桥式龙门铣床横梁方案设计及其多目标决策方法

0 引言

数控机床作为工业自动化发展的母机，被广泛应用于航空、模具制造、船舶机械等领域[1-2]。为满足大型复杂空间曲面零件的加工要求，桥式龙门铣床采用横梁移动式、工作台静止的结构设计，适应了现代数控机床高效率、高精度的发展趋势。横梁作为桥式龙门铣床的主要运动部件，其上承载着滑座、滑枕、主轴等关键零部件，对机床整机的工作性能具有重要的影响[3]。传统的横梁设计多采用经验设计或类比设计，缺乏相应的理论依据，且横梁设计方案须经多次试制、装机测试和修改来确定，产品研发周期长、设计成本高。近年来，随着有限元分析软件的广泛应用和现代机械设计理论方法的发展与完善，一些学者在计算机虚拟建模及仿真分析的基础上，采用多目标遗传算法[4]、灵敏度度分析法[5]和拓扑优化方法[6]等进行横梁结构的设计，使得横梁设计方案的种类趋于多样化。但面对众多的横梁设计方案，如何进行科学的评价，快速有效地选择出综合属性最优的横梁设计方案成为数控机床研发过程中亟待解决的问题。

横梁的方案设计及优选决策，实质上属于多层次、多指标同时包含定量与定性因素的灰色综合决策问题，其涉及的多个因素相互关联，共同影响决策结果。在横梁结构设计阶段，设计者得到的信息往往是不充分的，且具有一定的模糊性，给方案的设计和优选决策带来了很大的困难。对于横梁方案设计与决策信息的模糊性和灰色性特征，当前常用的基于可拓理论的评价法[7]、层次分析法[8]、质量功能配置法[9]等方案优选决策方法仍存在一定的不足和缺陷。鉴于此，本文通过正交试验设计方法确定横梁候选设计方案，并采用模糊层次分析法和灰色关联法处理决策指标数据，建立基于灰色关联度的模糊综合评价体系，进行科学、全面的比较分析，解决优选决策过程中信息量不充分、准确性不高和难以定量的问题，从而得到综合属性最佳的横梁设计方案。

1 横梁方案设计与分析

桥式龙门铣床横梁的方案设计需要考虑多因素多水平条件下横梁所具有的综合属性指标。这些属性指标作为横梁方案设计与决策的依据，除了包括技术方面的指标，如静力学性能、抗振性、轻量化等，还包括经济方面的一些指标。然而，在横梁设计方案的实际设计与决策过程中，很难通过对每一种因素水平的参数组合进行全面的分析论证，确定其对应的各项属性指标的优劣。为充分了解各参数组合下横梁设计方案的综合属性指标，采用正交试验方法进行规划横梁设计试验方案，挑选出代表性强的参数组合作为横梁候选设计方案参与决策，降低横梁设计方案的优选决策难度[10]。

1.1 确定试验因素、水平和决策指标

由于影响横梁设计与决策的因素繁多且机床自身对于横梁结构设计的限制较大，在横梁方案设计的过程中，本文基于传统的机床横梁设计理念并结合工程实际应用特点，主要考虑以下因素进行横梁结构方案设计。

(1)横梁结构布局形式 横梁结构布局形式主要包括侧挂式结构和箱中箱结构，具体如图1所示。其中，传统龙门铣床采用的横梁有悬臂特征，滑座、滑枕等零部件悬挂在横梁一侧，本文称该类横梁为侧挂式横梁，如图1a所示。在加工工件过程中，悬臂结构因受力不均而易发生变形，降低工件加工精度，而桥式龙门铣床的结构特点为横梁结构布局形式的改变提供了条件。如图1b所示，箱中箱式横梁采用对称结构，滑座组件(滑座、滑枕等)置于横梁截面中间，沿横梁前后两侧主壁面上的线轨左右移动，有利于力流的传递，但相较传统横梁而言，结构复杂、制作成本高，且装配困难。两种结构布局形式各有利弊，需要综合考虑。

