光栅衍射实验中测量光栅常数的两种辅助方法

衍射光栅是一种根据多缝衍射原理制成，将复色光分解成光谱的分光元件，它能产生亮度较大、间距较宽的均排光谱[1,2].根据夫琅禾费衍射理论，当一束平行光垂直投射到光栅平面时，衍射光栅产生谱线(明条纹)的位置通常用下式表示[3-12]：

(1)

式中d为光栅常数,λ为入射光波长,k为衍射光谱的级次,i为入射光与法线夹角， θ为第k级谱线的衍射角.光栅衍射的示意图如图1所示，这里需注意的是，如果衍射光与入射光在法线两侧则取减号，如果衍射光与入射光在法线同一侧则取加号.

图1 非正入射衍射光栅示意图.G表示衍射光栅，L表示凸透镜，P表示观察屏

当入射光正入射，即i=0时，式(1)变为

(2)

如果用已知波长λ的光入射，用分光计测出第k级光谱中某一明条纹的衍射角θ，就可以计算出光栅常数d.本文介绍光栅衍射实验过程中的两个有趣现象：一是旋转光栅时，谱线的偏转角存在一个最小值；二是光栅旋转到一定角度时，衍射光斑会逐渐消失在视野中.并针对这两种现象，在理论上做了分析并设计出两种测量光栅常数的辅助方法.现象一与文献[4-12]中研究到的现象类似，但本文对此现象给出了一个更加清晰简单的图像，并且重点分析了由判定最小偏转角位置偏差所带来的影响，提出了利用对称旋转测量的方法来进一步减小误差，并在实验上做了演示，取得了很好的测量效果.

1 方法1：最小偏转角法

1.1 现象1

如图2所示，入射光AO为正入射，OB是第k级衍射光谱，当光栅G逆时针旋转时，第k级衍射光谱OB随之顺时针转动；当光栅G旋转θ0角度至G′位置时，光谱OB顺时针转动到位置OB′处，继续逆时针转动光栅，光谱OB′反向转动，成逆时针方向，即第k级光谱随着光栅旋转时存在一个最小偏转角.此时入射角为θ0，衍射光线与法线的夹角为θ，衍射光线OB′与入射光线AO(或OC)的夹角定义为偏转角 φ.

图2 现象1的示意图

1.2 理论分析

在实验中所观察到光谱偏转实际上是在观察 ∠BOC 的变化，∠BOC随着光栅角度的偏转有一个极小值.设点B′是衍射光线偏转角最小的位置，此时∠B′OC对应的角度为φ，入射光与衍射光线都在法线的同侧，如图2所示.根据分析有如下关系式

(3)

φ=θ+θ0

(4)

由式(3)和(4)计算可得

(5)

从式(5)中可以看出，φ是θ0和k的函数，对于给定的k，φ存在极小值，令导数可得

化简得

(6)

表示最小偏转角φmin时对应的光栅偏转角度.由上面分析可知，除零级之外，所有级次的光谱随光栅旋转时都存在一个最小偏向角.另外，由对称性知，当光栅G顺时针旋转θ0角度时，各级光谱在观察屏上也存在一个最小偏转角的位置.

根据式(6)，如果用已知波长为λ的光入射，用分光计测量出第k级光谱处于最小偏转位置时，光栅对应转动的角度为就可以计算出光栅常数d.如果分别测量衍射光线在对称分布的最小偏转位置时，光栅对应转动的角度，取平均则可以不受光栅转动前入射光与光栅是否垂直的影响.

1.3 对判断最小偏转角偏差带来的影响分析

利用最小偏转角法进行光栅常数的测量时，可能会存在这样的问题：当出射光线在最小偏转角位置附近，即使载物台上的光栅转动较大的角度(即入射角改变较大的角度)，在望远镜视野中衍射光线的角度位置变化也不大.因此在利用该方法测量光栅常数时，由于最小偏转角的位置的判断偏差，会给光栅偏转角度的测量带来较大的不确定度值.图3中画出了不同级次的衍射光谱偏转角φ随着光栅转角θ0的变化曲线图.

