微波滤波器腔体Q值研究与分析①

0 引言

微波滤波器是现代微波中继通信、微波卫星通信、电子对抗等系统必不可少的组成部分，同时也是最为重要、技术含量最高的微波无源器件之一，其性能的优劣性往往直接影响到整个通信系统的质量。

目前最常用的滤波器设计是根据指标要求从插入损耗入手，由滤波函数得到频率与响应的函数关系，进而综合得出低通原型滤波器，再经过频率变换得到具体的滤波器电路结构。一般情况下滤波器函数综合方法都假定滤波器由无耗(无耗散)元件组成，但是实际上滤波器的所有元件都会消耗能量。由目前已有的研究可知，相对于无耗原型滤波器，包含耗散元件的滤波器响应的选择性更差、曲线形状更圆。而且带通滤波器响应曲线的传输零点和极点位置不是很清晰，其接近通带边沿的地方更加圆滑一些[1]。但是目前关于Q值对滤波器性能影响的研究，均是设定同一个滤波器所有谐振腔体为相同Q值，通过改变Q值大小分析滤波器的性能变化。但是实际上，由于滤波器在设计和制造阶段均有可能出于特殊要求或者材料的差异，例如滤波器的某些部位需要局部镀、调谐螺钉长短不一样，或者由于加工制造的缺陷，例如滤波器在焊接的过程中可能导致腔体泄露，再或者有些情况下需要采用混合模式滤波器，这些情况均会造成滤波器的腔体Q值是不相同的情况。在这种情况下也会对设计制造的滤波器性能有不同的影响。

文章针对上述不确定情况，简单研究了传输模式以及调谐螺钉深度对谐振器Q值的影响，在此基础上提出了滤波器某一或者某些腔体Q值下降的情况下对滤波器性能影响的分析方法。并通过MATLAB进行该分析方法的具体实现，最后采用Designer搭建5阶矩形波导滤波器电路模型进行仿真，以验证理论分析结果的正确性。

1 滤波器Q值以及现有相关研究

谐振腔体的无载Q值表示为弧频率周期内存储能量与周期能量损耗的比值，是用来描述谐振系统的频率选择优劣性和能量损耗程度的一个物理量：

(1)

其中ω为角谐振频率，存储能量为存储的电能与磁能的和，平均功率消耗为导体壁消耗功率与介质消耗功率之和。一般可以采取解析法和全波仿真法来提取谐振腔体的Q值。其中解析法适用于谐振器结构规则且采用大抽头耦合情况，可以根据谐振器尺寸和相应的公式计算出谐振器Q值，例如终端短路的λ/2同轴谐振器、λ/2微带谐振器、矩形波导谐振器以及圆波导谐振器等。而全波仿真法适用于提取任意外形谐振器的无载Q值，适用范围较广，此过程在类似于HFSS等商业软件中可以自动处理。

并且根据无载Q值与损耗因子δ以及带通滤波器频率变换关系可以得到Q值与δ的关系如下：

(2)

其中Qu为谐振器的无载Q值，f0与BW分别为带通滤波器的中心频率和设计带宽。可以看出带通谐振器的Q值与损耗因子δ、中心频率f0以及滤波器带宽BW均有关系。文献[2]与文献[3]具体研究了滤波器无载Q值、损耗以及滤波器相应曲线的关系，并提出预失真技术使得滤波器相应曲线显示出高Q值特性,文献[4]则将自适应预失真技术得到的高Q值滤波器运用到多工器设计中，可见Q值在滤波器和多工器设计中是个极其重要的参数。研究表明，相对于Q值接近于无穷大的理想滤波器，包含耗散元件滤波器(有限Q值滤波器)响应的选择性更差、曲线形状更圆。而且带通滤波器响应曲线的传输零点和极点位置不是很清晰，其接近通带边沿的地方更加圆滑一些。以上研究均为设计满足指标要求的滤波器和多工器起到了较高的指导价值与实际意义。

2 圆柱腔模式对Q值影响分析

圆柱腔体是一种常用的微波谐振腔体，圆腔双模滤波器就是利用调谐螺钉使得圆柱腔体内的极化简并模之间产生耦合来实现滤波器的耦合结构，并且TE模和TM模都可以作为简并模式。在圆柱腔内随着模式数从低到高排列时，模式数越高时，单模工作带宽越窄。但是事实上圆柱谐振腔体的模式在很大程度上影响腔体的Q值，同一个腔体模式不同时，Q值也不相同。

圆波导谐振器的谐振频率可以由下面给出的式子给出：

(3)

(4)

