改进的粒子群优化算法对断路器储能弹簧的优化设计

0 引言

在新能源领域与智能电网的快速发展大趋势下，供配电市场规模不断扩大，电网的可靠性运行要求也越来越高[1]。断路器作为常见的开关器件，用于接通和分断电流，以保护电气设施、配电线路免于由短路引起的过电流受损及过欠压破坏[2]。随着日常用电量增多，为确保电网能够安全工作，对断路器的优化要求日异严苛[3]。其中，断路器优化主要体现在节能化、快速分断、小型化、可通信等方面[4-5], 因此，设计高效、稳定、安全的断路器是目前研究的热点、难点[6-8]。

在断路器小型化、快速分断方面的优化，储能弹簧是断路器的首要优化对象[9]。储能弹簧设计时，弹簧力不宜过大从而可以减少机械磨损、减小设计体积；弹簧力也不宜过小从而触头可以快速闭合、分断电流; 此外，储能弹簧的设计还存在诸多复杂约束，主要包括：剪切强度约束、疲劳强度约束、弹簧刚度约束、细长比约束、共振约束以及弹簧旋绕比约束等[10]。而传统的断路器储能弹簧设计方法通常采用经验估算、反复试算、生产大量样机测试实验等方式，使得断路器自身体积设计过大、设计粗糙导致断路器分断性能差、寿命短。因此，须结合当今先进的仿真优化技术，并提出科学、可靠的断路器优化设计方案。

粒子群优化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法常用来解决具有非线性、多条件、不可微和多极值等特征的工程优化问题[11]; 同时，由于PSO算法操作便捷、适用性强，该算法得以在工程设计、生命科学演化、电网优化、集成测试等方面大量应用[12-16]。然而，对于不同实际问题的应用，PSO算法的性能都需依情况进行调整。传统的PSO算法在迭代之初，速度惯性系数较大,有利于全局寻优，此时如果粒子群已经在最优值范围附近搜索，但多数粒子对最优值不敏感，会产生盲目寻优、算法性能下降等问题；在迭代后期，寻优惯性系数减小有利于局部寻优，但多数粒子又可能陷入局部最优、粒子多样性差，从而得不到最优解[17]。针对PSO算法还存在的收敛慢、易陷入局部最优问题，算法应进行必要的改进才能适应各种复杂多约束的优化问题，如陈大鹏等[18]在传统PSO算法中采用惯性权重因子呈指数下降的策略，并引入人工免疫思想，形成免疫PSO算法，来增加粒子多样性，避免粒子陷入局部最优；范成礼等[19]针对传统PSO算法在求解高维空间的复杂问题时易陷入局部最优的问题，提出了一种带反向预测和斥力因子的改进PSO算法。而对于PSO算法的早熟问题，黄松等[20]则提出了一种自适应变异概率PSO算法，研究通过考察粒子聚集度动态调节每代粒子的变异概率，并对全局寻优进行高斯和柯西缓和变异、对最差个体最优位置进行小波变异，最后证明了改进算法具有较高的收敛精度。此外，李国栋等[21]还提出一种用于定性与定量信息转换的云模型，其中，正态云模型可将定性的概念通过定量表示，并可以和PSO算法结合。

综上，本文将针对万能式断路器储能弹簧设计中，弹簧结构参数设计粗糙、试算方法复杂低效等问题，提出应用结合鲶鱼效应改进的云粒子群优化算法，对万能式断路器的储能弹簧进行优化仿真设计。即先推导储能弹簧优化目标函数数学模型与弹簧约束条件，再根据优化的数学模型及约束条件对粒子群优化算法加以改进，最后采用改进的算法优化设计储能弹簧，并计算出相应的弹簧设计参数。

1 储能弹簧优化模型

1.1 储能弹簧物理模型

对于储能弹簧的设计，要求在满足断路器正常的工作条件下，尽可能地减小弹簧的质量、体积。其圆柱形螺旋弹簧结构如图1所示。

图1 圆柱形储能弹簧螺旋结构

Fig. 1 Helical structure of cylindrical energy storage spring

图1中，D为弹簧中径，d为弹簧丝直径，n为弹簧圈数，H为弹簧的长度，t为弹簧螺距，则弹簧丝的体积为：

VS=πnd2L/4

(1)

