内螺纹中径的测量与计算

0　引言

目前内螺纹测量还是采用传统的中径测量公式，这种测量公式的计算结果需要作斜置修正。文献[2]《螺纹检验与测量》给的修正公式都是一些近似公式；文献[5]《欧盟关于用机械检测圆柱螺纹量规中径的指南(EA-10/10)的5.2节和5.3节分别给出斜置修正近似公式和精确公式；文献[6]、[7]也都给出了斜置修正的精确公式。这些精确公式虽然形式不同，但是计算结果是一致的，它们都需要进行迭代计算。但是它们都存在着公式结构复杂、几何关系不清晰的问题。作者曾在文献[1]中根据螺纹与量针接触的几何关系给出了一种公式结构简单、几何关系清晰的迭代公式，可直接计算所需的M值，而不需要进行斜置修正。文献[1]这种计算方法还将螺纹与蜗杆用量针测量的计算公式统一在一个体系内。本文将这种计算方法延伸到内螺纹的测量中来。

1　传统的内螺纹中径测量公式

内螺纹中径的测量与外螺纹类似，也可分为近似计算和精确计算[1]，文献[2]《螺纹检验与测量》的公式(5-4)就是近似计算，本文记为公式(1)；文献[2]的公式(5-5)和文献[3]检定规程JJG 888—95《圆柱螺纹量规》的附录1公式(2)是比较测量的公式，本文记为公式(2)；公式(2′)是说明E的关系式。公式(1)、(2)都没有考虑实际接触情况与斜置误差的影响。测球中心与其两个接触点分别在三个轴向截面上，而这两个公式是把这三个点看成是在同一个轴向截面上。也就是看成螺纹的螺旋角为0 °的情况进行分析的。然而螺纹的螺旋角不可能为0°，这样就引进了必须修正的近似误差——斜置误差。

测球在螺纹轴线垂直方向球心的距离dc为

dc=D2-dm/sin(a /2)+0.5P/tan(a /2)

(1)

D2=D20+(M1-M0)

=(M1-M0)+E+f-0.5P/tan(a /2)-

P2/[8(D20-dm/sin(a /2)+0.5Ptan(a /2))]

(2)

E=D20+0.5P/tan(a /2)+P2/[8(D20-

dm/sin(a /2)+0.5Ptan(a /2))]-f

(2′)

式中，D2为内螺纹中径；D20为内螺纹理论中径；dm为测钩的测球直径；a 为内螺纹及侧块牙形角；P为内螺纹螺距；E为两侧块量面间距离即量块组尺寸；f为两侧块量面至V型尖距离之和；M1为测钩在内螺纹里测量的读数；M0为测钩在V型侧块里测量的读数。

2　dc值的精确计算

图1是测球与内螺纹接触的几何关系图，它规定接触点T在轴向截面上(该截面位于铅垂方向)，F点是轴向截面牙形轮廓线与中径圆柱母线的交点，TT2与T点圆柱面母线TT1的夹角l t是T点螺旋线的螺旋升角；过T点法向截面Ct点是测球在法向截面的圆心，CtT =dm/2；∠CtTT2=a t，它是T点在法向的牙形半角；OfF=D2/2，OtT=dt/2，dt是T点的直径； A=2TT6=dt-D2，OcT5=OcT1-T1T5=(dt-dmsina t)/2；dc=2OcCt；将有关几何关系代入可得到：

图1　测球与内螺纹接触的几何关系图

k=nP/(2p )

(3)

dt=D2+A

(4)

tanl t=nP/(p dt)

(5)

tana t=tan(a /2)cosl t

(6)

tanWt=dmcosa tsinl t/(dt-dmsina t)

(7)

A=(P/2-dmcosa tcosl t-2kWt)/tan(a /2)

(8)

dc=(dt-dmsina t)/cosWt

(9)

式中，n为多头螺纹的线数；k为螺纹导程单位弧度的进给；dt为测球实际接触点的直径；a 为内螺纹轴向牙形角；Wt为测球中心与接触点T对于螺纹轴线的夹角；A为dt与螺纹中径之差。

