电磁轨道发射装置导轨动力学响应分析

引 言

电磁轨道发射技术由于其诸多的优越性，在超高速发射领域有着广阔的应用前景[1-2]。电磁轨道发射装置(EMRL)一般要求在几毫秒内将公斤级的发射载荷加速至千米每秒的速度，因而需要馈入兆安级的脉冲电流。高幅值电流产生的瞬态电、磁、热、力对发射器系统造成巨大的冲击作用。研究分析电磁轨道发射装置导轨的动力学响应机理，对于解决轨道烧蚀、刨削等问题[3-4]，以及延长发射装置服役寿命具有重要意义。

国内外众多学者对发射装置的导轨动力学问题开展过研究。Timoshenko[5]基于弹性地基支撑的伯努利-欧拉梁模型，提出梁在临界速度下的挠曲变形与梁在纵向压缩载荷作用下引起的屈曲变形相似的观点，据此推导了梁在移动集中力作用下的临界速度。Tzeng J T[6-7]研究了电磁轨道炮中的导轨在圆柱钢壳约束下的动力学响应问题，分析得出采用高弹性模量、低密度的管身材料，增加管身截面厚度均有助于提高导轨共振的临界速度。陈铁宁等[8]将导轨简化为两端铰支的弹性支撑伯努利-欧拉梁模型，求解了电枢匀加速运动时导轨的动态响应。分析认为电流强度越大，导轨挠度也越大，增大地基弹性常数和阻尼系数均可以减小导轨的挠度。刘振国等[9]将导轨简化为固定在弹性支撑上的伯努利-欧拉梁模型，利用傅里叶变换求解动力学方程，得到了导轨振动的临界速度。分别以梁单元和弹簧单元离散导轨和支撑装置，借助ANSYS软件仿真分析了电枢速度、导轨弹性模量、导轨密度、截面转动惯量等参数对导轨动力学特性的影响。田振国等[10-12]基于块状电枢模型，推导了电枢在焦耳热下由于受热膨胀对导轨的接触压力近似计算公式。应用二维傅里叶积分变换，推导了弹性基础支撑的导轨在移动载荷下的动态挠度解。计算比较了导轨间电磁斥力与电枢压力分别对导轨挠度的影响，认为电枢压力对导轨的挠度起主要作用。但计算中忽略了电枢与导轨接触面的磨损及材料受热软化效应。Nechitailo N V等[5]使用ABAQUS软件对移动均布载荷作用下的阻尼弹性支撑梁的振动进行了有限元模拟，结果表明梁上横向载荷的移动速度对梁的振动响应有显著的影响：速度低于临界速度时，梁的变形近似为准静态；速度接近临界速度时，梁产生了共振现象；超过临界速度时，梁的变形与横向脉冲载荷作用下的响应相似。Johnson A J等[13-14]以梁单元离散导轨、四边形单元离散电枢，在ANSYS软件中建立了二维有限元模型，模拟了电枢匀加速过程中导轨的动力学响应，分析了块状电枢与C形电枢在此过程中与导轨的动态接触压力分布。仿真结果显示当电枢运动速度超过轨道的临界速度后，接触压力的分布和幅值会发生显著的改变。杨琳等[15]以实体单元和弹簧单元模拟导轨和支撑基础，采用LS-DYNA软件建立了电磁轨道发射有限元模型，研究了不同曲率的内凹C形电枢匀加速运动过程中与导轨的接触问题。

实验方面，一些学者对导轨在发射过程中的动态响应进行了测试。Johnson A J等[16]采用光纤布拉格光栅(FGB)测试了电磁轨道发射过程中导轨的动态应变，发现当电枢速度超过临界速度后，导轨的应变幅值增加，且正负极导轨的振动响应具有非对称性。Lee Y H等[17]的测试也表明电枢的移动速度对导轨的动态响应影响很大。Schuppler C等[18]测试了螺栓式预紧短路轨道炮导轨的振动响应，并比较了光传感器与加速度传感器的适用性。

针对电磁轨道发射装置的动力学研究，国内外在计算模拟方面开展了不少研究工作，也极大地促进了电磁轨道发射技术的发展与应用。但很多理论研究中多采用均布载荷和匀速运动(或匀加速运动)进行简化，导致分析结果产生一定误差，针对时变电磁载荷作用下电枢变加速运动时的导轨动态响应的研究则较少。