式中L为弹簧丝的展开长度。

弹簧的质量公式为：

M=πρd2L/4

(2)

弹簧的体积为：

V=πD2H/4

(3)

根据断路器的设计要求，式(1)～(3)中：

(4)

由于万能式断路器所需的合闸力较大，因此采用双层嵌套的两根弹簧提供合闸力。采用密度为ρ=7.8×103 kg/m3的碳素钢丝作弹簧丝，弹簧的剪切弹性模量g=8×104 MPa。外层和内层储能弹簧的弹簧丝直径分别为d1、d2，有效圈数分别为n1、n2，弹簧中径分别为D1、D2。

1.2 储能弹簧设计约束条件

圆柱形螺旋储能弹簧的设计约束存在弹簧强度、刚度、共振约束等性能上的约束与弹簧尺寸的边界约束，具体约束条件如下：

1)作用于弹簧的轴向载荷F和弹簧剖面上的转矩联合作用，将在弹簧丝剖面引起最大的剪切强度τmax，剪切强度约束为：

τmax=(8KPD)/(πd3)≤[τ]

(5)

式中：τmax为弹簧截面上的最大切应力；K为弹簧的曲度系数，可由旋绕比C求得：

K=(4C-1)/[4(C-1)]+0.615/C

(6)

C=D/d

(7)

2)弹簧的疲劳强度约束。

对于受循环载荷的重要弹簧要进行疲劳强度运算：

nca=(τ0+0.75τmin)/τmax≥nF

(8)

式中: nca为计算安全系数；nF为设计安全系数；τ0为钢丝的脉动循环疲劳极限；τmin为弹簧中的最小剪切力。

3)弹簧的刚度条件约束。

弹簧刚度计算即求出满足变形量要求的弹簧圈数：

λmax=(8PC3n)/(gd)=(8PD3n)/(gd4)≥λmin

(9)

式中: λmax为弹簧的最大形变量；λmin为弹簧的最小形变量；g为选用碳素弹簧钢材其剪切弹性模量，取8×104 MPa。

4)弹簧长细比约束。

压缩弹簧在处于长度较大的情况下时，易发生受力后不稳定的现象，故需对弹簧的长细比进行约束，如下：

H/D=[(n-0.5)d+1.1λmax]/D≤b

(10)

外层弹簧满足一端固定，一端回转支撑b<3.7；内层弹簧满足两端固定支撑b<5.3。

5)弹簧不会发生共振约束。

对高速运转中承受循环载荷的弹簧，需要进行共振验算：

f=3.65×105×[d/(nD2)]≥10fr

(11)

式中: f为弹簧的自振频率； fr为强迫振动频率。

6)为保证弹簧本身的稳定，对弹簧的旋绕指数C有如下约束：

4≤C=D/d≤9

(12)

为保证断路器储能弹簧可以使触头有效分断电流、快速闭合，须满足以上约束条件，传统设计方式通常采用经验试算方法来求解弹簧参数，下面采用该方法对弹簧进行设计。

1.3 采用试算方法设计弹簧参数

实际储能弹簧设计中的参数设置，外层储能弹簧最大工作载荷Pmax=1 750 N，最小工作载荷Pmin=880 N；内层储能弹簧最大工作载荷Pmax=1 340 N，最小工作载荷Pmin=725 N；外层弹簧直径3≤d1≤10，工作圈数5≤n1≤18，中径12≤D1≤40；内层弹簧直径3≤d2≤9，工作圈数6≤n2≤15，中径9≤D2≤30；外层储能弹簧安全系数nF=0.7；内层储能弹簧安全系数nF′=1.0。

实际的弹簧参数，采用试算方式对弹簧的设计如下：

1)首先设计内层弹簧，取旋绕比C=4,则由式(9)计算可得曲度系数K=1.4。

2)取d2=4 mm，切应力[τ]=1 100 N/mm2，则根据式(10)计算可得D2=16 mm。

3)根据弹簧的强度条件，保证弹簧永远不会变形，τmax=(8KPD)/(πd3)=1 194 N/mm2，τmax>[τ]，因此取值不符合设计要求，故需重新设定d2的值。

