考虑预紧力和接触角变化的直线滚动导轨副刚度建模与分析

滚动直线导轨具有运动灵敏度高、定位精度高、牵引力小、磨损小、润滑维修简便等优点，已逐渐取代了传统的滑动直线导轨(重载机床除外)，成为当前数控机床的重要功能部件[1]. 在滚动直线导轨组件中，滚动体与滚道之间的接触刚度直接影响直线导轨的动静特性.

对滚动直线导轨副接触刚度的研究，学者们做了很多工作. Wu等[2-3]，基于Hertz接触理论分析了滚珠和滚道之间的接触刚度及其影响因素. 蒋书运等[4]借助赫兹接触理论，分析计算直线滚动导轨的线刚度、滚珠丝杠副和角接触球轴承的轴向刚度，建立带滚珠丝杠副的机床直线导轨结合部的动力学特性理论模型，以某加工中心为研究对象，分析带滚珠丝杠副直线导轨结合部动态刚度，着重讨论了工作载荷对结合部动态刚度的影响规律. Zhang等[5]分析了滚柱和滚道之间的受力关系，通过理论力学等相关知识，基于Palmgren公式建立了导轨副水平和垂直以及绕主轴转动的3个方向的刚度模型. 刘耀等[6]以试验方法获取的单位面积结合面基础特性参数为基础，建立直线滚珠导轨的圆柱面- 球面结合面数学模型，用解析方法求解外载荷作用时其结合面变形，研究不同外载荷作用下直线滚珠导轨圆柱面- 球面结合面的静特性. Shimizu[7]以包含4个滑块的工作台为研究对象，分析了滚动直线导轨副中的滑块的刚性对整个工作台的运动精度和定位精度的影响，并进行了试验验证. 王威等[8]通过变形计算理论，得到了滚柱直线导轨副在额定载荷下的最大变形，并通过对额定静载荷作用下接触区进行有限元接触分析，验证了理论计算的正确性.

Zou等 [9]分析了导轨初始接触刚度和失效后接触刚度，并试验验证接触刚度与温度的关系，提出刚度退化分为磨损和温度变形2个阶段. 孙伟等[10]基于Hertz接触理论，对直线滚动导轨进行了Hertz接触建模及接触刚度求解，利用所创建的模型，分析了外载荷及预紧力对导轨接触刚度的影响. Hung[11]基于Hertz接触理论，建立了不同载荷作用下滚动导轨副有限元模型，研究了外载荷对导轨副刚度的影响，并通过试验对有限元模型进行修正.

预紧力对直线滚动导轨的刚度和摩擦力[12-13]有比较大的影响. 为了消除滚珠与滚道之间的间隙并提高直线导轨的刚度，一般是通过增加滚珠直径的方法来提高预紧力的，滚珠直径增加的多少决定了直线导轨预紧力的等级. 直线导轨的初始接触角对直线导轨的刚度影响是很大的. 直线导轨受载的过程中接触角也是发生变化的[14-15].

目前对于滚动直线导轨刚度的研究，大多数学者仅计算导轨副1个或几个方向的刚度，对于计算受任意载荷时导轨副的5个方向的变形量则很少. 本文基于Palmgren公式，对导轨副受载荷前后分别建立坐标系，采用齐次坐标转换矩阵，建立了导轨副5个方向的接触刚度模型，可求出施加任意外载荷时，导轨副的5个方向的变形量，并与相关文献实验数据进行对比，验证了所建模型的合理性.

1 导轨副接触刚度模型

直线导轨副运动过程中会分别绕3个坐标轴形成3种运动，如图1所示，分别为滚摆运动、俯仰运动、偏航运动. 3种运动造成的导轨副的扭转误差的大小分别由3个转动刚度Kx、Ky、Kz来决定.