本文以一个典型电流激励下的发射器为例，将分布式移动时变电磁载荷作用下的导轨简化为悬臂支撑的伯努利-欧拉梁进行建模，从理论上求解了导轨振动的挠度表达式。结合电枢的运动过程，分析了发射时导轨的挠曲变形、速度和横向加速度的变化规律，讨论了导轨动力学响应的临界速度效应。

1 物理模型与控制方程

1.1 物理模型

对于电容器型脉冲功率源馈电的轨道炮，其电磁力简化模型如图1所示。发射器主要由导轨、绝缘支撑隔板、封装外壳组成，导轨受到的力有：导轨之间的分布式电磁压力、电枢对导轨的接触压力以及封装壳体对导轨的支撑力。导轨之间的电磁压力随着电枢的运动而向炮口移动，直至电枢飞离炮口，电流回路被切断。若发射器尾端为固定约束，则可将导轨视为弹性基础上的悬臂梁模型，对其发射动力学响应进行分析。

图1 简化的电磁轨道发射装置物理模型
Fig.1 A simplified physical model of the EMRL

1.2 控制方程

电磁轨道发射器导轨为细长结构，主要承受垂直于轴线的横向力作用，以弯曲变形为主，故可以将其简化为伯努利-欧拉梁进行处理，将绝缘支撑件和封装外壳简化为弹性基础。

伯努利-欧拉梁模型的因变量为挠度ω(x,t)，假设梁在变形中其横截面始终与梁的轴线相垂直。由微元体平衡原理得到弹性基础上的梁的动力学方程为

(1)

式中 ω为导轨的挠度，E为导轨弹性模量，I为导轨的截面惯性矩；mr为单位长度导轨的质量，kb为地基弹性系数，q(x,t)为作用在导轨上的移动载荷。

q(x,t)包含两个部分：一部分是导轨间的电磁斥力，另一部分是电枢与导轨之间的接触压力。前者为分布力，与电流大小相关，贯通电枢后面所有导轨的长度；后者为集中力，随电枢的运动向炮口移动。

q(x,t)=q1(t)[1-H(x-u(t))]+

q2(t)H[(0.5l)2-[x-(u(t)+

0.5l)]2]

(2)

式中 u(t)为电枢的位移，l为与导轨接触的电枢臂长度；q1(t)为导轨间的电磁斥力集度，q2(t)为电枢对导轨的接触压力集度，均为Heaviside阶跃函数。

考虑到电流主要集中于导轨内侧表面上，忽略电流沿导轨厚度的扩散。导轨间的斥力集度为

(3)

式中 i(t)为激励电流，h为导轨高度，s为导轨间距，μ0=4π×10-7 H/m为真空磁导率。

电枢沿导轨高速滑行时，伴随着摩擦磨损与烧蚀过程。电枢的初始过盈量、电枢尾翼上的电磁张力、接触面的磨损等都对接触压力产生影响。因此，电枢对导轨的接触压力是动态和非线性的，接触力的准确计算比较复杂，并且难以通过实验进行测量。本文通过电枢受到的磁压进行估算，得到接触压力集度为

(4)

式中 L′为发射器电感梯度，l为电枢臂与导轨的接触长度，s为导轨间距。

2 振动响应解析解

方程(1)的通解所对应的自由振动方程为四阶齐次偏微分方程，可采用分离变量法转化为常微分方程进行求解，设梁的挠度为

ω(x,t)=f(x)φ(t)

(5)

将式(5)代入式(1)的齐次方程，得到

kbφ(t)f(x)=0

(6)

改写为

(7)

引入符号λ2，式(7)变换为：

(8)

(9)

其中

(10)

式(8)的通解为

f(x)=C1cosh(βx)+C2sinh(βx)+

C3cos(βx)+C4sin(βx)

(11)

式中 C1，C2，C3和C4为常数，由边界条件进行确定。

式(9)的通解为

φ(t)=D1cos(λt)+D2sin(λt)

(12)

式中 D1和D2也是常数，由初始条件确定。

将导轨看做悬臂梁结构，若导轨长度为L，则导轨的边界约束条件为：

(13)

式(11)结合边界条件(13)，得到

cosh(βL)cos(βL)+1=0

(14)

上述超越方程可用图解法数值求解，式(14)的解βiL有一系列值，每一个都对应不同的简谐振荡模式。

前5阶振荡的根如表 1所示。

表1 各阶振荡的根
Tab.1 Roots of vibrations under each orders

由式(14)定义的βi，式(11)的解为

fi(x)=[cosh(βix)-cos(βix)]-

(15)

fi(x)是正交函数，满足下列关系

(16)

下面结合拉格朗日方程来确定激励q(x,t)作用下函数φ(t)的特解。振动梁系统的拉格朗日方程为

(17)