(2)横梁导轨类型 如图1所示的横梁导轨类型主要分为硬轨和线轨两种。硬轨能够承受较大的工作载荷，机床运行更加平稳，但其加工和装配难度较大，且维修成本高，不能承受过快的运行速度，适用于大型模具、高硬度工件、精度要求一般的工件；线轨相较于硬轨而言，承载能力小，能承受较快的机床运行速度，精度高且方便装配与更换，维修成本低，适用于高速加工、小型精密模具。根据桥式龙门铣床加工对象的要求，主要选取硬轨与全滚柱直线导轨作为试验因素。

(3)筋板结构与厚度 考虑到横梁承受空间载荷的情况，合理地选择和布置筋板结构与厚度，是实现机床横梁轻量化设计的重要基础，对确定具有较好静动态特性的横梁具有重要意义。根据当前机床加工企业中桥式龙门横梁常使用的筋板类型，选定初始参数20 mm和25 mm作为筋板厚度，初步设计了井型、菱型、O型、V型4种筋板结构，如图2所示。

为了较为准确、全面地反映各因素水平参数组合的优劣，确定最优横梁设计方案，本文选取横梁的最大变形量和最大等效应力作为决策指标反映各横梁设计方案的静力学性能；由于低阶模态特性基本决定了横梁结构的振动性能，故选取横梁的前三阶固有频率作为决策指标反映各横梁设计方案的抗振性能；选取横梁的质量和外形体积作为决策指标反映各横梁设计方案的轻量化水平；选取横梁的生产装配成本和维护成本作为决策指标反映各横梁设计方案的经济指标。各决策指标之间既相对独立又相互关联，共同对横梁设计方案的优选决策产生影响。通过确定各项决策指标的属性值，为横梁设计方案多目标决策方法的实施提供了数据支持。

1.2 正交试验方案及决策指标值的确定

正交试验设计[11]是一种基于工程经验与专业理论的数理统计方法，利用正交表可以合理地安排多因素、多水平的试验方案。结合1.1节所述内容，以横梁结构布局形式、导轨类型、筋板结构与厚度作为正交试验的因素，构建如表1所示的4因素混合水平正交表。

表1 正交试验因素与水平

由于决策指标中既有定性指标又有定量指标，技术方面的定量指标的确定需结合企业某型号桥式龙门铣床对横梁的规格要求，利用SolidWorks软件对表1中各因素水平确定的横梁结构方案进行三维建模，其主要的几何尺寸如表2所示。

表2 横梁三维模型主要几何尺寸 mm

采用ANSYS Workbench对各横梁设计方案进行有限元分析，获得相应的仿真数据。分析时，将横梁主体材料设置为灰铸铁HT300，线轨材料设置为碳素钢55。根据横梁结构形状特点，采用软件中的智能网格划分和人工干预相结合的方式进行网格设置，并及时检查单元质量加以修正，避免求解结果出现较大的计算误差；按照横梁受力最恶劣的极限工况，即滑座组件运行到横梁导轨中间位置，滑枕伸出最长时，设置约束与载荷条件。由于约束和载荷的加载位置以及载荷的大小仅与横梁的结构布局形式相关，仅以横梁正交试验设计方案中的两种方案作为示例，得到如图3所示的有限元分析模型。

按照上述横梁结构的有限元分析流程，分别建立正交试验设计确定的8种横梁结构方案相对应的有限元分析模型，并进行静、动态特性分析。限于篇幅，本文只给出三维建模及仿真结果数据；对于经济方面在产品研发阶段难以定量分析的定性指标，则邀请从事机床研发、应用领域的专家按照十分制进行打分判断。通过以上原则可以获得正交试验方案结果的分析报告数据，即决策指标值，如表3所示。

表3 横梁设计方案决策指标及数值

2 基于FAHP-GRA的多目标决策方法

2.1 多目标决策方法实施流程

横梁设计方案各决策指标的含义和目的不同，且指标值之间具有不同的量纲和数量级。因此，仅对正交试验结果数据进行简单的直观分析，难以确定各试验方案的优劣。为了更好地对横梁设计方案决策指标值进行规范化的数据处理，解决横梁设计方案的多目标优选决策问题，确定了模糊层析分析法与灰色关联法相结合的横梁设计方案多目标决策方法，并制定了与之相适应的技术实施流程，具体流程如图4所示。