4)选取d2=5 mm，故D2=20 mm，τ=(8KPD)/(πd3)=765 N/mm2，此时τ<[τ]，符合设计要求，d、D取值合理。

5)根据弹簧的有效圈数公式可得n2=7。

6)由弹簧疲劳强度约束条件式(11)检验得nca=1.12，满足nca> nF′，因此符合设计要求。

故内层储能弹簧的设计参数为d2=5 mm，n2=7，D2=20 mm。同理可求得外层储能弹簧的设计参数为d1=8 mm，n2=8.6，D2=32 mm。根据式(2)～(3)求得内层储能弹簧的质量为0.348 8 kg，内层储能弹簧体积为2.674×10-4 m3；外层弹簧质量为1.682 4 kg，外层弹簧体积为17.468×10-4 m3。

手动试算所得的储能弹簧的质量和体积均比较大，为了更精细地遵循断路器小型化设计原则，则要对断路器储能弹簧进行优化建模，采用PSO算法对储能弹簧进行优化设计。

1.4 储能弹簧数学模型

根据断路器的储能弹簧工作原理及约束，引入优化控制系数，构造弹簧质量体积综合模型函数。

将弹簧直径、有效圈数和中径设为自变量，即：

x=[d1,n1,D1,d2,n2,D2]T=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T

(13)

将内外层弹簧质量、体积分别求和，再引入优化控制系数建立相应的储能弹簧目标优化函数，控制系数为动态改变的值，以保证求得目标函数最小时，弹簧的质量和体积也是满足条件的最小值。如式(14)所示：

f(x)=[M1(x)+M2(x)]+

(1-G/M)[V1(x)+V2(x)]

(14)

其中：

(15)

式中:M1(x)为外层储能弹簧质量，M2(x)为内层储能弹簧质量，V1(x)为外层储能弹簧体积，V2(x)为外层储能弹簧体积，G、M为优化控制系数。

对于储能弹簧的数学优化目标函数模型及多个复杂约束条件下的优化，下面将根据储能弹簧的函数模型，对PSO算法加以改进，并采用改进的粒子群优化算法进行快速优化参数计算。

2 改进的粒子群优化算法

2.1 粒子群优化算法的云模型改进

粒子群优化(PSO)算法的基本运算公式[22]如下：

vi+1=ω·vi+φ1·rand1·(pbest-xi)+

φ2·rand2·(gbest-xi)

(16)

xi+1=xi+vi+1

(17)

传统PSO算法中，粒子惯性权重ω为固定值，很容易使算法陷入局部极值的状态，从而得不到取值范围内最优值[23-24]。“云模型”的提出可以根据搜索粒子的不确定性，确立一个服从正态分布的ω加快寻优。在此应用一种云模型改进的PSO算法[25]，具体策略如下：

1)设粒子群在第k次迭代中目标函数平均适应度为：

(18)

优于favg(k)的表示为fbetter(k)，次于favg(k)的用fworse(k)表示。

2)若fi(k)优于fbetter(k)， ω的值取0.4，加快收敛速度。

3)若fi(k)优于fworse(k)而次于fbetter(k)，采用云模型理论对其改进：目标函数计算值的期望为EX=fbest(k)，“熵”为：En=(fbetter(k)-fbest(k))/b1，超熵为He=En/b2, 则分布于该区间内惯性权重ω的取值为：

(19)

式中En′=normrnd(En,He)。

4)若fi(k)次于fworse(k)，则ω取0.9，将此部分粒子置为全局寻优状态，粒子速度惯性权重ω取0.9。

将结合云模型改进的粒子群优化算法成为云粒子群优化(Cloud Particle Swarm Optimization, CPSO)算法，为了使粒子群搜索更加精确，引入鲶鱼效应以增加搜索候选解个数，从而对算法进一步改进。