其中，ρnm是第一类贝塞尔函数第n阶的第m个零点，是第一类贝塞尔函数的导数的第n阶的第m个零点，而在真空环境下c为光速，a为圆柱谐振腔体的半径，d为圆柱谐振腔体的长度。

目前许多微波书籍中均提供了圆波导谐振器中的谐振模式图来帮助设计人员通过选择合适的谐振器尺寸(半径a和高度d)来获得理想的谐振频率。文献[5]中提到了圆波导谐振器模式图以及圆波导腔中各种模式的Q值曲线：

(a)圆波导谐振器中的谐振模式图[5] (b)圆波导腔中各种模式的Q值曲线[5]
图1 圆波导谐振器中的谐振模式图以及各种模式对应的Q值曲线
Fig.1 Resonance pattern diagram in circular waveguide resonator and Q-factor curve corresponding to various modes

根据对图1分析可以得到：通过调整圆柱谐振腔体的直径与长度的比值，可以在一定程度改变传输方向上大于1(q>1)模式的起始的谐振频率。举例说明，选择直径与长度的比值为1时TE112模为第5个谐振模式，该值为2时，TE112模式为第16个谐振模式。所以，当圆柱谐振腔体比较扁时，更加有利于得到较宽的单模工作带宽，但同时提高直径与长度的比例后会一定程度上导致此模式下的圆柱谐振器的的Q值有所下降，并非最优。因此在工程设计时需要在选取圆柱腔直径和长度时对其Q值、模式以及谐振频率做折中考虑。

3 调谐螺钉对腔体Q值影响分析

微波结构中任何的不连续性都会产生损耗，从而对腔体Q产生不利影响，其中也包括调谐元件。在设计加工滤波器时调谐螺钉广泛应用于滤波器网络，对于结构如图2的双模滤波器，它们必须提供正交模之间的耦合。对于高性能滤波器，调谐螺钉用于减轻谐振器和耦合元件加工误差的影响。调谐螺钉的个数、直径以及长度均会对谐振腔的Q值产生不同影响。

图2 圆腔双模滤波器基本结构
Fig.2 Basic structure of circular cavity double mode filter

选用圆柱腔体对此问题进行进一步研究。圆柱腔的直径为27.8mm，长度为55.646mm，导电率为2.8×107，采用TE114模，谐振频率为12.5GHz，并使用HFSS本征模来求解腔体Q值，并测得不加螺钉时Q值为15278。经过测量得到如下数据：

在表1中“频率间隔”是指通过增加螺钉数量或改变螺钉尺寸使得谐振频率发生偏移的值，如果是双模谐振腔则是指两个谐振频率之差。通过分析上述数据可以得到以下结论：

表1 调谐螺钉对圆柱腔Q值以及频率间隔的影响
Table 1 Effect of tuning screw on Q value and frequency interval of cylindrical cavity

(1)螺钉选择粗一点时(2.5mm和4mm)，当深入尺寸相同时，粗螺钉对频率偏移稍大(10%～30%)，两者Q值近似，即如果达到相同的频率偏移时，粗螺钉深入略短，Q值略高。

(2)当螺钉选择盘头时若要达到相同的频率偏移，圆柱腔体Q值更低，螺钉长度更短，并且盘头越大，Q值下降越多。

(3)螺钉选择一对时(和单颗对比)达到相同的频率偏移，Q值下降更少。

事实上，通过HFSS场分析，可以清楚的得到电磁场的扭曲程度是与Q值的变化成正相关的。在工程中可以通过切角和选用椭圆腔体等方法有效的解决耦合螺钉过长带来的Q值降低问题。

4 腔体Q值改变对整个滤波器性能影响分析

根据文献[6]，通过广义切比雪夫滤波器的综合技术中的网络分析可以得到滤波器的传输与反射响应表达式为：

(5)

(6)

式中RS与RL分别为源阻抗与负载阻抗，[y′]为包含源和负载的网络开路阻抗和短路导纳矩阵。然而[y′]又可通过[z′]求逆可得。根据文献[7]到文献[10]中所提及的N×N耦合矩阵形式电路，应用基尔霍夫定律，可以得到不对称网络的N+2阻抗矩阵构造如下：

[z′]=j*M+s*I+R

(7)

其中M矩阵为N×N形式的主耦合矩阵，包含了不同网络节点之间的耦合值。R为包含源阻抗和负载阻抗的终端阻抗矩阵， sI为频率变量矩阵(I为单位阵)，除了对角线元素s=jω外，其余元素均为零：

(8)

通常为了分析有限Q值滤波器的传输和反射响应，一般的做法是在纯虚频率变量s=jω引入一个正实因子σ。对于带通滤波器而言，谐振器的有限无载Q值的影响则可以通过s偏移σ个正实单位(即s→σ+s)，使得s=σ+jω来表示。其中σ可以根据式(5)确定。即：

