10-10 C/N，厚度方向介电常数3.01×10-8 F/m。

图5 压电片安装位置(mm)

Fig.5 Mounting location of piezoelectric patches(mm)

从大量已发表的文献可知，负电容分流电路可以改变压电片等效弹性模量，从而改变结构模态频率。因此，本文将在每个压电片上连接一个相同的负电容分流电路，如图6所示。利用运算放大器的“虚断”和“虚短”特性可得该电路的等效复阻抗为负电容，且电容值为

图6 负电容分流电路

Fig.6 Shunting circuits with negative capacitance

(7)

定义负电容Cn与压电片固有电容的绝对值之比为

(8)

从已发表文献的研究结果可知，负电容分流电路引入了主动元件，过大的负电容值会引起系统失稳，其稳定条件为λ<1[26]。

2.2 数学建模

引入压电分流电路后，压电片产出机电耦合，利用分流电路对壁板响应进行控制。引入压电方程，同样采用哈密尔顿原理和标准有限元方法对壁板和压电片进行有限元建模，可以得到离散后的耦合系统动力学线性和非线性方程分别为

(9)

(10)

与式(3)和式(4)相比，式(9)和式(10)出现了耦合项，并且各自多了一个方程。式中：Φ为压电片上的电势差向量；N和分别为线性和非线性压电耦合矩阵；G为压电片电容矩阵；Q为电荷向量；上标T为转置算符。

压电片与负电容分流电路相连，因此压电片上电势差向量Φ与电荷向量Q之间存在如下电学关系

(11)

将式(11)代入式(9)和式(10)可以计算得到壁板在超声速气流作用下的颤振边界和非线性颤振响应。

2.3 分流电路对颤振边界的影响

利用以上有限元方法和壁板参数对壁板模态频率和模态阻尼进行计算，得到采用压电分流电路(λ=0.9)进行控制后，壁板第一阶和第二阶模态参数随马赫数(1.5<Ma<4.0)的变化如图7所示。当分流电路开路，Ma=3.24时，壁板开始颤振，可见粘贴压电片后，壁板颤振马赫数稍有提高(0.13)。当分流电路闭合，Ma=3.71时，壁板开始颤振，壁板颤振马赫数增加了0.47。

图7 负电容对颤振边界的影响

Fig.7 Influence of negative capacitance on flutter boundary

颤振马赫数随负电容的变化如图8所示。从图8可知，随着负电容比值λ(λ<1)的增大，颤振马赫数逐渐增大。而且，比值λ越接近1，颤振马赫数的增大越快。但是受到电路稳定条件的限制，比值λ越接近1，电路会变得越敏感，并趋于不稳定。

图8 颤振马赫数随负电容的变化

Fig.8 Variation of flutter Mach number with negative capacitance

2.4 分流电路对非线性响应的影响

同样以Ma=3.5为例研究壁板非线性颤振响应的变化。采用式(6)分别计算电路开路和闭合时，壁板的非线性颤振响应(位移最大的点)，如图9所示。从图9可知，当分流电路开路时，壁板受到一个微小的初始扰动后，随着时间的增加位移逐渐增大，但受到几何非线性的影响，壁板位移并不会无限增大，而是渐渐趋于稳定值。而电路闭合时，壁板受到微小初始扰动后，位移会随着时间而逐渐衰减。这与图7得到的结果一致，即电路开路时，壁板会在Ma=3.5发生颤振，而电路闭合时不会。这也说明负电容分流电路可以提高壁板的颤振边界。

图9 壁板非线性颤振响应随电路的变化

Fig.9 Variation of nonlinear flutter response with shunting circuits

3 结 论

(1)提出利用负电容分流电路对超声速气流中的壁板颤振进行控制，采用有限元方法建立了壁板颤振计算模型，分析了负电容分流电路对壁板的颤振边界和非线性颤振响应的影响。

(2)研究结果表明随着负电容比值λ(λ<1)的增大，颤振马赫数也逐渐增大，而且比值λ越接近1，颤振马赫数的增大越快，但比值λ接近1时，电路会趋于不稳定。在λ=0.9时，壁板颤振马赫数从3.24增加到了3.71。

(3)以Ma=3.5为例研究了壁板非线性颤振响应的变化，验证了负电容分流电路颤振控制的有效性。当电路开路时，壁板将产生极限环振荡。而电路闭合时，壁板不会形成颤振，受到初始扰动后，振动幅值随时间逐渐衰减并趋于零。因此，负电分流电路可以有效提高壁板的颤振临界速度。