不同温度下锂电池剩余电量估算的仿真研究*

前言

锂电池以其比能量高、比功率高、自放电率低、无记忆效应、充放电寿命长和工作温度范围宽等优点，成为了电动汽车的首要能源［1］。为了准确监控电池状态，实时反馈电池信息，延长电池工作寿命，电池管理系统（battery management system，BMS）起着至关重要的作用，尤其是其核心算法——荷电状态（state of charge，SOC）的估计［2］。

SOC可表示为当前电池的剩余容量与其满电时额定容量的比值，其数值受到了使用工况、寿命和温度等因素的影响［3］。就当前SOC估算的研究方法中，既有传统的电流积分法［4-5］和开路电压法［6］，也有较为新颖的神经网络法［7-8］和卡尔曼滤波法［9-11］等，每种方法各有其适用范围和优缺点。

上述研究方法中，大部分仅仅适用于常温下锂电池的状态估计，通过测试获得的数据只是应用了常温下的额定容量和开路电压（OCV）等标称性能参数，而实车运行下的锂电池，却会因不同放电倍率和工作环境等因素导致电池内部参数发生变化，其中温度是对电池参数影响最大的变量。当锂电池工作在高温环境时，电极间的化学反应速率更快；当工作环境温度为低温时，锂离子的活性降低，这种由温度引起的变化会致使电池可用容量和欧姆内阻等参数发生大幅波动［12］。针对温度变化下的SOC估计，当前已有部分研究成果。文献［13］中建立了一温度补偿的电化学模型，考虑到温度对于内阻和开路电压的影响，使用双粒子滤波器进行SOC估计，但算法较为复杂。文献［14］中提出了一种改进的安时计量法，通过可用容量进行SOC估计，但算法不具有鲁棒性，易产生累积误差。

本文中针对汽车用动力锂电池，综合考虑温度对于电池参数的影响，建立2阶RC等效电路模型。通过从低温到高温多个温度点的电池测试，获得一系列混合动力脉冲能力特性（HPPC）实验数据，并使用最小二乘法原理辨识出电池在不同温度下的参数，建立温度与容量、欧姆内阻、开路电压和极化参数的模型，以表征温度对该电池特性参数的影响。基于电池温度模型，引入一可变增益系数对原扩展卡尔曼滤波算法（extended Kalman filter，EKF）进行改进，并通过搭建快速控制原型验证平台进行在线仿真验证。结果表明，该算法模型在SOC估计上具有满足要求的精度。

1 电池模型的选取

根据文献［14］可知，电池模型可通过多种方法表示，常用的有电化学模型［15-16］、神经网络模型［17-18］和等效电路模型［19-20］等。综合考虑，本文中选用基于电池工作原理的等效电路模型，该模型能够适用于多种电池，简单易行，可以使用数学表达式进行模拟，参数也较易获取，是目前研究中一种普遍运用的方法。

选用的电池等效电路模型主要有1阶、2阶和多阶动力学模型［21］。1阶模型结构简单，主要以一个欧姆内阻和一对极化阻抗组成，较难准确反映电池的真实特性；多阶模型结构复杂，含有两组以上的RC极化参数，模型精度虽然有所提高，但阶数的增加也使得计算过程变得更加复杂，且本文中采用的扩展卡尔曼滤波算法也会因此增加状态变量的个数，从而导致处理器的计算量出现极大的上升，难以在实际中使用。综合上述分析，选定的模型既要达到一定的精确度，也不能过于复杂化，采用如图1所示的2阶RC等效电路模型。

图1 2阶RC等效电路模型

该电池等效电路模型可以表示为

式中：U OC为开路电压；U O为端电压；I为电池的端电流；R0为欧姆内阻；R1为电化学极化内阻；C1为电化学极化电容；R2为浓差极化内阻；C2为浓差极化电容；U1和U2分别为电化学极化电压和浓差极化电压，即分别表示并联支路 R1／C1和 R2／C2两端的电压。