图3 当k分别取值1、2和3时，角度φ随着光栅旋转角度θ0变化的曲线图.图中也分别标出了当最小偏转角φ偏差0.1′以内时，对应的光栅转动角的偏差范围Δθ0.此图中的参数取值分别为：λ=546.07 nm,d=3333 nm

从图3中可以看出，对于不同级次k的衍射光谱，偏转角均存在一个最小值φmin.随着级次k的增大，最小偏转角φmin也将增大.但每条曲线在φmin附近的变化均比较平缓，也就是说当入射角在该范围内变化几度，偏向角的变化值非常小.这可能会使得在做实验时，衍射光谱在最小偏转角位置附近时，转动载物台而衍射光谱的位置几乎不变， 这将导致最小偏转角法测量的结果具有一定的随机性.由于人眼可以分辨的最小角度约为1′[13]，但分光计中的望远镜有一定的放大倍率(假设为10倍率的望远镜)，人眼通过10倍的望远镜可以分辨的最小角度约为0.1′.因此转动载物台旋转光栅角度时，若偏转角改变的角度小于0.1′，人眼通过分光计是分辨不出来的.图3中分别标出了当最小偏转角φ偏差在0.1′以内时，对应的光栅转动角的偏差范围Δθ0.可以看出，Δθ0随级次k的增大而减小.

为了展示的更加清楚，在图4中画了当最小偏转角φ偏差在0.1′以内时，光栅转动角偏差的相对误差随衍射光谱级次k变化的直方图.从图4中可以看出，选择低级次的衍射光谱(例如k=1)做实验时，在判断其最小偏转角时，会给光栅转动角的测量带来较大的相对误差，利用高级次的衍射光谱，带来的相对误差会小一些.但高级次的衍射光谱的亮度比较弱，因此，做实验时要根据实际情况选择合适级次的衍射光谱来测量光栅常数，一般情况下可选择k=±2或±3级次的衍射光谱.

图4 当最小偏转角φ偏差在0.1′以内时，光栅转动角偏差范围的相对误差随衍射光谱级次k变化的直方图

1.4 利用对称旋转法进行测量

根据1.3节的分析可知，如果利用最小偏转角法进行光栅常数的测量，在判断衍射光谱的最小偏转位置时，会给光栅偏转角的测量带来较大的误差.从图3中，还可以观察到，在最小偏转角φmin的位置附近，光栅的偏转角θ0在理论值两边近似对称分布.因此，当逆时针旋转载物台使θ0从小于的角度逼近时，由于对最小偏转角的判断误差，测量的角度会偏大.如果一开始把θ0转到大于的位置，顺时针旋转载物台逐步逼近位置时，测量的角度则会偏小.由于这两种偏差的大小关于近似对称分布，如果结合逆时针和顺时针旋转的方法，多次测量取平均，最后测得的光栅偏转角会更加接近理论值.

图5 对称旋转法测量光栅常数的实验示意图

这里我们结合对称旋转测量来进行最小偏转角法测量光栅常数的实验演示.本实验需要用到的仪器有透射光栅、分光计和汞灯，与教材[14,15] 中所用到的实验仪器相同，仪器的使用方法以及实验中的注意事项见教材[14,15]和文献[16,17].这里只介绍利用对称测量的最小偏转角法的实验操作步骤，如下：

1) 根据1.3节的分析，选择k=±3级，波长为546.07 nm的绿光为测试光线.调整光栅位置，使光栅平面基本垂直于入射光(粗调即可)；

2) 转动望远镜找到汞灯的绿光谱线，将望远镜对准k=+3级谱线；

3) 逆时针转动载物台带动光栅旋转，如图5示意图所示，光栅从G位置逆时针旋转逼近G′.从望远镜中盯着k=+3级谱线，谱线顺时针移动直至反向为止，此时分别记下载物台左右的角度和