由公式(3)～(9)进行迭代计算，求出dc值。开始计算时，A的初始值A初=(P/2-dmcos(a n/2)cosl f-2kWf)/tan(a n/2)，Wt、Wf的初始值用W0，sinW0=p sin2l f/2n，tanl f=nP/(p D2)，tana n=tan(a /2)cosl f，l f为螺纹中径的螺旋升角，a n为螺纹在中径处的法向牙形角。

3　计算测球中心在内螺纹测量方向上的距离

图2是dc与的关系图，由于两个测球在螺纹轴向位置相差半个螺距，dc与间有一l 夹角。

tanl =0.5P/dc

(10)

=dc/cosl

(11)

图2　dc与的关系

4　计算标准尺寸E或其侧块V型槽的距离X

标准尺寸E或其侧块V型槽尖点之间在量面垂直方向的距离X的计算依据就是在内螺纹测量方向上的球心距离，仪器的测球在标准尺寸的V形槽内接触并调整，标准尺寸E应使两测球中心距为。由于这两种方法组成的标准尺寸是不相等的，它们的组成方式如图3所示。图3(a)是两V形槽在一条直线上；图3(b)是两V形槽不在一条直线上，而错开半个螺距，即0.5P。它们所用量块组尺寸分别为E1和E2。

E1=+dm/sin(a 0/2)-(a+b)

=dc/cosl +dm/sin(a 0/2)-(a+b)

=X1-f

(12)

E2=dc+dm/sin(a 0/2)-(a+b)=X2-f

(13)

X1=+ dm/sin(a 0/2)

(14)

X2=dc+ dm/sin(a 0/2)

(15)

式中，a 0为侧块V形槽夹角；a、b为仪器所带V形侧块的常数尺寸，f=a+b；X1是图3a的V形侧块两V形槽尖点在测量方向的距离；X2是图3b的V形侧块两V形槽尖点在径向的距离。

图3　两种标准尺寸的组成方式

5　实测内螺纹中径D2实测的计算

在测长仪上，把挂钩的测球放在V形槽内，调整仪器使仪器的读数x1代表两测球理论中心距；再把测球放在内螺纹内，调整仪器使仪器的读数x2代表内螺纹两测球实测中心距。所以x2-x1=-，而由公式(9)可以导出

D2=cosWtcosl -A+dmsina t

(16)

D2实测=cosWtcosl -A+dmsina t

(17)

ΔD2实测=D2实测-D2=(-)cosWtcosl

=(x2-x1)cosWtcosl

(18)

D2实测=D2+ΔD2实测=D2+(x2-x1)cosWtcosl

(19)

若在组合量块时没有恰当量块使得组合尺寸等于计算值E1或E2，可用近似尺寸E的组合来代替，ΔE=E-E1(或E2)，则

D2实测=D2+(x2-x1+ΔE)cosWtcosl

(20)

由于Wt及l 不大，且螺纹环规中径的偏差也不大，所以D2实测可写成：

D2实测=D2+(x2-x1+ΔE)

(21)

当螺纹环规公差不超过0.04mm时，l 不大于9°，产生的误差小于0.5μm，远小于测量不确定度，一般情况按公式(21)计算是可靠的。ΔE一般要小于1mm，否则会引入仪器刻度尺的示值误差。通过查有关资料可以查到恰当测球直径的dc值和X1、X2(测量结果不需要作斜置修正，按文献[2]查dc值则需要作斜置修正)。如果V形侧块的尺寸dc是按公式(1)计算的，则测量结果需要作斜置修正。

按图3b设置的标准尺寸，当ΔE≠0时，由于ΔE是在中径方向，没有在测量方向，所以式(20)应改为：D2实测=D2+(x2-x1)cosWtcosl +ΔEcosWt。