2.2 鲶鱼效应-云粒子群优化算法

鲶鱼效应是一种扰动并激活粒子寻优的有效手段，其原理如图2所示。

图2 鲶鱼效应原理示意图

Fig. 2 Schematic diagram of catfish effect principle

鲶鱼效应的具体实现呈现多样化：文献[26]中的学者采用“劣汰”的方式将每次适应度值最差的前10%沙丁鱼粒子代替成同样多的鲶鱼粒子；文献[27]中，当多数粒子停止迭代更新时，加入鲶鱼粒子并带动整体粒子继续迭代寻优。定义沙丁鱼粒子逃离距离自身最近的鲶鱼粒子速度为：

(20)

则速度更新公式变为：

vi+1=ω·vi+φ1·rand1·(pbest-xi)+

φ2·rand2·(gbest-xi)+neg_v

(21)

综上，结合鲶鱼效应与云模型的改进粒子群优化(Catfish Effect Cloud Particle Swarm Optimization, CE-CPSO)算法的公式如式(22)所示：

(22)

式(22)中:xsi、vsi表示适应度值一般或者较差的沙丁鱼粒子位置、速度更新；xci、vci表示适应度优的粒子或者鲶鱼粒子的位置、速度更新公式。

2.3 鲶鱼效应-云粒子群优化算法实现步骤

鲶鱼效应-云粒子群优化算法的具体实现步骤如下：

步骤1 初始化位置和速度，设定最大迭代次数，位置、速度范围，ω等参数；

步骤2 计算粒子适应度，将粒子划分为fbetter(k)， fworse(k)和优于fworse(k)次于fbetter(k)的三个子群。

步骤3 判断fi与前一次或历史最佳值是否相同:相同,则记为xSardine，采用式(22)的第2、3式更新计算。

步骤4 判断除xSardine外的粒子是否在适应度较好的区域:若是，则采用式(22)的第2、3式更新计算;否则，则采用式(22)的第1、3式更新计算。

步骤5 更新粒子的位置与速度。

步骤6 判断是否达到最大运算次数:若是，则输出最佳粒子与最优适应度值；反之，则返回步骤2。

2.4 鲶鱼效应-云粒子群优化算法性能测试分析

为保证改进的CE-CPSO算法可以对断路器的储能弹簧进行优化设计，选取多种单峰、多峰函数[28]对改进的CE-CPSO算法进行收敛性与计算速度测试分析。

1)Schaffer、Sphere经典测试函数是单峰函数。Schaffer函数只在(x1,x2)=(0,0)处取得全局最小值0，数学表示如式(23)所示:

(23)

Sphere函数维度可调，且位于点[0, 0,…, 0]处取得函数唯一最小值0，其数学表达式如式(24)所示:

(24)

两个经典单峰函数三维立体函数图像如图3所示。

图3 单峰测试函数三维图形

Fig. 3 3D graphs of single peak test functions

Schaffer、Sphere单峰函数分别通过PSO算法、CPSO算法与CE-CPSO算法进行全局最优搜索，得到算法对比结果如图4所示。

通过以上经典单峰测试函数仿真结果可知，对于Schaffer单峰函数， CE-CPSO算法引入了鲶鱼效应，增加种群多样性，迭代到100次时，取得最小值为2.213E-12，未停止迭代寻优，有效避免种群陷入局部最优。同样对于Sphere单峰函数，引入鲶鱼效应来增加种群的多样性的CE-CPSO算法迭代到98次时，最小值为1.259E-23。该方式改进的算法可以求解单极值的函数，且速度、精度最高。

图4 单峰测试函数函数寻优迭代曲线

Fig. 4 Optimization iterative curves of single peak test functions

2)Ackley、Griewank测试函数是连续、多维的多极值函数，取值范围内存在大量局部极小值。Ackley数学表示如式(25)所示:

(25)

Griewank测试函数数学公式如式(26)所示:

(26)