(9)

大部分的滤波器综合时均给与s变量一个相同的正实因子σ，使得所有s均偏移相同σ个正实单位，但如果给予N个谐振腔N个不同的Q值，根据上述公式则可以给出一个基于不同Q值的σ的矩阵：

(10)

这样则可以将原频率变量矩阵sI变为σ矩阵与sI矩阵之和的形式。即：

(11)

根据新生成的sI矩阵，运用广义切比雪夫滤波器的综合方法，则可以很容易根据N个不同的Q值来分析指定腔体Q值的改变对整个滤波器传输与反射响应的影响。如果是采用N+2形式的耦合矩阵也仅仅需要给sI增加两行与两列。

首先使用MATLAB软件实现N+2型广义切比雪夫滤波器综合，根据上述方法使得滤波器的每个谐振腔体的Q值可以单独设定。并以一个5阶折叠型矩形波导滤波器为例进行综合与结果分析。滤波器指标为：中心频率f0=20GHz，带宽BW=200MHz，回波损耗RL=-23dB，阶数N=5，Q值为5000，传输零点均在无穷远处。根据上述指标要求可以使用MATLAB综合得到此滤波器耦合矩阵为：

(12)

下面给出改变某一腔体Q值后滤波器的传输特性曲线，并与未做Q值改变的原始滤波器特性曲线进行对比，以分析其带来的影响。又由于5阶的滤波器在此拓扑结构下为对称的，因此改变第四腔与第五腔的Q值的情况与改变第二腔和第一腔Q值的情况相同，具体体现在传输曲线上仅仅是S11与S22曲线互换，因此在此仅给出前3腔Q值改变后的传输特性曲线图。需要注意的是在下面的图中，虚线部分均为原始滤波器的回波损耗与插入损耗曲线图(由于原始滤波器为5阶对称结构，因此S11与S22曲线重合)，实曲线均为某一腔体Q值改变以后滤波器的传输特性。

根据图3(a)图，很显然当第一腔的Q值变小时，滤波器的回波损耗和插入损耗均发生了较大的改变。由于改变第一腔的Q值造成了原本对称的滤波器“结构”变成不对称“结构”，使得滤波器一端口的回波损耗和二端口的回波损耗曲线不再完全重合，并且曲线形状更圆滑，通带内曲线起伏变大，平坦度降低，此时滤波器的性能变差并未达到原滤波器回波损耗的性能指标。再看此时滤波器的插入损耗曲线，就滤波器的S21曲线相对原滤波器曲线而言，在通带内整体有所下降，并且接近通带边沿的地方更加圆滑，曲线下降的更快一些，驻波带宽明显变宽。这是由于谐振器的有载Q值可以等效为中心频率比带宽，当中心频率固定，Q值下降时，就会出现“拓展带宽”的现象，高频的窄带滤波器难做，也是因为需要高Q值特性。

根据图3(b)图，当第二腔的Q值变小时，滤波器传输曲线的变化与第一腔的Q值变小时大致相同，但是相对而言会使得滤波器性能更差。显然，此时回波损耗曲线距离给定指标的差值更大。而此时滤波器的插入损耗曲线，相对(a)图中的插入损耗曲线而言，在通带内整体又有所下降，并且接近通带边沿的地方比之更加圆滑，曲线下降的更快一些。

根据图3(c)图，由于改变第三腔的Q值，此时滤波器仍然是对称“结构”，因此滤波器一端口的回波损耗和二端口的回波损耗曲线完全一致，但是此时滤波器在三种情况中性能最差，S11与S22曲线在通带内几乎成为一条直线，通带性能进一步下降。相对于(b)图而言，此时滤波器的插入损耗在通带内整体也有所下降，并且接近通带边沿的地方比(b)图更加圆滑。

而图3(d)为上述滤波器第一腔Q值为800、第二腔Q值为5000、第三腔Q值为1200、第四腔Q值为1000以及第五腔Q值为5000的混合模式下滤波器的传输特性对比图。滤波器的传输性能与设计性能相比较而言也发生了较大的下降。

(a)第一个腔体Q值为300时的传输曲线 (b)第二个腔体Q值为300时的传输曲线

(c)第三个腔体Q值为300时的传输曲线 (d)混合模式下滤波器的传输特性曲线
图3 不同腔体Q值改变时滤波器的传输特性曲线
Fig.3 Transmission characteristic curve of filter when Q-factor of different cavity changes