图1 滑块绕坐标轴的转动运动形式
Fig.1 Movements type of slider around the axis of rotation

滑块在3个轴向力和3个轴向力矩的作用下，会同时产生5个变形量(由于其中1个轴的方向为滑块的移动方向，该轴向力主要由滚珠丝杠承担，故不考虑此轴向力且认为在此方向上不发生位移形变). 为了求出导轨在受到5个已知量Fy、Fz、Mx、My、Mz(Fy、Fz分别为y、z轴方向的力，Mx、My、Mz分别为绕x、y、z轴方向的力矩)的情况下产生的5个变形量δy、δz、εx、εy、εz(δy、δz分别为沿y、z轴方向的变形量，εx、εy、εz分别为绕x、y、z轴方向的偏转角)，本文在导轨变形前和变形后的几何中心分别建立坐标系O1、O2，如图2所示.

图2 变形前后导轨副坐标系
Fig.2 Coordinate of the guide before and after deformation

当滑块5个变形量较小时，坐标系O2相对坐标系O1的坐标转换矩阵为 [16]

(1)

由于滑块和导轨变形较滚珠变形很小，本文仅考虑滚珠的变形. 则可知承受外载荷后，与第i排第j个(设导轨有4排滚珠，每排同时有m个滚珠承载)相接触的滑块轨道曲率中心Os在坐标系O2中的坐标，设为(Xij(2),Yij(2),Zij(2))，通过坐标转换，可得Os在坐标系O1中的坐标并表示为 (Xij(1),Yij(1),Zij(1))

(2)

同样可知，与第i排第j个滚珠接触的导轨轨道的曲率中心Og在坐标系O1中的坐标，并设为(X′ij(1),Y′ij(1),Z′ij(1)). 则受载荷后第i排第j个滚珠中心与导轨轨道曲率中心之间的距离

(3)

设变形前导轨滚道和滑块滚道的曲率中心分别为Os、Og，变形后导轨滚道和滑块滚道的曲率中心分别为O′s、O′g，δz为单个滚珠垂直变形量δz=δsin α. rs、rg分别为滑块滚道和导轨滚道的曲率半径. fs、fg分别为滑块滚道曲率半径与滚珠直径和导轨滚道曲率半径与滚珠直径的比. Rb为滚珠半径.

根据图3所示的几何关系可知

(4)

如令fs=fg=f，则受载荷前第i排第j个滚珠中心与导轨轨道曲率中心之间的距离

(5)

式中Dw为滚珠的直径.

图3 滚珠与滚道接触几何关系
Fig.3 Geometry relationship of ball and raceway

由于受载荷影响每个滚珠的接触角会发生相应的变化，根据图4的几何关系，可得到

图4 滚道曲率中心变化几何关系
Fig.4 Change of curvature center of guideways

(6)

为了消除滚珠与滚道之间的间隙并提高导轨的接触刚度，通常会给每列滚珠施加一个预紧力Q0，设滚珠在预紧力的作用下滚珠的中心相对导轨轨道产生的初始单边弹性变形为δ0. 在额定载荷内，由于滚珠受载变形导致的接触角的变化量比较微小，因此，认为滚珠的变形主要是垂直于滚珠与滚道的接触面的，则受载荷后第i排第j个滚珠的弹性变形

δij=λ(lij(2)-lij(1))+λδ0

(7)

式中：λ根据滚珠所在的位置和受力情况相应的取值，当滚珠受外力与预紧力反向时，λ=+1；当滚珠受外力与预紧力同向时，λ=-1. 滚珠直线导轨副的滚珠与轨道的之间的接触变形可视为一定半径的弹性球体与一个刚度平面相接触产生的弹性变形，由Hertz接触[17]公式可得

(8)

由刚度的定义可知，刚度为刚体单位变形所需要的力的大小.

设直线导轨的刚度系数KA，表示为

(9)

由于接触角的存在，将滚珠与滚道接触面的法向接触刚度分解成垂直方向和水平方向的2个分量，则直线导轨刚度KG可表示为接触力Q、变形量δ和接触角的函数.

KG=KA(Q,δ,Q0,α′)

(10)

式中：δ为滚珠中心相对导轨轨道的弹性变形量，mm；K、μ为与接触椭圆的椭圆率有关的系数；ρ11、ρ12为滚珠的2个正交曲率值，ρ21、ρ22为滚道的2个正交曲率值，∑ρ=ρ21+ρ22+ρ21+ρ22. ν、E分别为导轨副材料的泊松比和弹性模量，GPa；Q为滚珠所受接触力.