2 电池-温度模型的建立

当锂离子电池在不同温度下工作时，会表现出不同的特性，这是由锂离子在正负极物质中嵌入和脱落的难易程度导致的。当温度升高时，锂离子的扩散速度加快，可以转移的锂离子数量也增多，这时会表现出容量升高、内阻减小的特性；而当温度下降时，锂离子的活化特性也随之降低，相应的容量也会减小，内阻表征为较大值。同样，锂电池两端的开路电压和极化参数也会受到温度的影响。

2.1 容量模型

实验对象选取的是圆柱形锂电池，25℃下0.2C放电的标称容量为2.6 A·h，根据多个温度测试，可绘制如图2所示的容量变化曲线。

图2表明，随着温度的升高，容量有所上升，且当温度越低时容量变化率越大。这里可简单定义容量随温度变化曲线为一元多项式方程，通过拟合可得到图中虚线，该曲线能够较好地满足容量随温度变化的趋势。

图2 不同温度下锂电池容量变化曲线

2.2 欧姆内阻模型

为测量不同温度下的欧姆内阻变化情况，进行了混合动力脉冲能力测试（HPPC）实验［22］，图3为某一SOC点下的HPPC实验数据，当电流从无到有时，电池端电压会急剧下降，当电流从有到无时，电池端电压会急剧上升，其主要原因是由欧姆内阻导致，可根据此电压差的平均值来计算锂电池的欧姆内阻，相应的计算公式为

式中：ΔU1和ΔU2分别为电流开始瞬间和结束瞬间产生的电压差；I为脉冲放电电流。

图3 电压在脉冲放电下的响应曲线

根据实验内容，可获得电池欧姆内阻随SOC和温度变化的情况，分别如图4和图5所示。图4表明，当温度不变时，SOC的降低会导致欧姆内阻略有增加，但趋势不明显。图5表明，随着温度降低，欧姆内阻呈明显上升趋势，且温度越低，变化率越大，不同的SOC导致的阻值差异也越大。综合图4与图5可知，温度和SOC都会对欧姆内阻产生一定影响，因此本文中在建立欧姆内阻参数模型时，会考虑温度与SOC两个输入量，最终模型如图6所示。

图4 欧姆内阻随SOC的变化曲线

图5 欧姆内阻随温度的变化曲线

图6 不同SOC与温度下欧姆内阻的变化

2.3 开路电压模型

为建立开路电压（open circuit voltage，OCV）参数模型，进行简单的充放电静置实验。根据实验结果可以得到同一温度下放电和充电两种开路电压，这是由极化效应导致的，为使开路电压模型更精确，取两者平均值作为估计的开路电压。由此可获得开路电压随SOC和温度变化的情况，分别如图7和图8所示。从图7可以看出，当温度不变时，随着SOC的降低，锂电池的开路电压呈下降趋势，且当SOC处于20%～80%时，开路电压变化较缓慢，当SOC处于两端时变化差异更大。从图8可以看出，当SOC＞20%时，同一SOC下的开路电压基本保持不变；而当SOC＜20%时，电池两端的开路电压会随着温度的升高而降低。综合图7和图8可知，温度和SOC都会对开路电压产生一定的影响，为使建立的开路电压模型更精确，须同时考虑温度与SOC两个因素，建立的双输入模型如图9所示。

图7 开路电压随SOC的变化曲线

图8 开路电压随温度的变化曲线

2.4 极化效应参数模型

图9 不同SOC和温度下开路电压的变化

根据HPPC脉冲实验以及求出的欧姆内阻与开路电压，可以通过最小二乘法原理获得等效电路模型中的两组RC参数。图3中后半部分为静置状态，其电压响应为极化现象造成的，由RC电路原理可知，端电压数值可表示为

