面向结构形变重构的应变传感器优化布局

传感器优化布局在结构形变重构中起到承前启后的作用，属于NP hard组合优化问题。在实际问题中，结构外形和安装空间会严格限制传感器的布局数量。此外，过多的传感器会导致传感器系统故障率增高、数据存储与分析困难等诸多问题。因此，面向结构形变重构的传感器优化布局就是在大量结构自由度上寻找少量能够完成结构形变重构的最优传感器位置，以获得足够的信息来完成形变重构。

传感器优化布局早期主要应用于大型轨道航天器上，随着对传感器优化问题的深入研究，逐渐应用于道路桥梁等其它领域。传感器优化布局方法大概可以分为三大类：第一类是传统求解算法，其中较为常见的是有效独立法[1]，有效独立-改进模态应变能法[2]，QR分解法[3]及最小MAC(Modal Assurance Criteria)法[4]等；第二类是随机类算法，包括遗传算法[5]、粒子群算法[6]、蚁群算法[7]和猴群算法[8]等；第三类是信息熵[9](Information Entropy,IE)方法，文献[10]引入了信息熵作为传感器配置的性能指标。该方法可以在一些模型参数估计中对不确定性标量进行测量，通过最小化不确定因素来优化传感器布局。然而上述传感器优化算法主要面向模态识别[11]、结构损伤识别和健康监测[12]等，并不适用于结构形变重构。

近年来，面向结构形变重构的传感器布局方法已经成为研究热点。其中文献[13]采用有效独立法对位移和应变两种类型的传感器进行优化布局，通过逐步删除使得目标函数(形变重构误差协方差的迹)不断逼近最小值的自由度，直到达到给定的阈值，从而获得最优传感器布局位置。误差估计最小方法[14](Estimation Error Minimization，EEM)是对有效独立法的改进，它利用有效独立法的思想对单个位移传感器逐一进行优化。该类方法减小了重构误差，提高重构精度，但是多适用于相对简单的结构，对于具有大量自由度的大型复杂结构，由于最终布局的传感器数目相对较少，需要删除大部分自由度才能得到较为理想的配置方案，所以该类方法计算相当耗时。对此，文献[15]介绍的面向结构动态响应重构的传感器优化布局方法，该方法基于EEM方法逐步增加传感器数目以实现布局优化。针对多自由度复杂结构，能够提升计算效率，但是该方法没有考虑到传感器布局出现的聚集现象[16]，使得增加的传感器可能成为冗余传感器，不仅对结构重构精度贡献甚微，而且由于传感器布局位置过于集中，导致在实际中的安装困难。

针对上述问题，本文主要研究如何使传感器的最终布局位置不仅保证较高的重构精度，而且能够以少量传感器获得尽可能多的结构信息，并剔除冗余信息。本文基于应变-位移转换关系[17]，考虑传感器信息的冗余度以及测量误差对重构精度的影响，提出了一种两步序列应变传感器布局方法。最后，结合某相控阵天线实验平台，根据布点空间分布可观性、重构精度与效率、SMAC(Strain Modal Assurance Criteria)配置准则、条件数等指标与EEM方法进行对比、分析与评价。结果表明本文所提方法在计算效率、冗余性、模态应变正交性、条件数等方面都要优于EEM方法。

1 结构形变重构方程

对于任何一个n自由度线性弹性阻尼结构，其节点坐标系下的力学模型方程可以表示为

(1)

式中： M，C，K分别为n×n的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵；分别为n×1的节点位移、速度、加速度向量； u(t)为的激励输入向量； B0为的输入矩阵。

根据模态叠加原理，结构的位移q(t)∈Rn×1可以用模态坐标qm(t)∈Rm×1表示为

(2)

式中： 模态位移矩阵Φ=[φ1φ2…φm]为n×m的矩阵； m为系统的截取模态数。

与位移表述相同，结构的应变ε(t)∈Rn×1也可以用模态坐标qm(t)∈Rm×1表示为

(3)

式中： 模态应变矩阵Ψ=[φ1φ2…φm]为n×m的矩阵； m为系统的截取模态数。

在实际工程中，考虑传感器会存在测量误差，测量应变εm(t)为

εm(t)=ΨM(d)qm(t)+e(t)

(4)

式中： ΨM(d)为模态应变矩阵中对应传感器位置的模态应变子矩阵； d为对应的传感器位置； M为传感器数目； e(t)为测量噪声。

由式(2)和式(3)可知，当传感器数目大于等于截取模态数目时， qm(t)的最小二乘解为

(5)

