摘要：传统的工程算法忽略了横梁扭转对加筋板结构轴压承载能力的影响，本文提出了考虑横梁扭转刚度的单纵桁加筋板结构承载能力算法，基于能量原理采用Ritz法解决薄壁杆件约束扭转分析中转角难以求解的问题。编写了MATLAB程序分别对含单根横梁和等间距布局多根横梁情况下结构的承载能力进行计算，并与传统工程算法结果进行对比，结果显示横梁扭转对结构轴压承载能力存在一定的影响，忽略横梁扭转刚度的传统工程算法偏于保守。
关键词：加筋板；交叉梁系；结构稳定性；横梁扭转
0 引言
由蒙皮与纵、横骨架构成的加筋板结构，是综合考虑结构强度和稳定性等因素下的轻质结构形式，结合其成熟的制备工艺，作为承力结构在航空航天、船舶、桥梁等领域受到广泛的应用[1-3]。工程中的加筋板壳结构，如飞机机身机翼、运载火箭舱段结构，主要承受轴压载荷并经常受到扰动，屈曲失稳是主要的破坏形式，因而在设计分析中，结构稳定性是需重点关注的设计因素[4-6]。
加筋板结构受轴压载荷时，蒙皮主要起维形的作用，纵桁是主要的承力构件，横梁对纵桁起支撑作用，因而在计算轴压承载能力时，通常简化成交叉支撑梁系进行计算分析，而将蒙皮等效成加筋件的附连翼板进行处理。目前国内已有众多的相关力学书籍[7,8]和设计标准[9]对此进行分析说明，并提供了简化的工程计算公式。然而这些传统的工程算法忽略了横梁扭转对承载能力的影响，使得计算结果偏于保守。为此，本文提出了考虑横梁扭转刚度的加筋板结构轴压承载能力计算方法，并结合算例探究横梁扭转刚度对等间距加筋布局的单纵桁加筋板结构轴压承载能力的影响。
图1 加筋板
Fig.1 Stiffened panel
图2 交叉支撑梁系
Fig.2 Crossed beam system
1 传统工程算法
传统工程算法在进行结构轴压承载能力分析时，只考虑了横梁的弯曲刚度，忽略了横梁的扭转刚度对结构稳定性的影响。即仅计及横梁为纵桁提供的水平支撑刚度，将纵桁视作受一系列横向弹性支撑的多跨压杆，如图3所示。
图3 受一系列横向弹性支撑的多跨压杆
Fig.3 Compressive column under a series of transverse elastic supports
传统工程算法计算结构承载能力的步骤为[7]
1）确定横梁提供的水平支撑刚度
：对于只有一根纵桁的情况
，其中是与横梁边界条件相关的系数，和
分别为横梁的抗弯刚度和长度；
2）计算横梁相对于纵桁的中间弹性支座的无因次刚度系数：
，其中
为纵桁的抗弯刚度，
为相邻横梁的间距；
3）查询
曲线图，确定相对承载能力
；
4）最终得到纵桁的承载能力：
。
2 考虑横梁扭转刚度的算法
针对传统工程算法中存在的不足，本文提出考虑横梁扭转刚度的承载能力计算方法。即同时计及横梁为纵桁提供的水平支撑刚度和转角支撑刚度，将纵桁视作同时受一系列横向弹性支撑和扭转弹性支撑的多跨压杆，如图4所示。
图4 同时受两种弹性支撑的多跨压杆
Fig.4 Compressive column under two kinds of elastic supports
2.1 横梁提供的水平弹性支撑刚度计算
将横向载荷
加在横梁与纵桁的结点
处，如图5(a)所示，梁的挠度可以表示为[7]
（1）其中参数
由横梁两端的边界条件确定。横梁提供的水平支撑刚度即为集中力与集中力作用点处梁的挠度比值
（2）
图5 横梁支撑刚度计算模型
Fig.5 Calculation model of supporting stiffness provided by transverse beam
2.2 横梁提供的转角弹性支撑刚度计算
将扭矩加在横梁与纵桁的结点
处，如图5(b)所示。该问题属于约束扭转问题，对于开口截面薄壁杆件，扭转角的微分方程表达式为[10]
（3）其中
为扭转角，
为扭矩载荷，
为自由扭转抗扭刚度，为折减弹性模量，
为截面扇形惯性矩。
该方程的解析解为超越方程，难以求解，因此考虑采用Ritz法求解其数值解。由能量原理知，结构的总势能为
（4）对于本问题，外载荷只有集中扭矩，则外力势能为