若用光面环规来调整仪器，且当环规直径D0=+dm(对60°侧块D0=X1-dm)，仍可用公式(19)计算D2实测，而环规直径为D，则ΔD=D-D0。这时可用公式(20)、(21)计算D2实测，ΔE=ΔD。在万能测长仪上测量内螺纹或螺纹环规，可用仪器所带Φ50或Φ14的标准环规调整仪器。用这种测量方法时，对测球的形状误差即球形度要求更高。这时要对测球直径与其恰当直径进行修正，测球在前端及60°方向上有压变形的小平面时，要用环规及V形侧块对测球直径进行校准，而且还要作测力修正。

6　三坐标测量机等测量内螺纹中径

用三坐标测量机或万能工具显微镜及其灵敏杠杆测量内螺纹中径，它的测量原理如图4所示。测量是用一可换双球测头放入牙槽内，作上下、前后的调整后，对准灵敏杠杆的刻线并记下此侧牙槽的读数A1，将测杆退出牙槽，并上升或下降半个螺距，再将测球放入另一侧牙槽内，作相应的调整后并记下另一侧牙槽的读数A2，测杆的位移a=A2-A1，内螺纹牙槽内两侧测球中心在螺纹轴线垂直方向的距离的实测值为dc实测。

图4　三坐标测量内螺纹中径测量原理

dc实测=L球距+a

(22)

式中：L球距为测杆两端测球中心距，此值检定后应标注在测杆上。内螺纹实测中径D2实测为

D2实测=D2+dc实测-dc=D2+(L球距+A2-A1-dc)

(23)

式中,dc为测球在内螺纹两侧牙槽内中径处接触(如图4所示)，其球心在螺纹垂直截面上的距离，由公式(3)～(9)进行迭代计算求得的。如用公式(1)计算则须作斜置误差修正。dc实测为其实测值。

dm应取两球实际尺寸的平均值，螺距P取实测值以及要作测力修正。如按名义值计算，实用时要对dm及P等进行修正。为了检定L球距，可用万能测长仪所带V形侧块组成V型标准尺寸进行校准。可参考图3(a)，其关系式为：

L球距=E1+(a+b)-dm/sin(a 0/2)-(A2-A1)

(24)

式中,E1为标准尺寸中的量块尺寸，最好用单块量块；(a+b)为V形侧块的常数尺寸，f=a+b；a 0为侧块V形槽夹角；A1、A2为测杆在V形槽中的两次读数。

特别提醒注意，这里所用的L球距不能用于光滑孔径测量，否则会增大测量误差。用于光滑孔径测量的L球距，用标准光滑环规校准即可。同样用于光滑孔径测量的L球距，不能用于螺纹中径的精密测量。

7　内螺纹的球测头最佳球径

内螺纹测量时的球测头最佳球径的计算与外螺纹最佳量棒直径的计算相类似，球测头最佳球径应在中径处与内螺纹接触。公式(8)的A=0，即其分子应为0。得到公式(25)，由公式(25)及(26)作迭代计算

dm0=(P/2-nPWf/p )/(cosa ncosl f)

(25)

tanWf=(P/2-nPWf/p )tanl f/(d2-dm0sina n)

(26)

Wf的初始值用W0，sin W0=(p sin2l f)/2n；tanl f=nP/(p D2)；tana n=tan(a /2)cosl f。

内螺纹用挂钩法测量是比较测量，只要V型槽角度与螺纹牙型角的名义值一致，采用最佳球径时，且螺纹量规的牙型角在公差内，其测量结果与测球直径基本无关，带来的误差可以忽略不计。否则因其接触点不在中径上，测量结果仍然会受螺纹牙型角制造误差及螺纹牙型轮廓直线度的影响。所以测球直径应采用最佳直径为宜。

8　示例及讨论

以文献[4]2011年8期计量技术杂志《螺纹环规单一中径测量公式讨论》一文给出的例子进行讨论：M36×4-6h Z螺纹环规，D20=33.155mm，量球直径Φ2.3mm，a+b=6.209mm，由文献[4]的公式(3)求得E0=30.4726mm，选用E=40mm，在V型槽标准尺寸中的读数x1=3.9037mm，x2=-5.5953mm，中径螺旋角2°12′。V型槽的角度与螺纹牙型角都是60°。求实测中径D2，在文献[4]公式(5)及其公式(5a)中x2是实测值，包含有斜置误差的影响。而公式中的理论值没有包含斜置修正，用这样的公式求出的D2需要进行斜置修正后才能得到正确的D2值。这里为了比较几个公式的一致性，并保持原文的计算结果。以下计算结果均给出不作斜置修正和作斜置修正的结果。