式中：为ΨM(d)的伪逆， 即

将式(5)代入式(2)，可得位移重构方程

(6)

式中：为重构位移； Φs为感兴趣位置所对应的模态位移矩阵； T(d)为应变-位移转换矩阵。

2 两步序列应变传感器布局方法

基于上述应变-位移转换关系，下面提出了一种两步序列应变传感器布局方法。图1给出了两步序列应变传感器布局方法的流程图。其基本思想为：第一步，依据列主元QR分解确定范数较大且性态良好的初始传感器布局位置，保证传感器所在位置的模态信息的相对独立；第二步，在第一步的基础上考虑传感器信息的冗余度以及测量误差对重构精度的影响，以重构误差最小为目标，以信息冗余度为约束条件，逐个增加传感器位置到初始传感器位置集合，同时删除与已有位置集合冗余的候选传感器位置，提高下一代计算效率，直至满足收敛要求得到最终传感器布局。

图1 本文所提传感器布局方法流程图
Fig.1 Flow chart of the proposed sensor placement method

2.1 第一步布局

第一步传感器布局是第二步布局的基础，布局方法需要满足初始传感器数量少、求解效率高、重构方程可解等条件。转换矩阵T(d)是在最小二乘意义下进行的求解，需要满足传感器数目大于等于模态数目，因此所提方法确定的初始传感器数目等于模态数。列主元QR分解能够满足以上条件，并且可以在大量候选自由度中迅速地选取出一组初始传感器位置集合。

假设模态应变矩阵可测自由度(候选布点位置)组成的子矩阵为Ψc(Ψc∈Rnc×m)。将模态应变子矩阵进行转置，再进行列主元QR分解，就会得到一组行最线性无关的传感器配置集合，能够保证传感器所在位置的模态信息的相对独立。

对从有限元模型中提取出的模态应变矩阵的转置矩阵进行列主元QR分解

(7)

式中： E为置换矩阵(0和1组成)， 上三角矩阵R的对角线元素依大小降序排列。

由以上分析可知对模态应变矩阵候选自由度组成的子矩阵进行QR分解时，通过置换矩阵E中元素“1”的排列位置即可选择出初始传感器布局位置。

2.2 第二步布局

在第一步传感器布局的基础上，考虑信息冗余度和重构精度，采用序列加点的方式确定最优的传感器布局方案。下面给出信息冗余度与重构精度的表征形式，然后基于此给出第二步布局的优化模型。

2.2.1 信息冗余度准则

信息冗余是由于过细的有限元网格划分导致，网格划分越密集，节点越集中，信息冗余越严重。为了保证有限元模型的计算精度，网格划分一般较为密集。因此，在传感器优化布局中信息冗余度应该作为一项被考虑的重要因素。

为了使传感器获取的结构信息相对独立，避免传感器之间的信息冗余，规定第k个候选布点位置对应的模态应变信息矩阵为[18]

(8)

式中： Ψk为第k个可布点位置对应的模态应变向量，即模态应变矩阵Ψ的第k行。

两个具有相近结构动态信息的候选布点的模态应变信息矩阵也相近。模态应变信息矩阵的差异可以通过它们的某种范数差异来度量

Dki(d)=‖Ak-Ai(d)‖

(9)

式中： Dki(d)为第k个候选布点位置与已布置传感器集合中的第i个传感器位置对应的模态应变信息矩阵的空间距离差异。

对式(9)进行正则化处理，得到距离差异系数[19]的表达式为

(10)

由于‖Ak-Ai(d)‖≤‖Ak‖+‖Ai(d)‖对于任意模态应变信息矩阵均成立，所以距离差异系数0≤Rki(d)≤1。距离差异系数可以表示传感器间信息冗余程度，两种极端情况： Ak和Ai(d)正交时， Rki(d)=1，此时传感器包含的模态应变信息无冗余； Ak=Ai(d)时， Rki(d)=0，此时传感器包含的模态应变信息完全相同。

2.2.2 重构精度准则

根据式(2)和应变-位移重构方程式(6)，可得形变估计误差

(11)

在实际中，高阶模态的截断误差和传感器的测量误差影响应变传感器的测量结果。假设式(4)中的测量误差相互独立且均服从则估计误差的协方差可以表达为

E(δ(d)δT(d))=T(d)E(e(t)eT(t))TT(d)