（5）
根据位移边界条件选取位移状态函数
（6）带入式（4）中，对于两端简支边界条件
（7a）
对于两端固支边界条件
（7b）利用势能驻值条件确定参数
，继而得出转角的表达式。
横梁提供的转角支撑刚度即为集中扭矩与集中扭矩作用点处杆的扭转角的比值
（8）2.3 同时受横向弹性支撑和扭转弹性支撑的多跨压杆失稳临界载荷计算
受轴压梁的挠曲线微分方程为
（9）其中
为纵桁的横向挠度，
为抗弯刚度，
为所受的轴压载荷。
采用有限元法求解其数值解，构造单元位移插值函数时，采用传统的三阶多项式函数
（10）微分方程（9）对应的泛函（梁的弹性势能）由弯曲应变能和轴向应变能两部分构成
（11）
将位移插值函数（10）带入，可知单元的弯曲刚度矩阵和轴向刚度矩阵
（12）
（13）
设共有n对横向弹性支撑和扭转弹性支撑，其中位于
的第k对横向弹性支撑和扭转弹性支撑的刚度分别为
和，则弹性支撑提供的弹性势能为
（14）进行总刚度矩阵组装时，只需要将
和
分别添加在总刚度矩阵中处节点
和方向对应的主对角元素上，则结构的总刚度为
。此时结构失稳归结为求解特征值问题
（15）
得到的特征值即为失稳临界载荷。
3 算例分析与结果对比
将上述算法集结成MATLAB程序，其中里兹法取三角级数前三项，有限元法每一跨划分40个单元，分别对只含有单根横梁和等间距分布多根横梁情况下的加筋板结构轴压承载能力进行计算，并与传统工程算法结果进行对比。
3.1 只有单根横梁的情况
首先考虑只含有单根横梁的简单情况，如图6所示，结构为铝合金材料，杨氏模量E为70GPa，泊松比
为
，纵桁的边界条件为两端简支，横梁的边界条件为两端固支。
图6 含单根横梁的交叉梁系
Fig.6 Crossed beam system with single transverse beam
固定间距
为500mm，纵桁箱型截面参数a为15mm，改变横梁槽型截面参数，两种算法下结构的相对承载能力
随横梁截面参数的变化关系如图7所示。其中相对承载能力
，
表示纵桁单跨失稳载荷
。
图7 单根横梁情况下相对承载能力随横梁截面参数的变化关系
Fig.7 Relative load-bearing capacity vs section parameters of transverse beam in case of having single transverse beam
由图7可知两种算法下结构的承载能力随横梁截面参数的变化关系均可分为两段曲线，分别对应弱横梁情况和强横梁情况。
3.1.1弱横梁情况（曲线AB段）
当横梁截面尺寸较小，提供的支撑刚度未达到单跨失稳所需满足的简支支撑条件时(
)，两种算法得到的结构承载能力相同。这是由于弱横梁情况下，纵桁的失稳波形为一个半波，弹性支撑位于波峰（波谷）处，结点处的转角为0，承载能力仅受横向弹性支撑刚度的控制，扭转弹性支撑对承载能力不产生影响。极限情况下横梁截面尺寸为0，即纵桁不受支撑，相当于长度为的两端简支杆，相对承载能力
为0.25。
3.1.2强横梁情况（曲线BC(C′)段）
当横梁截面参数b增大到简支支撑临界值时，两种算法得到的承载能力变化曲线均出现拐点（图7中B点），此处对应纵桁失稳模态的改变，失稳波形由一个半波变为两个半波，如图8所示。此时弹性支撑位于波节处，结点处的挠度为0，横向弹性支撑刚度的增加对承载能力不再产生影响；而转角不为0，扭转弹性支撑刚度的改变对承载能力存在影响。
图8 强横梁情况下纵桁的失稳模态
Fig.8 Instability mode of longitudinal beam in case of strong transverse beam
而后随着横梁截面尺寸的继续增加，两种算法得到的承载能力开始呈现出差异。传统工程算法仅考虑横梁对结点处纵桁挠度的限制，当横梁提供的支撑刚度达到简支临界条件后，结点处纵桁挠度始终为0，即使横梁的截面尺寸继续增大，承载能力也不再发生变化（图7曲线BC段）。传统工程算法的极限相对承载能力
（两端简支），即横梁提供的极限弹性支撑为简支支撑。