式中U1和U2分别为静置开始瞬间R1C1和R2C2电路两端电压。

图3中脉冲放电过程中的电压变化可表示为

根据式（3）和式（4）可拟合得到不同SOC和不同温度下的参数R1，C1，R2和C2，建立的双输入模型如图10～图13所示。

图10 电化学极化内阻的变化

3 改进的EKF估计SOC

扩展卡尔曼滤波算法是目前解决非线性系统问题最常用的方法之一，也是目前研究锂电池SOC估算比较可行的路径，能够弥补安时积分法所带来的误差，满足用户对于估算结果鲁棒性和准确性的要求，因此本文中采用了基于可变增益系数的EKF算法进行动力锂电池的荷电状态估计。为了能够与扩展卡尔曼滤波法相结合，需要将电池模型公式离散化，由此得到的系统方程和观测方程可表示为

图11 电化学极化电容的变化

图12 浓差极化内阻的变化

图13 浓差极化电容的变化

式中：η为电池充放电效率；Δt为取样时间；λc为与电池寿命和环境温度等相关的系数；Q0为电池的标称容量；τ1和τ2分别为两个RC支路的时间常数，其值可以表示为 τ1=R1·C1，τ2=R2·C2；w k＋1为系统噪声；v k＋1为观测噪声。

将式（5）～式（8）进行线性化，可得

基于上述状态空间方程，利用改进的EKF实现锂电池SOC的估计算法步骤如下。

（1）设定系统状态和状态误差的协方差初始值

式中符号上方的‘～’表示其预测算；符号上方‘＾’表示其估计值，下同。

（2）根据当前的状态及误差协方差预测下一时刻的状态及其误差协方差

（3）计算增益矩阵

式中K为可变增益系数。

（4）状态估计更新和误差协方差状态更新

式中：Q k为系统噪声协方差矩阵；R为测量噪声协方差矩阵。

4 仿真结果分析

为确保算法的可行性，搭建了快速控制原型验证平台，主要用到的设备有：温控箱，充放电机，MicroAutoBox，12 V直流电源，电池管理系统 BMS，2.6 A·h／3.7 V的锂电池和电流电压温度传感器。通过搭建的硬件平台进行了算法的在线验证。

4.1 可变增益系数的验证

本文算法中引入了一可变增益系数的概念，为了选出一种较为合适的因子，此处对其进行了多次的在线验证分析。实验过程采取动态压力实验（DST）工况，该工况一个周期为360 s，相应的电流波形如图14所示。

图14 DST工况电流曲线

通过测试在线仿真不同增益系数下的收敛情况，结果如图15所示。其中，图15（b）和图15（c）分别为图15（a）中左侧和右侧的局部放大图；图中SOC真实值是在无电流噪声输入条件下用安时积分法算得（下同）。从图中可以看出，在一定范围内，当加入的增益系数较小时（图中为0.001），仿真收敛速度较慢，整体误差较小；当增益系数较大时（图中为1），仿真收敛速度变快，但整体误差会变大。因此，可以通过调节该增益系数，使仿真在整个过程中不仅起始收敛速度快，且整体误差小，也就是既能满足鲁棒性的要求，也能满足准确性的要求。