2.2 FAHP法确定决策指标综合权重

模糊层次分析法[12]将模糊理论与层次分析法相结合，充分考虑了决策者进行评判时的主观性和模糊性，从而确保决策指标定量分析的准确性和定性分析的科学性，同时又兼顾了二者之间的统一性，为横梁设计方案决策指标综合权重的确定提供了较为客观的方法。具体如下：

(1)建立决策指标层次结构模型

针对横梁设计方案优选决策过程中需要综合考虑多个决策指标的特点，首先运用模糊层次分析法将决策问题进行条理化和层次化，构造一个基于层次结构的决策指标体系，如图5所示。该体系共分为三层：第一层主要为决策的目的或所要达到的结果，即确定最优横梁设计方案；第二层为上一层的从属指标，表示要达成决策目的之前首先要满足的决策目标；第三层为基本指标层，表示决策问题的最基本分解指标，直接反应各横梁设计方案的综合属性信息。

(2)构造模糊互补判断矩阵

根据模糊层次分析法原理确定各决策指标间的相互优先级关系，并以0.1～0.9标度法[13]作为判断准则对各指标进行两两比较，建立权重判断矩阵B=(bij)n×n，

(1)

(3)层次单排序

由文献[14]推导出的公式求解判断矩阵，得到矩阵B的权重向量

(2)

式中

(4)判断矩阵一致性检验[15]

令

(3)

则称n阶矩阵S=(wij)n×n为判断矩阵B的特征矩阵。B和S的相容性指标为

(4)

对于决策者的态度α，当相容性指标I(B,S)≤α时，认为该判断矩阵是满意一致的。α越小，矩阵的一致性要求越高，一般取α=0.2。

假设有k个专家，则有模糊判断矩阵对应的权重向量集合为特征矩阵为若t个判断矩阵Bk以及各判断矩阵间符合满意一致性，则模糊层次分析法权重为

(5)

(5)层次总排序

假设在具有r个层次的决策指标体系中，以第h个决策指标为准则的相对权重向量为当h=1,2,…,nr-1时，得到nr×nr-1阶的矩阵为

(6)

如果第r-1层上各决策指标对决策层的综合权重向量矩阵为则第r层上所有的决策指标对决策层的综合权重为

(7)

且一般地有

W(r)=P(r)P(r-1)…P(3)W(2)。

(8)

式中W(2)实际上与层次单排序下的相对权重向量相同。

2.3 横梁设计方案的灰色关联分析模型

由于本文是通过正交试验设计确定了8种横梁候选设计方案，而实际上因素水平参数组合形成的设计方案有32种，其余24中横梁设计方案的决策指标信息是未知的。在这种由已知信息和非确定信息组成的灰色系统中，很难获得最佳方案。而灰色关联分析法[16]是根据因素之间的发展趋势的相似或相异度来衡量因素之间关联度的方法，适用于横梁设计方案的多目标优选决策问题的解决。具体如下：

(1)决策矩阵的构造

设横梁候选设计方案共有m个，决策指标共有n个，xij表示第i个横梁设计方案的第j个指标的属性值，则初始决策矩阵为

(9)

在横梁设计方案决策目标中，由于抗振性对应的决策指标值要求是越高越好，而静力学性能、轻量化和经济指标所对应的决策指标值要求则是越低越好，且各决策指标之间不同量纲和数量级对横梁设计方案的评价优选有较大影响。因此，为便于进行灰色关联分析，将横梁设计方案的所有决策指标进行归一化处理，处理方法为

(10)

式中：i=1,2,…,m；j=1,2,…,n

对矩阵X按照式(10)进行归一化处理后为：

(11)