两个经典多峰函数三维立体函数图像如图5所示。Ackley、Griewank多峰函数分别通过以上算法进行全局最优搜索，得到算法对比结果如图6所示。

通过以上经典多峰测试函数仿真结果可知，对于Ackley多峰函数，引入鲶鱼效应来增加种群的多样性的CE-CPSO算法迭代到100次时，取得最小值1.983E-10，且未陷入局部最优。同样对于Griewank多极值函数，由于引入鲶鱼效应来增加种群的多样性的CE-CPSO算法迭代到245次取最小值为0，表明该改进的算法同样适用于多极值函数的求解。各函数的测试结果如表1所示。

表1 不同测试函数仿真结果对比

Tab.1 Simulation result comparison of different test functions

由表1可知，改进的CE-CPSO算法在收敛性能和求解精度上较传统的PSO与CPSO算法更稳定，尤其在求解Sphere函数和Griewank函数时，精度与求解速度均最高。此外，改进的CE-CPSO算法从未陷入局部最优，且对于复杂的多峰函数，优化效果更好，因此改进的CE-CPSO算法可以用于断路器储能弹簧的优化设计。

图5 多峰测试函数三维图形

Fig. 5 3D graphs of multi-peak test functions

图6 多峰测试函数函数寻优迭代曲线

Fig. 6 Optimization iterative curves of multi-peak functions

3 储能弹簧的算法优化设计与分析

断路器储能弹簧的优化设计是一个单目标、多维的、带有约束条件的、复杂的函数求解问题。下面采用改进的算法对其进行优化迭代求解。

在仿真实验中，对一种断路器弹簧设计及约束条件进行分析，根据弹簧的约束条件(5)～(12)，可计算推导得到约束方程为：

(27)

在Matlab编程仿真环境下，迭代寻优得到外层储能弹簧质量和体积的收敛曲线如图7所示。由图7可知，断路器外层储能弹簧的质量和体积均随着各自变量值逐渐接近最优结构参数而不断地减小。在寻优过程中改进的CE-CPSO收敛速度最快，且未陷入局部最优，精度最高，断路器外层储能弹簧质量寻优中，在迭代57次时求得质量为0.703 8 kg，在外层储能弹簧体积寻优中，在迭代58次时，所求的体积为4.953×10-4 m3。

图7 外层储能弹簧质量和体积寻优迭代收敛曲线

Fig. 7 Optimization iterative curve of external energy storage spring mass and volume

内层储能弹簧质量和体积寻优迭代收敛曲线如图8所示。

图8 内层储能弹簧质量和体积寻优迭代收敛曲线

Fig. 8 Optimization iterative curve of internal energy storage spring mass and volume

由图8可知，断路器内层储能弹簧的质量和体积也均随着各自变量值逐渐接近最优结构参数而不断地减小。CE-CPSO算法的性能最优，在迭代214次时，求得断路器储能外层弹簧质量为0.293 4 kg，相比CPSO和传统PSO算法，计算精度与求解速度均有所提高。对于内层弹簧体积的寻优，CE-CPSO算法求得的内层弹簧体积最优，所求的体积为2.16×10-4 m3，迭代计算次数也比CPSO算法少。

最后，由上述优化仿真寻优得到断路器储能弹簧的质量与体积最优值与试算所得质量与体积值如表2所示。

表2 断路器储能弹簧的质量与体积最优值

Tab. 2 Optimal value of mass and volume of energy storage spring

由表2可知，手动试算所得的弹簧质量体积最大，且耗时耗力，CE-CPSO算法优化设计的断路器外层储能弹簧质量体积最小且优化迭代速度最快。算法优化结果及手动试算得到断路器储能弹簧参数如表3所示。

表3 断路器储能弹簧设计参数

Tab. 3 Optimal parameters of energy storage spring

由表3可知，CE-CPSO算法优化设计的断路器储能弹簧结构参数优于CPSO算法、传统的PSO算法和手动试算设计的结构参数。CE-CPSO算法优化设计的断路器内外层储能弹簧的弹簧丝直径、有效圈数、中径均比传统的PSO和手动试算的设计结果小。因此，改进后的CE-CPSO算法优化设计断路器的储能弹簧方法能更好地达到断路器小型化、分断性能更好的设计目标且提高了设计效率。