基于模态展开法的二维消声器传递损失分析

压缩机进排气系统产生的压力脉动不仅影响压缩机的热力性能而且会诱发管路振动。由于压缩气体所含的杂质会阻塞阻性消声器的微孔和多孔材料，抗性消声器更为广泛地用于压缩机系统以便减弱气流脉动［1］。对于小型全封闭制冷压缩机，薄层的抗性消声器因为能更有效地利用压缩机有限的内部空间，而得到了更多的应用。

Munjal［2］推荐传递矩阵法用于分析抗性消声器传递损失。这种方法在一维平面波范围内计算方便，效率高但无法反映消声器的高次波效应。Kim和Soedel［3］采用模态展开法分析了具有高次波效应的三维声腔的压力脉动。Lai和 Soedel［4－7］采用了相同的方法研究了二维消声器的压力脉动。但是，Soedel等人［3－7］之前的研究都采用了点声源模型计算消声器的压力响应函数，而Zhou和Kim［8］指出点声源模型会在声源区域附近产生数值收敛的问题。为了解决这个问题，Zhou和Kim［8］建议采用面声源模型计算压力响应函数。Kadam和Kim［9］采用了面声源模型计算了三维矩形消声器的四极参数。

虽然二维消声器元件的性能在文献［4，5］中已经讨论过，但是由于其采用的点声源模型在声源附近存在数值收敛问题，得到压力响应的值不一定准确。另外，面声源模型虽然也已经在消声器性能的分析中得到了应用［8，9］，但是这些分析的对象都局限于矩形消声器。根据文献查阅，目前并没有有关二维消声器传递损失分析方面的文献。因此，本文运用模态展开法分析了不同形状的二维抗性消声器的传递损失。为了克服点声源模型在源点区域的数值收敛问题，本文采用面声源推导了矩形和圆柱形二维消声器的传递损失计算模型，并将计算结果与三维有限元法进行了比较、验证。此外，还将一个二维矩形消声器传递损失的结果与文献［10］中提到格林函数法的计算结果进行了比较和分析，讨论了两种方法的差异。

1 传递损失数学模型

在推导不同形状的二维消声器的传递损失之前，首先对运用模态展开法求解压力响应函数的方法进行简要的回顾。传递矩阵定义了频域范围内声学系统变量进出口的关系。

图1 消声器声学系统示意图
Fig.1 Schematic representation of acoustic system of a muffler

对于图1所示的声学系统，其传递函数可以表示为：

下标1和2分别代表入口和出口。P和Q是声压和体积流率的谐振幅。A，B，C，D代表四极参数。它们可以用压力响应函数表示如下［3］：

fij表示系统在j点受到单位容积流率的激励并同时阻塞另一点i的压力响应。从方程（2）可知，如果已知声学系统的压力响应函数，那么其相应的传递矩阵也可以得到。

根据文献［2］，使用四极参数推导的传递损失的公式可以如下表示：

Z1和Z2分别是系统入口和出口的特征阻抗。Z1=ρc/S1，Z2= ρc/S2，其中 S1和 S2分别代表入口和出口管道的截面积。ρ和c分别代表流体介质的密度和音速。

正交曲面坐标系下的二维非齐次声波方程可以表示为：

式中，p代表声压是质量流率，▽2是二维曲面坐标系下的拉普拉斯算子［4］：

式中，α1，α2代表一组正交的曲线坐标，A1和 A2表示拉梅系数。

1.1 二维矩形消声器

对于如图2所示的薄矩形消声器，采用矩形坐标系：α1=x，α2=y，A1=1，A2=1，进行分析。波动方程表示为：

图2 采用面源模型的二维矩形消声器
Fig.2 Rectangular thin muffler element with surface source model

使用正方形面声源模型，质量流率可以表示为：

其中δ（·）是狄拉克函数，H（·）表示单位阶跃函数，L是正方形声源的边长。（x1，y1）是声源的中心坐标。h是该消声器的厚度。

使用模态展开法［3］，可以得到源点中心的压力响应函数：

其中：

式中：Pmn和ωmn分别代表（m，n）阶复模态振幅和固有圆周频率。Lx和Ly分别代表矩形消声器的长度和宽度。Nmn由下式给出：

由于在面源上的压力分布不是常数，压力响应函数是由计算面源上压力响应的平均值得到［8］：

令方程（12）中（x，y）=（x1，y1）并且 Q=1，可以得到压力响应函数f11。通过相同的方法，也可以得到f21，f22，f12。通过计算得到的压力响应函数可以由方程（2）和（3）计算不同尺寸，不同进出口位置的二维矩形消声器的传递损失。

1.2 二维圆柱形消声器

图3为常用于小型全封闭制冷压缩机的二维圆柱形消声器。方程（4）采用圆柱坐标系：α1= θ，α2=z，A1=r和A2=1，进行计算。其波动方程为：

图3 采用面源模型的二维圆柱形消声器
Fig.3 Cylindrical thin muffler element with surface source model