(12)

由式(12)可知， E(·)为期望， E(e(t)eT(t))为测量噪声的协方差矩阵，且已假设测量噪声互相独立，则

(13)

把式(13)代入式(12)中，得到估计误差的协方差矩阵Δ

(14)

式(14)中， 矩阵Δ中的每一个对角元素表示相应形变估计误差的方差，矩阵的迹trace(Δ)表示所有位置形变估计的方差和。由于为常量，故可不考虑其对重构误差协方差的影响。平均估计误差可以表示为

(15)

式中： trace(·)为矩阵的迹； Ns为重构自由度数目。

2.2.3 建立优化模型

根据上述信息冗余度和重构精度的表征方式，建立第二步传感器布局的优化模型。该模型以重构误差最小为目标函数，以布局信息冗余度和平均重构误差小于预设的阈值为约束条件，具体如下

Find: d=[x,y,z]T
Min: trace(T(d)TT(d))

(16)

式中：为重构精度阈值；为第k个候选布点位置的最小冗余度值； Γfeas为传感器候选位置可行域； R0为冗余度阈值。

2.3 算法步骤

两步序列应变传感器布局方法的具体步骤如下：

初始化：确定模态截断数m[20]、 传感器集合S与最大数目SM、 重构精度阈值 冗余度阈值R0、传感器候选布点位置等；

第一步： 对模态应变的转置矩阵进行列主元QR分解， 找出m个较大范数、性态较好且线性独立的初始传感器布局集合；

第二步：(1) 删除剩余候选布点位置中与已布局传感器的模态应变信息矩阵的距离差异系数小于R0的布点位置； (2) 将剩余候选布点位置中使重构误差协方差矩阵的迹最小的传感器加至当前传感器集合；(3) 判断是否满足终止条件，满足则结束程序，否则重复(1)～(2)。

其中，两步序列应变传感器布局方法的终止条件有以下两种：(a) 是否满足预定的形变重构精度要求；(b) 是否达到预定的最大传感器数目SM。

3 传感器布局评价准则

3.1 布局空间分布可观性

布局空间分布可观性能够直接反映传感器位置的密集程度。布局空间分布过于集中不仅会导致传感器的信息冗余，也降低了传感器的抗噪能力。因此，传感器应布置在模态响应强烈的位置，且各传感器间保持一定的距离，保证获取的结构模态信息相对独立。

3.2 重构精度与效率

均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)能够反映重构形变与真实形变之间的差异，在相同传感器数目下，传感器的位置不同则形变重构的精度也不同。此外，测量噪声及激励大小都会影响均方根误差的大小，故采用均方根误差与最大形变的百分比(相对RMSE)来评价重构精度。不同布局方法的计算效率不同，在相同条件下，用计算时间来评价传感器布局方法的效率。

3.3 模态应变保证准则SMAC

文献[21]提出的模态保证准则MAC是评价模态向量空间交角的一个指标，形成的MAC矩阵非对角线元素越小，所测模态向量的正交性越好。参照模态保证准则的思想，得到模态应变保证准则SMAC

(17)

式中： Ψi和Ψj分别为模态应变矩阵的第i和j列。

3.4 条件数

条件数是矩阵病态的度量，其值越接近于1则矩阵性态和鲁棒性越好。根据矩阵条件数的定义[22]， 转换矩阵T(d)的条件数为

cond(T(d))=‖T(d)‖‖T(d)-1‖

(18)

式中： cond(·)为矩阵条件数。

4 实验验证

4.1 实验平台建模

实验平台实物如图2所示，其面板厚度为6 mm，外形为对称的八边形，由9个调整机构组合作用产生变形，其几何尺寸见图3，其中五角星代表形变重构验证点。面板弹性模量为70 GPa，泊松比0.3，密度10 044 kg/m3，调整机构1，2，3全约束，调整机构7，8，9施加Z方向的载荷。利用ANSYS的shell63单元进行建模(见图3)，剔除面板边缘与喇叭安装孔处1 264个不能安装传感器的节点位置，剩余3 379个候选节点。光纤栅区长度约为10～15 mm，所划正方形网格中相近两节点的距离为36 mm，可以满足安装空间的需要。图4给出了实验平台模型的前10阶Z向累积模态贡献，第7阶累积模态贡献已经达到81.0%，故选取前7阶模态进行传感器优化布局，表1为前7阶频率。