4) 转动载物台将光栅角度调到偏离垂直方向约30度的位置，顺时针转动载物台带动光栅旋转，如图5中光栅从G″位置顺时针旋转逼近G′.从望远镜中盯着k=+3级谱线，谱线仍然顺时针移动直至反向为止，此时分别记下载物台左右的角度和

5)同上方法，利用两种旋转方式分别测量出k=-3级谱线最小偏转位置时，载物台左右的角度和

实验的测量数据及处理结果如表1所示(所用光栅的光栅常数为 d0=3.333 μm)：

表1 最小偏转角法的测量结果及处理结果

根据对称旋转法测量得到的两组数据计算的光栅常数分别为3.325 μm和3.346 μm.而综合这两组数据取平均，得到的结果为3.337 μm，更加接近给定的标准值，相对误差只有0.12%，从而证实了此最小偏转角法可以取得不错的测量效果.并且利用对称旋转测量，可进一步减小由判断最小偏向角位置偏差所带来的误差.

2 方法2：90°衍射角法

2.1 现象2

如图6所示，当光栅顺时针转动时，法线异侧的第k级衍射光谱OB的衍射角θ越来越大，所观察到的衍射谱线强度也越来越弱，直至衍射角增至接近90°，即OB′位置，观察不到衍射谱线，此时光栅顺时针转过的角度为θ0.

2.2 理论分析

据以上现象分析，入射光与衍射光在法线两侧，则根据式(1)有

(7)

图6 现象2的示意图

衍射角随着入射角的变化曲线如图7所示，对于第k级的入射光，随着入射角的增大，当衍射角增大至90°时，第k级光谱刚好会在视野中消失.

取θ=90°，故式(7)变为

(8)

表示对应级次的衍射光谱刚好消失时对应的光栅偏转角度.根据式(8)，如果用已知波长为λ的光入射，用分光计测量出第k级光谱刚好消失时，所对应的光栅旋转的角度据此就可以计算出光栅常数d.在实验上，k=±1级次的衍射光谱亮度大，而且对应的也最大，因此，建议做本实验时选择k=±1级次的衍射光谱进行.

图7 当k分别取值1、2和3时，衍射角θ随着光栅旋转角度θ0变化的曲线图.此图中的参数取值分别为：λ=546.07 nm,d=3333 nm

2.3 实验验证

同1.4节中的实验仪器及说明，在这里只介绍90°衍射角法的实验操作步骤如下：1) 选择k=±1级，波长为546.07 nm的绿光为测试光线.调整光栅位置，使光栅平面基本垂直于入射光(粗调即可)；2) 转动望远镜找到汞灯的绿光谱线，将望远镜对准k=+1级谱线；3) 顺时针转动载物台带动光栅旋转，从望远镜中盯着k=+1级谱线直至消失看不见，此时分别记下载物台左右的角度和 同上方法，测量出k=-1级谱线消失在视野中，此时载物台左右的角度和实验测量数据及处理结果如表2所示(所用光栅的光栅常数仍为d0=3.333 μm).

表2 90°衍射角法的测量结果及处理结果

根据实验的测量数据得到的光栅常数为d测=3.387 μm，与标准值的相对误差为1.6%.此方法的不足之处是，衍射光谱在衍射角接近90°时，就已经逐步消失，因此会带来判断上的误差.

3 讨论

由理论分析中可知，最小偏转角法和90°衍射角法都是可行的.从实验结果来看，方法1的测量结果比较令人满意，方法2中结果的误差为1.6%，有些偏大.这是由于方法2中，衍射角在接近但还未到达 90°时，衍射谱线就弱的看不见，因此带来的较大的实验误差.

本文介绍的两种方法不及教材[14,15]中介绍的标准方法简单，但它们在理论上可行，而且都不用调节入射光线与光栅严格垂直，所用到的实验器材与教材[14,15] 中方法介绍的一样，故可以作为测量光栅常数的两种补充测量方法.