8.1　文献[4]公式(5)的计算结果

2.3/sin30°-2cot30°

=33.18355mm(未作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

D2=33.18355+0.0026=33.18615mm(作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

8.2　文献[4]公式(5a)的计算结果

(未作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

D2=33.18361+0.0026=33.18621mm(作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

8.3　按本文式(21)的计算结果

D2实测=D2+(x2-x1+ΔE)，ΔE=E-E0，E0=X1-(a+b)，迭代计算结果X1=36.6789mm，E0=36.6789-6.209=30.4699mm，ΔE=40-30.4699=9.5301mm。

D2实测=D20+(x2- x1+ΔE)

=33.155+(-5.5953-3.9037+9.5301)

=33.1861mm(用迭代计算不需要作斜置修正)。

D2=33.1861-0.0026=33.1835mm(未作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

因为要比较不作斜置修正的计算结果，所以不能用公式(3)～(11)进行计算，只能按公式(1)计算

D2实测=D20+(x2- x1+ΔE)=33.155+(-5.5953-3.9037+9.5275)=33.1835mm(这是未作斜置修正)。

这里需要说明的是文献[4]给出的E0按其公式(3)计算，依然是E0=30.4725mm，而不是30.4726。另外在文献[4]表1上，式(5b)：33.155+(-5.5953-3.9037)=23.656，而不是23.655。

8.4　文献[3]附录一的公式(2)的计算结果

文献[3]附录一中的公式(2)，D2=D2理+C的先决条件是所用量块尺寸E应与计算的E0相等。当E≠E0时，应该考虑ΔE的修正。这是每个从事检测的人员应该知道的常识。所以不能说文献[3]的附录一的公式(2)是错误的，只能说它不够完善，没有把问题阐述清楚。文献[3]在修订时一定要将这部分补充完善。它的公式(2)后面的部分将D2理用E的有关表达式代替，这完全是多余的。因为D2理是已经知道的。按文献[3]附录一的公式(2)计算，考虑ΔE的修正，其结果D2=33.1835mm。

8.5　按表查出X值进行计算

文献[2]为方便用户，预先计算出V形侧块两V形槽尖点的距离X列于表中，以备用户查用。文献[2]该表是以螺纹的中径进行计算的，由于没有按照各种螺纹环规的中径进行计算。只要将两V形槽尖点的距离X减去螺纹中径与螺纹环规中径之差，即可得到螺纹环规中径的X值(对于公差小于0.04mm，螺旋角小于9°的60°和55°的螺纹，其他大螺旋角或较小牙型角螺纹不适用)。

此例中按文献[2]查出D2=33.402mm的X=36.928mm。而D20=33.155mm，ΔD2=D2-D20=0.247mm，所以D20=33.155mm的X=36.928-0.247=36.681mm。E0=X-6.209=30.472mm。ΔE=40-30.472=9.528mm。

D2实测=D2+(x2-x1+ΔE)=33.155+(-5.5953-3.9037+9.528)=33.184mm(未作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

D2=33.184+0.0026=33.1866mm(作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

这里包含两个误差，一个是将中径差值进行修正可能会引入0.5μm的误差；另一个是文献[2]给的有效位数到小数第三位，也可能有0.5μm的进位误差。

按螺纹查表的数据有效位数给到小数点后面第4位。X1=36.9253mm，其中径D2=33.4019mm，ΔD2=D2-D20=0.2469mm，所以D20的X1=36.9253-0.2469=36.6784mm。ΔE=E0-X1+a+b=9.5306mm。

D2实测=D2+(x2-x1+ΔE)=33.155+(-5.5953-3.9037+9.5306)=33.1866mm(X1是用迭代计算的，所以不需要作斜置修正)。