采用面声源模型，质量流率表示为：

其中Θ代表面源的弧度，Z代表面源的高度。（θ1，z1）是面源中心点的坐标。R代表此圆柱的半径。采用模态展开法，可以得到面源中点的压力响应函数：

其中：

Pmnl和ωmnl分别代表（m，n，l）阶复模态振幅和固有圆周频率。R代表圆柱体的半径。Lz是圆柱的高。Nmnl由下式给出：

由前述分析可知。由于矩形消声器在面源上的压力分布并不均匀，因此平均的压力响应函数可以定义为：

通过方程（19）计算 f11，f21，f22和 f12，就可以得到圆柱形消声器的四极参数和传递损失。

2 有限元法验证

为了验证模态展开法推导出的二维薄型消声器的传递损失模型，本节首先采用声学有限元法建立了三维有限元模型。分析采用商用有限元软件COMSOL［11］。对1.2节中提到的圆柱薄形消声器建立完整的三维有限元模型。其尺寸为：Lz=0.185 m，R=0.07 m，h=0.01 m，Θ =0.142，Z=0.01 m。入口、出口中心点坐标分别为：（0.092 5，0）和（0.092 5，π）。分析选用密度ρ=6.04 kg/m3声速 c=162.9 m/s的冷媒作为介质。传递损失计算通过文献［2］和文献［10］中给出的进出口的速度和声压得到。传递损失可以表示为：

其中pin是入口的平均声压，uin和uout分别为进出口的平均速度值。对此消声器建立由8 668个四面体单元构成的网格。该网格所对应的最高频率为2 000 Hz的单位波长，其节点数为9，满足声学有限元计算中单位波长至少为6的基本要求。经过验证，进一步加密网格并不能得到更为精确的传递损失计算结果。为了抑制进口处的压力反射，进口采用平面波辐射边界条件；为了模拟无回声的出口边界条件，在出口处采用阻抗边界条件。传递损失的计算范围为10 Hz到2 000 Hz，分辨率为10 Hz。为了比较三维有限元法和模态展开法的计算效率，计算都采用相同配置的计算机（CPU：Intel® CoreTM2 2.33GHz，ROM：2.96GB）进行。对于模态展开法，采用面声源模型对于200个频率步长的传递损失计算耗费的CPU时间为91 s，而三维有限元法耗费的CPU时间为243 s，该时间不包括前后处理的时间。

计算结果如图4中所示，模态展开法得到的计算结果与三维有限元法得到的结果在低频范围内的结果相当一致。模态展开法得到的结果反映了消声器的高次波效应。由于模态展开建立的计算模型是二维的，而有限元法建立的模型本质上是三维的，因此两种方法得到的结果在1 500 Hz～2 000 Hz范围内有微小的偏差。另外，对于模态展开法而言，由于参与计算的模态数是有限的（本例中为40 000），因此会产生一定截断误差，这也是两种方法计算结果差异的原因之一。

图4 传递损失计算结果比较
Fig.4 Sound transmission loss of a cylindrical thin muffler

图5 二维矩形消声器传递损失
Fig.5 Transmission loss of a two-dimensional rectangular muffler

图6 平均相对误差
Fig.6 Averaged relative errors

3 与格林函数法的比较讨论

文献［10］使用格林函数法推导了三维矩形消声器的四极参数和传递损失。该方法同样可以用于分析计算二维矩形消声器的传递损失。为了将本文的方法与格林函数法进行比较，选用一尺寸为Lx=0.1 m，Ly=0.08 m，h=0.01 m，进出口位置为：（0.02，0.04）和（0.08，0.04）的二维矩形消声器进行计算。图5比较了采用两种方法得到的该消声器传递损失的计算结果。从图5可以看出，当选用的面声源的尺寸控制在较小范围内（本例为L=0.005 m）时，采用两种方法得到的计算结果并没有显著的差异。为了比较两种方法的计算误差，对此消声器建立了声学三维有限元模型进行计算，并将有限元方法得到的传递损失作为标准，比较模态展开法和格林函数法的计算结果的误差。误差定义式由下式给出：

其中表示误差在计算频率范围内的平均值，Errf表示每个频率下传递损失的计算结果与三维有限元法的计算结果的相对误差，Nf为计算频率的个数。由于误差的大小与面源的尺寸有关，图6表示了采用模态展开法和格林函数法得到的误差随面声源尺寸变化的规律。

从图6中可以看出，模态展开法和格林函数法计算结果的误差都随着面源尺寸的不断增加而增加，而且格林函数法的误差相对于模态展开法的误差随面源边长增加得更快。对于格林函数法，此方法是建立在面源上均匀速度分布［10］的假设上的，该假设只能在进出口的尺寸比相关波长尺寸小得多的条件下才成立。但是随着面声源的尺寸不断加大，这一条件并不能得到满足，因此计算的误差也随之增大。而对于模态展开法，在推导其压力响应函数时，主要的过程是对质量流率点源在进出口面上对压力响应进行积分，然后通过求解压力响应的平均值得到相应的四极参数，在此过程中并不需要假设面源上速度的均匀分布。因此，当面声源尺寸相对较大时，采用模态展开法进行计算的精度较格林函数法更高。另一方面，从计算效率来看，由于模态展开法相对于格林函数法在计算四极参数时需要多一个步骤，即求解压力响应在面源上的平均值［8］，因此耗费更多的计算时间。在本例的计算中，格林函数法耗费的CPU时间为13 s而模态展开法为75 s。因此在计算二维消声器的传递损失时到底采用哪种方法还需要根据具体的要求进行选择。如果面源的尺寸比较小，选用格林函数法具有较高的计算效率。但是当面源尺寸增加时，模态展开法的计算精度更高。

4 结论

采用模态展开法和面源模型建立了矩形和圆柱形二维消声器的传递损失计算模型，并通过有限元法验证了该方法的正确性。通过与三维有限元法分析比较，模态展开法在计算二维矩形和二维圆柱形消声器的传递损失时具有更高的计算效率。另外，还与格林函数法进行了比较。如果面源的尺寸较小，选用格林函数法需要的计算时间较少，但是当面源尺寸不能满足速度均匀分布的假设时，格林函数法与模态展开法相比误差较大。