图2 某相控阵天线实验平台
Fig.2 The experimental platform of a phased array antenna

图3 实验平台的有限元模型
Fig.3 Finite element model of experimental platform

图4 实验平台前10阶模态贡献
Fig.4 The first ten modal contribution of experiment platform

表1 实验平台前7阶频率

Tab.1 The first seven frequency of experiment platform

4.2 实验平台传感器布局评价

针对该相控阵天线实验平台，根据第3节所述的4个评价准则对本文所提方法与EEM方法进行对比、评价与分析。

4.2.1 布局空间分布可观性

图5分别给出了在15个和35个传感器时本文方法与EEM方法的布局位置。EEM方法布局近似对称地分布在面板悬臂端应变较大的位置处，上下边缘处出现传感器集中分布的现象，且随着传感器数目的增加这种现象更严重。本文方法传感器布局位置比较分散，面板悬臂端、中间及边缘处均有分布。相对而言，本文方法布局空间分布可观性较为合理，避免了因传感器布局位置集中而导致的冗余现象。

图5 传感器布局方案对比
Fig.5 Comparison of sensor placement schemes

4.2.2 重构精度与效率

为了验证本文方法在系统测量噪声下的优越性，利用ANSYS对变形机构7，8，9对应节点施加如图6(a)所示的随机载荷，图6(b)为图5(c)中传感器1和传感器2采集的应变历程图，采集频率为40 Hz，然后进行实时形变重构。图6(c)和图6(d)给出了在传感器数目为35的布局下，两种方法在验证点的重构形变与误差对比曲线。

图6 实验平台验证点重构形变与误差对比
Fig.6 Comparison of deformation reconstruction and error of experimental platform verification point

从图6(c)可知，在验证点处两种方法的形变重构都能与真实形变结果吻合，但从图6(d)的误差对比来看本文方法的重构精度还要略高于EEM方法。

为了模拟真实环境，并且研究传感器数目对形变重构精度的影响，在25%的噪声干扰下进行100次形变重构，再取重构形变的相对RMSE的统计平均值与EEM方法进行对比验证。图7给出了在25%的噪声下相对RMSE的平均值与计算时间随传感器数目的变化曲线。由此可见，两种方法的相对RMSE的平均值随传感器数目的增加逐渐降低，且在传感器数目大于一定值之后相对RMSE的平均值基本保持稳定，说明之后加入更多的传感器对重构精度的提高有限。图8表明本文方法的计算效率高于EEM方法，计算时间比EEM方法降低了100倍左右。因此，针对大型空间多自由度结构，本文方法比EEM方法更高效。

图7 相对RMSE对比
Fig.7 Comparisons of relative root mean square error

4.2.3 模态应变保证准则SMAC

图9给出了SMAC非对角元素最大值随传感器数目的变化曲线。显然，本文方法的SMAC非对角元素最大值相比EEM方法更稳定，且在传感器数目较大时SMAC非对角元素最大值一直低于EEM方法。因此，本文方法较EEM方法更能够保证较大的模态向量空间交角。

图8 计算效率对比
Fig.8 Comparisons of computation time

图9 SMAC非对角元最大值对比
Fig.9 Comparisons of the maximum off-diagonal element

4.2.4 条件数

图10给出了转换矩阵的条件数随传感器数目的变化曲线。由图可知，随传感器数目的增加，两种方法的转换矩阵的条件数均呈下降趋势，但是本文方法在传感器数目逐渐增多时，转换矩阵的条件数明显低于EEM方法。因此本文方法在传感器优化计算过程中较EEM方法更稳定。

图10 条件数对比
Fig.10 Comparisons of condition numbers

5 结 论

(1) 针对EEM方法计算量大，且传感器数目大于模态数时产生信息冗余的缺点，基于应变-位移转换关系，提出了一种两步序列应变传感器布局方法。

(2) 两步序列应变传感器布局方法的第二步采用逐步累加传感器位置的方式进行求解，求解过程中考虑模态应变信息的冗余性，不断删除信息冗余的位置，寻找与已布局传感器相对独立的布局位置，降低了传感器的信息冗余度。

(3) 以某相控阵天线实验平台为研究对象，通过四种评价准则评估所提方法与EEM方法的布局效果，结果表明在计算效率、重构精度、模态应变正交性和条件数等方面本文所提方法都要优于EEM方法。