设导轨中第i排第j个滚珠的接触力为Qij，可得：以滑块为分析对象，对其进行受力分析如图5所示.

图5 滚珠直线导轨副受力分析
Fig.5 Force analysis of rolling linear guide

(11)

式中

由式(11)通过MATLAB运用牛顿迭代法可求得5个未知的变形量δy、δz、εx、εy、εz.

2 仿真分析

2.1 导轨副相关参数

本文以某公司的LG20型滚珠直线导轨副为研究对象，该型号导轨参数如表1所示.

表1 LG20型滚珠直线导轨副参数
Table 1 Parameters of LG20 linear rolling guide

对于钢制导轨副，材料的弹性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3.

2.2 导轨预紧力和临界载荷对线性刚度的影响

通过仿真计算，可得导轨副5个方向的刚度，有无预紧力对直线导轨垂直刚度的影响如图6所示.

图6 预紧力对导轨副垂直刚度的影响
Fig.6 Influence of the preload of rolling guide on vertical stiffness

由图6可以明显看出，对导轨副施加预紧力可以提高导轨的刚度值，有预紧力的导轨副的刚度较施加预紧力前大，并且相比呈现线性变化. 随着外载荷增加下排滚珠脱离滚道使得刚度曲线出现一个拐点，可以看出，载荷大于拐点以后导轨副的垂直刚度有所变小.

预紧力的不同除了影响刚度大小还影响临界载荷的大小. 预紧力不同，垂直刚度曲线的转折点也不同，如图7所示. 可以看出预紧力越大，导轨刚度越大，临界载荷也越大. 图中蓝色细实线表达了临界载荷的变化呈现非线性的变化规律. 临界载荷与滚珠变形量之间的关系如图8所示. 临界载荷除了受预紧力的影响，还会受初始接触角的影响. 初始接触角越大，临界载荷越大. 并且直线导轨副的等垂直临界载荷和水平临界载荷的大小不一样，水平临界载荷随着接触角的增大而减小. 垂直临界载荷和水平临界载荷之间的关系如图9所示. 箭头表示随着接触角的增加，临界载荷的变化方向，蓝色细实线表示接触角为45°时的临界载荷与预紧力的关系曲线.

图7 预紧力对垂直刚度转折点的影响
Fig.7 Influence of preload on vertical stiffness turning point

图8 不同预紧力下的临界载荷
Fig.8 Critical load under different preload

图9 预紧力和接触角对垂直和水平的临界载荷的影响
Fig.9 Influence of the preload and contact angle of guide on vertical and horizontal critical load

图10、11分别表达了预紧力和接触角对垂直刚度曲线走势和对垂直刚度转折点的影响情况. 预紧力可以有效地增加滚动导轨的垂直刚度. 接触角越大垂直刚度就越大. 当预紧力比较大时如图9中的65°，预紧力对垂直刚度的影响比较小，但刚度的转折点有所变化. 由于直线导轨副结构的对称性，导轨副受水平载荷时水平刚度受预紧力和接触角影响的情况与图10、11很接近，不再描绘.

图10 预紧力和接触角对导轨副垂直刚度的影响
Fig.10 Influence of the preload and the contact angle on the vertical stiffness of guide

图11 预紧力和接触角对导轨副垂直刚度转折点的影响
Fig.11 Influence of the preload and the contact angle on the turning point of vertical stiffness

图12 预紧力和接触角对导轨副KX的影响
Fig.12 Influence of the preload and the contact angle to the torsion stiffness KX

可以证明，当在导轨受载过程中接触角保持不变时，滚动导轨的垂直刚度和水平刚度相同，2个方向的临界载荷也是相同的，但实际情况是，导轨副受载时接触角时是变化的. 这样就导致导轨在2个方向刚度及刚度转折的不对称性.