考虑了横梁的扭转刚度后，横梁截面尺寸的增加会继续提高对结点处纵桁转角的限制，结构承载能力将继续提升（图7曲线
段）。此算法的极限相对承载能力
（一段简支一端固支），即横梁提供的极限弹性支撑为固支支撑。
3.2 等间距分布多根横梁的情况
对等间距分布多根横梁情况下结构的承载能力进行分析，如图9所示。固定间距
为300mm，纵桁截面参数a为15mm，改变横梁截面参数，分别对具有两根、三根和四根横梁情况下结构的承载能力进行计算，并与传统工程算法结果进行对比，两种算法得到的相对承载能力随横梁截面参数的变化关系如图10所示。
图9 具有多个横梁的交叉梁系
Fig.9 Crossed beam system with multiple transverse beams
图10 相对承载能力随横梁截面参数的变化关系
Fig.10 Relative load-bearing capacity vs section parameters of transverse beams
三种情况下结构承载能力的变化趋势大致相同，本文以具有三个横梁的情况为例，进行详细的分析说明。
由图10(b)可知，两种算法得到的相对承载能力随横梁截面参数的变化均可被拐点分为多段曲线，三处拐点（图中B(B′)，C(C′)，D(D′)点）均对应着失稳模态的改变，随着截面尺寸的增加，失稳波形由一个半波逐渐变为四个半波，各个阶段的失稳波形如图11所示，其中横向虚线表示未变形图，纵向虚线表示弹性支撑的位置。
图11 各个阶段纵桁的失稳模态
Fig.11 Instability mode of longitudinal beam in each stage
表1列出了一些特定截面参数下两种算法得到的承载能力结果对比。由图11知，各个阶段的失稳波形中均存在弹性支撑不处于波峰（波谷）处，即扭转弹性支撑始终对承载能力存在影响，因而两种算法得到的承载能力结果始终存在差异。
表1 两种算法下的结构承载能力
Table 1 Load carrying capacity under two algorithms
随着截面尺寸的增加，两种算法得到的承载能力结果偏差逐渐增大。当横梁的截面尺寸较小时，横梁提供的转角支撑刚度对结果的影响很小，可以忽略。然而在工程设计标准中，为安全起见通常要求横梁对纵桁提供足够的支撑刚度，以保证纵桁单跨失稳()，对于本文算例即要求截面参数至少为20mm，此时两种算法得到的承载能力相差7.15%，而在此基础上随着截面参数的增加，传统工程算法只考虑了对结点处挠度的限制，承载能力不再改变，而考虑扭转刚度后，仍会提升对结点处转角的限制而提高承载能力，两种算法下结构承载能力的差异将大幅增加，忽略横梁扭转的传统工程算法结果偏于保守。
4 结论
加筋板结构中横梁的弯曲刚度和扭转刚度分别通过限制结点处纵桁的挠度和转角来影响结构的承载能力。本文提出了考虑横梁扭转刚度的承载能力计算方法，对等间距加筋布局的单纵桁加筋板结构轴压承载能力进行分析，并与传统工程算法进行对比，得到如下结论：
1）只有单根横梁的情况
当横梁截面尺寸较小时，纵桁的失稳波形为一个半波，弹性支撑位于波峰处，横梁扭转对承载能力不产生影响，两种算法得到的承载能力相同。
当横梁截面尺寸较大时，即达到简支支撑条件后，纵桁的失稳波形为两个半波，弹性支撑位于波节处，横向弹性支撑刚度的增加对承载能力不再产生影响，而扭转弹性支撑刚度的增加对承载能力仍产生影响。忽略横梁扭转对承载能力计算结果存在较大偏差。
2）具有多根横梁的情况
当结构具有多根横梁时，各个阶段纵桁的失稳波形中均存在弹性支撑不处于波峰（波谷）处，扭转弹性支撑始终对承载能力存在影响，忽略横梁扭转的工程算法得到的承载能力偏小。且随着横梁截面尺寸的增大，横梁扭转对承载能力的影响更为明显，特别是对于工程上所采用的强横梁加筋板结构，忽略横梁扭转的传统工程算法结果偏于保守。
本文提出的考虑横梁扭转刚度的承载能力计算方法，是对加筋板壳结构承载能力理论分析的全新的探索，为未来加筋板壳结构的轻质化和精细化设计分析提供方向和思路。