(2)灰色关联系数矩阵的构造

由于横梁设计方案的决策具有比较上的相对性，先构造一个理想的参考方案[17]，记为其中

y0j=max(y1j,y2j,…，ymj)。

(12)

则理想参考方案可以理解为以所有候选设计方案中相应评价指标的最佳值作为参考序列。以m个设计方案的决策指标属性值分别作为比较数列，并用关联系数的大小来衡量参考序列与比较序列之间的数据关系的贴近程度。不同设计方案下各决策指标的关联系数计算公式为

(13)

式中：ξij为第i个比较序列与参考序列y0中第j个指标的关联系数，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n；ρ为分辨系数，且ρ∈[0,1]，一般取ρ=0.5。

(3)灰色关联度的计算

结合2.2节中FAHP法确定的横梁设计方案决策指标体系的第三层中所有决策指标的综合权重向量矩阵为得到决策体系中n个决策指标对决策层的综合权重向量为

(14)

将求解得到的n个决策指标对决策层的综合权重向量W(3)应用于横梁候选设计方案与理想方案灰色关联度d的计算，公式为

(15)

(4)最优方案的确定

首先根据评价方案的灰色关联度大小进行优选排序，关联度越大说明该设计方案与理想方案越接近，则该设计方案也越优，从而确定横梁候选设计方案中的优选方案；其次，由于本文采用正交试验方法挑选出几个具有代表性的横梁设计方案作为候选方案，并未对所有设计参数组合形成的设计方案进行分析，还应根据di计算同一因素下各水平的平均关联度，并选取其中平均关联度最大的因素水平组合形成的设计方案与横梁候选设计方案中的优选方案进行对比分析，最终确定横梁设计最优方案。

3 横梁设计方案决策实例

本章以桥式龙门铣床横梁设计方案优选决策为例，运用第2章所提出的多目标决策方法对正交试验确定的横梁候选设计方案各决策指标值进行规范化处理，优选出横梁最佳设计方案，从而验证多目标决策方法的有效性和实用性，

3.1 确定决策指标综合权重

在确定横梁设计方案各层决策指标相对权重时，邀请两名长期从事数控机床开发和应用的专家按照0.1～0.9标度法对静力学性能S、抗振性V、轻量化W和经济指标E进行两两比较，得到模糊互补判断矩阵。为了便于矩阵的表达，以表格形式呈现，具体如表4所示。

表4 目标层各决策指标对决策层的重要度评判矩阵

根据式(1)和式(2)分别计算出两位专家确定的目标层相对权重向量为：

W1=(0.275 0.250 0.250 0.225)，

W2=(0.267 0.267 0.233 0.233)。

根据式(3)和式(4)求得B1与S1的相容性指标为

I(B1,S1)=0.081<0.2，

B2与S2的相容性指标为

I(B2,S2)=0.065<0.2。

由此可判断模糊判断矩阵B1和B2均满意一致，其对应的目标层的相对权重向量W1、W2的分配是合理的。同时检验模糊判断矩阵B1和B2之间的满意相容性：I(B1,B2)=0.113<0.2，故认为模糊判断矩阵之间是满意相容的。

综上所述，将相对权重集的均值作为目标层的相对权重分配向量是合理可靠的。由式(5)可知，综合两个专家意见后得到目标层的相对权重向量为

W=(0.271 0.258 0.242 0.229)。

同样地，通过构建指标层的模糊判断矩阵，计算出指标层各决策指标的相对权重向量，并由式(6)～式(8)计算出综合权重，如表5所示。

表5 各层次决策指标相对权重及综合权重

3.2 灰色关联度的计算

根据式(9)～式(11)建立决策矩阵为

在决策矩阵Y的基础上，根据式(12)和式(13)计算得灰色关联系数矩阵为

结合表5中求得的决策指标综合权重数据，由式(14)和式(15)计算处理得到各横梁候选设计方案的灰色关联度，为便于后续各水平的平均灰色关联度的计算，以表格的形式呈现，具体如表6所示。