式中 Ti为梁的动能，Ui为系统的总变形能，Qi为广义力。

(18)

式中 Mi为梁的广义质量，定义为

(19)

系统的总变形能包括梁的变形能Uf与弹性地基的应变能Ub之和，即：

(20)

Qi=q(x,t)fi(x)dx

(21)

结合式(18)，(20)和(21)，式(17)化简为

(22)

根据杜哈梅尔积分，有

(23)

考虑到t=0时刻，有以下初始条件：

(24)

从而得到

(25)

若电枢的位移为u(t)，式(21)写为

Qi(t)=q1(t)[(coshβix-cosβix)-Xi(sinhβix-

sinβix)]dx+q2(t)[(coshβix-cosβix)-

Xi(sinhβix-sinβix)]dx=

Xi[cosh(βiu(t))+cos(βiu(t))]}+

(26)

式中

根据模态叠加法，将导轨的振动表示为各阶模态的线性组合

(27)

由于q1和q2均是时间的函数，式(25)无法通过直接积分求解，通过数值积分方法编程计算可以得到φi(t)的数值解，进而求出导轨的振动挠度ω(x,t)。

3 结果与分析

3.1 导轨振动响应的临界速度

首先分析电枢以不同的速度匀速通过导轨时，导轨的动力学响应。假设电枢匀速运动，即u(t)=vt，代入式(25)和(26)，可得到轨道发生共振的条件为

(28)

由此得到轨道各阶振动模态下的临界速度

(29)

当时，vcr有最小值，即最小临界速度为

(30)

由式(30)可以看出，采用低密度、高弹性模量的轨道材料，增加轨道截面惯性矩、增大地基弹性系数均可以提高轨道振动的最小临界速度。根据表 2中所列的发射器参数，由式(30)可计算出导轨振动的最小临界速度为1212 m/s。

图 2是计算出的电枢以不同速度(500-2000 m/s)匀速通过时，导轨的振动挠度随时间的变化云图。图中用红色的虚线、实线分别表示电枢的头部、尾部位移。可以看出：由于导轨受到的磁压随着电枢的运动而向炮口移动，因此电枢运动经过的导轨挠曲变形较大，电枢运动未抵达的导轨则由于应力波的传播产生挠曲变形，但幅值较小。随着电枢速度的提高，导轨的挠曲变形幅值逐渐增大。当电枢速度接近最小临界速度值时，导轨的挠曲变形大幅增加(图 2 (b))，达到了1.3 mm，此时导轨产生了共振，共振的位置靠近炮尾。电枢速度超过最小临界速度后，电枢的运动会激起导轨振动的屈曲现象(图中的颜色条纹)。且随着电枢速度的进一步提高，发生振动屈曲的导轨范围增加，波动逐渐向炮口延伸(图 2 (d))，直至扩散到整个导轨。这是由于：导轨振动的最小临界速度由较高阶的模态振型决定，而高阶模态主要影响导轨前半段的响应。低阶模态下对应着较高的临界速度，随着电枢速度的提高，低阶模态振型起作用，并影响到整个导轨的响应。

图2 电枢以不同速度匀速通过时导轨的挠度响应
Fig.2 Deflection responses of the rail as the armature moves at different velocities

3.2 典型电流驱动下的导轨动力学响应

在时变电流驱动下，电枢作变加速运动，导轨受到的分布式移动电磁压力和电枢压力也是时变的。图 3是一个典型的激励电流波形，分为上升期、平台期和下降期三个阶段，电流峰值1000 kA。电枢在电流激励下作变加速运动，若不考虑摩擦等阻力，其位移为

(31)

式中 i(t)为激励电流，L′为导轨电感梯度，u0为电枢初始馈电位置，ma为弹枢质量。

图3 典型的激励电流曲线

Fig.3 A typical exciting current profile

下面以一个中口径电磁发射器为例进行分析，具体的计算参数如表 2所示。计算得到电枢的速度、位移曲线如图 4所示。电枢沿3 m长的导轨进行加速，加速度峰值约为11.25×104个g，膛内运动时间2.5 ms，出炮口的速度为2340 m/s。

图4 电枢速度、位移随时间变化曲线

Fig.4 Armature′s velocity and displacement changing with time

表2 发射器参数
Tab.2 Parameters of the launcher

图 5是计算出的不同阶次模态下导轨的振型。可以看出，随着振动阶次的升高，导轨的振动频率增加，而振动的幅值减小。随着阶次的增多，振型的叠加将呈现出收敛的特征。导轨的前半段受低阶和高阶模态振型的共同影响，而导轨的后半段主要受低阶模态振型的影响。