根据上述分析结果可以得到：

(1)改变滤波器拓扑结构中两个对称腔体其中一个腔的Q值，造成滤波器一端口的回波损耗和二端口的回波损耗曲线不再完全一致。

(2)改变滤波器某一单腔Q值也会对滤波器传输特性造成较大影响。会使得滤波器S11与S22曲线形状更圆滑，驻波带宽增加，通带内曲线起伏变大，平坦度降低，滤波器的性能变差，未达到原回波损耗性能指标。滤波器的插入损耗曲线，在通带内整体有所下降。

(3)越靠近拓扑结构中心腔体Q值的改变对整个滤波器性能造成的影响越大。

5 仿真验证与讨论

根据文献[11]所提及到的滤波器电路模型，通过Designer搭建上一节的5阶矩形腔体滤波器并改变不同腔体Q值的大小，与上一节的理论分析对比，进行仿真验证。

图4 5阶矩形腔体滤波器电路模型
Fig.4 5th-order rectangular cavity filter circuit model

根据Designer滤波器电路模型仿真得到的前三个腔体Q值改变后的滤波器传输特性曲线与MATLAB综合得到的理论曲线大致相同，验证了分析方法的正确性以及分析结果的准确性。经过上述分析可以明确，腔体滤波器中任意腔体的Q值的改变均会对整个滤波器的性能产生影响，其影响是全方面的而非局部的。如果在滤波器加工过程中由于焊接等加工缺陷导致某些腔体Q值降低，这时候单个腔体Q值也是很难去测量。实际上根据式(1)式可以得到谐振器的无载Q值降低等效于谐振腔的储能降低和自身损耗能量的增加，即谐振器自身等效电阻值在增大。对于单个谐振器而言，当其与外电路发生耦合时，则会把外电路的负载变换到理想谐振器电路中，使谐振器损耗增加，导致谐振器本身的Q值降低。换句话说，如果将滤波器等效电路中除了某一谐振器之外的部分均看为此谐振器的外电路，那么在整个腔体滤波器中当有任意一个腔体无载Q值降低，除了会造成此谐振器自身等效电阻值的增加，也会使得滤波器中其它腔体的等效外部阻抗增加。但对于一个谐振器而言，谐振器的外界Q值可以体现此谐振器与外电路的耦合程度，在外界等效阻抗增加的情况下，为了保证外界Q值不变，此时需要增加谐振器之间的耦合。

图5是通过Designer优化耦合矩阵的方法对图3(d)混合模式滤波器传输特性进行修正后滤波器的传输特性曲线。优化后滤波器的耦合矩阵为：

图5 Designer优化耦合矩阵后混合模式滤波器的传输特性修正
Fig.5 Correction of transmission characteristics of hybrid mode filters after Designer optimized coupling matrix

(13)

通过相同的方法容易验证，当滤波器中某些单腔Q值在降低范围不大的时候，通过增加滤波器输入输出与腔间耦合可以有效的减小其带来的不利影响，并且距离Q值降低的单腔越近的耦合增大量应该越大，在工程上则可以通过调节耦合螺钉来实现耦合量的增加。值得注意的是当单腔Q值下降较大的时候，便很难恢复滤波器原有的传输性能。以上述5阶矩形腔体滤波器为例，经过Designer验证，当第一个腔体Q值下降了设计Q值的90%，第三个腔体下降了设计Q值的80%，第二个腔体下降了设计Q值的70%时均很难再通过调节调谐螺钉来恢复原有的滤波器性能。

6 结束语

文章以微波滤波器特殊设计要求或者加工制造缺陷造成某一或某些腔体Q值降低为背景，研究了传输模式以及调谐螺钉对腔体Q值的影响，并总结了对滤波器设计和加工有指导意义的一些结论，最后针对同一滤波器的不同谐振腔体拥有不同Q值的情况，结合广义切比雪夫滤波器综合技术，提出了其对滤波器性能影响的分析方法，将不同腔体Q值不同的情况归结到综合过程中频率变量的偏移值的不同。通过MATLAB对该方法进行了具体实现，又使用Designer搭建5阶矩形波导滤波器电路模型，进行仿真以验证此理论分析结果的正确性。通过分析5阶矩形波导滤波器不同腔体Q值改变后滤波传输曲线的变化，发现谐振腔体Q值的改变会造成滤波器通带内插入损耗曲线整体下降、回波损耗曲线起伏变大、驻波带宽增加、整体性能变差等影响，并且越靠近拓扑结构中心腔体Q值的改变对整个滤波器性能造成的影响越大。基于上述分析结果，以谐振器Q值与腔间耦合程度的关系为理论基础，提出通过增加滤波器输入输出与腔间耦合的方法有效减小谐振器Q值的减小带来的不利影响，并采用Designer优化耦合矩阵的方法对其进行了验证，为微波滤波器的工程设计与制造提供一定的指导价值。