这个X1数据包含了斜置修正，要比较的计算结果是不作斜置修正的，所以要把斜置修正扣除。经计算不含斜置修正的X1=36.9279mm，与36.9253mm之差即为斜置修正Δ斜置=2.6μm。所以D20的X1=36.6784+0.0026=36.6810mm。

D2实测=d2+(x2-x1+E-X1+a+b)=33.155+(-5.5953-3.9037+40-36.681+6.209)=33.155+0.029=33.184mm(未作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

若按螺纹环规查表，因为表格是按螺纹止端上差设计的，其X1=36.7018mm,上差与下差相差0.023mm，所以D2=33.155mm的X1=36.7018-0.023=36.6788mm。这样ΔE=E0-X1+a+b=9.5302mm。

D2实测　　　=D2+(x2-x1+ΔE)=33.155+(-5.5953-3.9037+9.5302)

=33.1862mm(X1是用迭代计算的，所以不需要作斜置修正)。

D2实测=33.1862-0.0026=33.1836mm(未作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

用软件计算时，改变量规外径使中径D2=33.155mm，此时得到X1=36.6789mm，得到D2实测=33.1861mm(X1是用迭代计算的，所以不需要作斜置修正)。

这个数据包含了斜置修正，Δ斜置=2.6μm，修正后X1=36.6815mm，D2实测=33.1835mm(未作斜置修正的结果，斜置修正=2.6μm)。

9　结论

1)通过示例讨论各种计算方法计算结果只差0.11μm(最大为33.18621mm，最小33.1835mm)；查表计算也只差0.5μm；在螺纹环规的测量不确定度允许的范围内。除了文献[4]的公式(5a)是近似计算外，相差只有0.05μm。完全在计算精度范围内。因此可以说各种方法都是正确的。而用挂钩法测量螺纹环规是比较测量，本文式(21)是最简洁的公式，虽然括号内的数据是测量方向的，不在中径方向，只要括号内的数据不超过0.04mm，螺旋角小于9°，则误差小于0.5μm，可以满足牙型角在55°以上一般螺纹量规的测量要求。文献[4]的公式(5)

将比较测量结果又按绝对测量进行计算，数据表明两种计算方法都是正确的，而采用简洁公式使用起来更方便。对于梯形螺纹、锯齿螺纹以及螺旋角大于9°的环规可以按本文公式(18)、(19)或(20)进行计算，也可以用文献[4]的公式(5)或(5a)进行计算,但是要作斜置修正。

2)文献[3]检定规程JJG 888—95《圆柱螺纹量规》的附录一的公式(2)没有把问题阐述清楚。对于环规的数据处理在其第三章11.3条写到“检定结果的处理同螺纹塞规。”，在其附录1、2中没有像塞规那样明确要进行各种修正，容易让人误以为不需要进行修正。文献[3]在修订时一定要将这部分补充完善。

3)用图3a方法作挂钩比较测量时，在V型槽标准尺寸中两测球的球心距应与螺纹在理论中径时的两测球球心距相等，这是最根本的。如果不相等也要通过修正让其相等。就是说梯形螺纹也可以用60°或55°的侧块来做V型槽标准尺寸。而图3a方法的V型槽标准尺寸的槽尖距离与螺纹理论中径凹槽的槽尖距离(所谓三折线)是不相等的。文献[2]P280“组合标准V型侧块的尖点距离X0和螺纹牙凹全牙型的尖点距离X作为测量的参考尺寸，而不是测球中心之间的距离M′”这段话是指图3a方法(文献[2]P277图5-8，第一种方法)，所以是错误的。因为在图3a方法整个计算过程中与螺纹牙凹全牙型的尖点距离X没有关系。在文献[2]P281图5-9将本文图3中的X1和X2都用X0标注，说明文献[2]的作者对X1和X2的差异没有看出来。

4)本文介绍的内螺纹中径测量和球测头最佳球径的迭代公式是根据测球实际接触情况进行推导的，公式结构简单易懂，几何关系明晰，计算结果准确，不需要作斜置修正。用软件计算本文与文献[7]完全一致，在大螺旋角情况下，文献[4]、[6]还略有少量的差异。