图5 不同阶模态下的振型函数曲线
Fig.5 Vibration mode curves under different orders

图 6是导轨沿轴向各个位置的振动挠度随时间的变化；图 7是挠度在x-t平面上的投影等值线图，图中两条红线是电枢的位移-时间曲线，其中实线表示电枢的尾部，点划线表示电枢的头部。实线以下部分表示电枢运动经过的导轨，点划线以上部分表示电枢运动尚未抵达的导轨区域。可以明显看出：在横向时变电磁压力的作用下，导轨产生的横向振动挠度以偏离炮膛轴线为主，幅值可达0.8 mm。由于导轨之间的电磁压力是随着电枢的运动而向炮口移动，电枢后面的导轨在电磁压力作用下产生了较大的挠曲变形，而电枢前方的导轨则由于应力波的传播而产生挠曲变形，但相比之下幅值较小。图 7中黑色虚线表示电枢运动到临界速度的时刻线，可以看出：运动的磁压激起的导轨应力波同时向炮口和炮尾传播，电枢后方的导轨呈现出明显的振动屈曲效应(图中的颜色条纹)。随着电枢的进一步加速，受波动扩散影响的导轨长度也逐渐增加，并随着电枢的出膛而延伸至导轨末端。当电枢超过临界速度后，导轨的挠度增加并达到了峰值，这将会导致电枢发生横向摆动，并冲击导轨表面，从而使得刨削更易于形成[19]。

图6 导轨各个位置挠度随时间变化图
Fig.6 Deflection of rails as a function of time

图7 导轨挠度变化与电枢位置的关系
Fig.7 Deflection of rails and position of the armature

计算显示，电枢运动超过临界速度后，电枢后方导轨振动的速度和加速度均呈现出明显的波动特性。图 8是导轨各个位置的振动速度随时间的变化，电枢运动经过的导轨振动速度较大，速度幅值约15 m/s。图 9是导轨各个位置的振动加速度随时间的变化，也是电枢运动经过后的导轨振动加速度较大，振动加速度峰值可达1×106 m/s2，约105个g。导轨的横向振动过载表现为双向性，这一点与弹枢的纵向过载(单向过载)不同。由于发射过程中，一体化弹枢与导轨组成滑动接触系统，因此导轨的横向过载也将传递到弹枢上，因而可以为制导弹丸的抗过载设计提供一定的参考。需要说明的是，此处计算中未计入阻尼的影响，实际的发射系统由于存在阻尼，因此实际的横向过载要低于此计算值，后续的研究中将进一步考虑阻尼的影响。

图8 导轨各个位置速度随时间的变化
Fig.8 Velocity of rails as a function of time

图9 导轨各个位置加速度随时间的变化
Fig.9 Acceleration of rails as a function of time

4 结 论

将分布式移动电磁载荷作用下的导轨简化为伯努利-欧拉梁模型，建立了悬臂支撑约束下的导轨振动控制方程。通过分离变量法进行求解，推导了给定初边界条件下的导轨振动解析解和临界速度表达式。计算分析了电枢匀速运动、典型电流驱动下变加速运动时导轨的动力学响应过程。结合电枢的运动过程分析了导轨的振动挠度、速度和横向加速度等参量的变化规律。得到的主要现象与结论如下：

(1)当电枢在电磁力驱动下沿导轨运动时，电枢后方的导轨在电磁压力作用下会产生较大的挠曲变形，电枢前方的导轨则由于应力波的传播产生较小的挠曲变形。当电枢超过最小临界速度后，轨道的动力学响应显示出临界速度效应：电枢后方的导轨振动挠度表现为明显的屈曲变形，振动幅值明显增加；与此相应，振动速度和加速度也呈现出明显的波动特征。

(2)电枢运动超过最小临界速度后，随着速度的进一步提高，电枢后方产生挠曲波动效应的导轨长度增加，并逐渐向炮口延伸，直到扩散至整个导轨。这是由于：导轨振动的最小临界速度由较高阶的模态振型决定，高阶模态主要影响导轨前半段的响应。低阶模态下对应着较高的临界速度，随着电枢速度的提高，低阶模态振型起作用，并影响整个导轨的响应。

(3)采用低密度、高弹性模量的导轨材料，减小导轨横截面面积、增加导轨截面惯性矩，增大导轨支撑结构的刚度系数均可提高导轨振动的最小临界速度，从而缩短导轨发生大幅振动响应的时间。