4.2 定温与变温环境的验证

25℃时，采用美国联邦城市行驶循环（FUDS）工况对锂电池进行了算法的在线验证，该工况一个周期为1 373 s，电流波形如图16所示。

图15 不同增益系数的收敛曲线

图16 FUDS工况电流曲线

运用上述工况对25℃下满电状态的锂电池进行实验，通过原EKF法和本文中设计的EKF法两种算法估算电池SOC，结果如图17和图18所示。图17（a）为两种算法估算的SOC值与真实SOC值对比曲线，为使图形更清晰，对其起始和中间部分进行了局部放大，相应的放大图分别为图17（b）和图17（c）。实验过程中，真实SOC起始值为1，模型中设置的初始SOC为0.7，初始误差为0.3。由图17（b）可知，新EKF法比原EKF法能使SOC更快地收敛到真实值附近。图17（c）反映了仿真过程中第6 000到7 500 s的情况。可以看出，新EKF法相对于原EKF法估算出的SOC更加平稳。图18为整个仿真过程中两种算法的误差对比曲线。由图可知，原EKF法的SOC估算误差波动较大，最大值达到了0.057，而新EKF法相对原EKF法误差更小，最大误差为0.023。仿照常温实验对-20℃下的锂电池进行了验证，结果如图19和图20所示。图19（a）为两种算法估算的SOC值与真实SOC值对比曲线，图19（b）和图19（c）为图19（a）中的局部放大图。实验初始值与常温条件设置相同，初始误差为0.3。从图19（b）看出，初始误差较大时新EKF法比原EKF法收敛速度更快。从图19（c）看出，新EKF法相较于原EKF法具有更小的估算误差。图20为低温下两种算法误差对比曲线。原EKF法估算出的结果误差波动较大，最大值达到了0.1，而新EKF法的估算结果误差相对较小，最大值为0.035。

图17 25℃下SOC真实值与仿真值对比

图18 25℃下SOC估计误差曲线

图19 -20℃下SOC真实值与仿真值对比

图20 -20℃下SOC估计误差曲线

为验证本文算法在其它温度下的准确性，同样在-10，0和55℃进行了FUDS工况实验，仿真初始条件与25℃相同，得到的最大误差如表1所示。由表1可知，本文算法可以使SOC估计值在不同定温下都能保持误差在0.035以内，完全可以满足预期要求。同时看出，本文算法在低温下的SOC估计误差会比高温下更大，这是因为现实中由于温度传感器的限制会导致实际采集到的电池温度可能与真实温度有偏差，而低温下的电池容量、欧姆内阻等参数随温度变化差异较高温更大，由此导致低温下的电池模型误差会偏大。

表1 不同温度下SOC估计最大误差

为充分验证算法对于不同温度的适应性，进行了变温下的在线仿真实验。采用FUDS工况对电池进行放电，在放电结束后对电池进行了恒流充电操作，仿真曲线如图21～图23所示。图21为通过温控箱控制的实验温度变化情况，温度范围为-11～52℃，覆盖范围较广。图22为新 EKF法估算的SOC值与真实值对比曲线，图23为相应的SOC估算误差。其中，模型中设置的初始SOC为0.7，误差为0.3。从图22和图23可看出，本文算法在变温下放电时依然能够将估算值迅速收敛至真实值附近并保持误差在0.025以内，而在常温下充电时最大误差可保持在0.04以内，能达到预期要求。

图21 温度变化曲线

图22 SOC真实值与估算值对比

图23 SOC估算误差

4.3 噪声输入的验证

在实际应用中，由于电流传感器采样精度的影响，往往会造成实际电流与采集到的电流产生偏差，此处为了验证本文算法估算电池荷电状态的准确性，在输入电流中加入一波动的噪声。图24和图25分别为25℃下加入电流噪声后SOC实际和仿真曲线及其误差。其中，实际初始SOC为1，改进EKF法中设置的初始SOC为0.9，随着电流偏移噪声的加入，原安时积分法随时间累积误差逐渐增大，最大误差达到 0.077，而改进 EKF法最大误差为0.018 5，小于安时积分法误差，且可以在较短时间内将初始值校正到正确值附近。

图24 25℃下实际与估算SOC曲线对比

图25 25℃下SOC估算误差对比

5 结论

（1）从现有研究中选取了一种更适用于本文算法的电池模型，并通过大量实验建立了电池温度模型。

（2）对原扩展卡尔曼滤波算法进行修正，修正后的基于可变增益系数的扩展卡尔曼滤波算法在估算SOC时具有更好的鲁棒性和准确性，经半实物在线仿真平台验证可知，改进EKF法不受初始SOC值误差影响，在高低温下均能实现最大误差在0.04以内。

（3）通过与传统的安时积分法相比，本文中应用的基于可变增益系数的扩展卡尔曼滤波算法能够抑制电流漂移噪声的干扰，具有更低的估算误差。