表6 横梁候选设计方案灰色关联度

然后再根据表6计算各水平的平均关联度，具体如表7所示。

3.3 最优设计方案的确定与讨论

基于关联度的优选排序原则及表6中的各横梁候选设计方案灰色关联度，得到各方案综合属性的优劣次序为方案P1>P5>P4>P8>P2>P6

表7 各水平的平均灰色关联度

>P3>P7，可初步确定参数组合为“箱中箱—井—20 mm—线轨”的横梁候选设计方案P1为优选设计方案。通过分析表7中各水平平均关联度，选取其中平均关联度最大值对应的水平，得出参数组合为“侧挂式—井—20 mm—线轨”为最优参数组合。对于出现两种最优参数组合的横梁设计方案，经分析可知，由于本文中横梁方案的设计是通过正交试验方法安排因素水平组合，仅挑选出比较具有代表的方案，并未对所得试验方案进行探讨，因而有可能存在隐藏的最佳横梁设计方案。为此，将得到的新的参数组合“侧挂式—井—20 mm—线轨”作为方案P9进行试验分析，得到该方案的决策指标值，并将其与方案P1的决策指标值对比，如表8所示。

表8 方案P1与P9对比分析

由表8可知，与P1相比，P9在静动态特性方面得到明显改善，但二者的轻量化和经济指标有略微差距。为更进一步准确地得出综合属性最优的横梁佳设计方案，需要重新求解决策矩阵的构造与灰色关联度。根据式(9)～式(15)计算得各横梁设计方案的灰色关联度，如表9所示;各水平平均关联度的再计算结果如表10所示。

表9 设计方案的灰色关联度再计算结果

表10 各水平的平均灰色关联度再计算结果

同样地，通过分别分析表9中设计方案的灰色关联度和表10中各水平的平均灰色关联度再计算结果，得到因素水平参数组合相同的横梁设计方案，其参数组合皆为“侧挂式—井—20 mm—线轨”。该方案与前文灰色关联分析所得到的横梁设计方案P9一致，可最终确定P9为最佳设计方案，其三维模型如图6所示。

由方案实例可知，本文采用正交试验方法设计横梁结构，并通过模糊层次分析法与灰色关联法相结合进行横梁设计方案的决策是合理可行的。该方法不仅可以从候选方案中选出最佳方案，还可发现候选方案之外的最佳方案。同时也应该认识到最佳横梁设计方案只是综合属性最优，而并不是各个指标均是最优的状况。因而，后续的结构优化设计可针对其轻量化指标的不足，将质量作为重要的优化目标，对横梁的壁厚等尺寸进行灵敏度分析与优化，并尽量降低经济成本。

4 结束语

本文针对桥式龙门铣床横梁多因素多水平的结构设计特点，采用正交试验方法进行横梁候选方案的结构设计，获得各方案决策指标值。通过运用正交试验将原则上需要做32次的试验减少到了8次，在一定程度提高了效率，为横梁设计方案多目标决策方法的实施奠定了基础。

为避免决策的主观性与模糊性，确保决策指标定量分析的准确性和定性分析的科学性，采用模糊层次分析法构建横梁设计方案决策指标体系，以静力学性能、抗振性、轻量化和经济指标为主要决策目标，并进一步细分，力求充分反映横梁设计方案综合属性，获得各决策指标的综合权重；对于具有“灰色特征”的决策指标体系，采用灰色关联法计算各横梁候选设计方案的灰色关联度与各水平的平均灰色关联度，得到两种不同参数组合的横梁设计方案进行二次灰色关联分析，最终确定参数组合为“侧挂式—井—20 mm—线轨”的横梁最佳设计方案。

本文所提出的桥式龙门铣床横梁设计方案设计及其多目标决策方法融合了正交试验设计、模糊层次分析法与灰色关联法的优点，理论性强、决策求解收敛速度快，具有较强的工程实用性，为数控机床其他关键零部件的设计提供了有益的方法参考。未来还可嵌入智能优化算法，结合专家决策系统开发形成交互的计算机软件模块来应对大规模的产品优选决策问题，进一步拓展其应用领域。