2.3 预紧力和接触角对扭转刚度的影响

图13 预紧力和接触角对导轨副Ky的影响
Fig.13 Influence of the preload and the contact angle to the torsion stiffness Ky

图14 预紧力和接触角对导轨副Kz的影响
Fig.14 Influence of the preload and the contact angle on the torsion stiffness Kz

图12～14分别表达了预紧力和接触角对滚摆刚度、俯仰刚度和偏航刚度的影响情况. 预紧力可以有效地增加滚动导轨的3个方向的滚动扭转刚度. 并且，接触角在0°～45°时，接触角越大，3个扭转刚度就越大. 接触角在45°～90°时，接触角越小，3个扭转刚度就越大.

由图15、16可以看出，直线导轨的滚摆转动刚度小于其俯仰扭转刚度和偏航扭转刚度，这一点跟实际情况是完全一致的. 导轨副不受预紧力时俯仰扭转刚度和偏航扭转刚度的大小几乎是一样的. 当受相同预紧力后，与垂直情况一样扭转刚度增大并呈现线性增加趋势，此时接触角变大时，俯仰扭转刚度和偏航扭转刚度的大小几乎也是一样的.

图15 相同条件下导轨副Kx、Ky、Kz的比较
Fig.15 Comparison of the Kx, Ky, Kz Under the no preload conditions

图16 相同条件下导轨副Kx、Ky、Kz的比较
Fig.16 Comparison of the Kx, Ky, Kz Under the same preload conditions

分析其原因，主要是因为滚珠在y、z轴方向受力情况相同，而且滚珠对滑块的接触力相对y轴和z轴的力臂相等，进而可知其力矩相等，故绕y、z轴方向旋转的刚度相等；而由式(11)可知滚珠对滑块在x轴方向的力和力臂均和y轴和z轴的情况不一样，故绕x轴方向旋转的刚度与绕y、z轴方向扭转刚度不相同.

在相同接触角情况下，直线导轨的垂直刚度和侧向刚度的变化趋势如图17所示. 可知在45°前后垂直刚度和侧向刚度的变化趋势正好是相反的. 因此，要想提高直线导轨的垂直刚度，需要适当增加接触角，反之，要想提高其侧向刚度，需要适当减小接触角.

图17 在相同接触角受载的垂直刚度和水平刚度的比较
Fig.17 Difference of the vertical stiffness and lateral stiffness in the same conditions

3 结论

1) 预紧力和接触角这2个参数都对直线滚动导轨的刚度有比较大的影响. 预紧力主要是改变了导轨副的刚度曲线的走势，预紧力使得刚度曲线在临界载荷以下基本成为一条线性直线，而接触角则主要对受载变化过程或者受磨损预紧力退化的过程有较大的影响. 通过分析可知，预紧力能够有效地增加直线滚动副的垂直和水平方向的刚度和3个扭转刚度. 有预紧力导轨的刚度曲线比无预紧力直线导轨副的刚度曲线线性度好得多，预紧力越大导轨副的刚度越大. 由于本文所研究导轨为接触角对称型导轨，导轨垂直、水平刚度在临界载荷时出现拐点.

2) 接触角对直线滚动导轨的刚度的影响比较大，接触角在接触角在0°～45°时，接触角越大，3个扭转刚度就越大，垂直刚度小于水平刚度. 接触角在45°～90°时，接触角越小，3个扭转刚度就越大，垂直刚度大于水平刚度. 根据直线导轨的应用场合，可以适当的调整接触角的大小. 另外，接触角的变化也会改变刚度发生转折的临界载荷值，随着接触角的增加临界载荷为非线性上升趋势.

3) 水平、垂直刚度受临界载荷的影响是不同的，接触角在垂直和水平的分量的不同导致垂直和水平刚度的不同，但二者具有相关性：接触角在小于45°，随着接触角的增大，导轨副垂直刚度增大而水平刚度则减小，并且垂直刚度的临界载荷和水平刚度的临界载荷向一起靠拢. 相反，在接触角大于45°，随着接触角的增大，水平、垂直刚度相互分离.

4) 通过分析可知，直线导轨副的滚摆扭转刚度比偏航和俯仰2个扭转刚度小得多. 直线导轨在运行和受载时，更容易发生滚摆扭转，这与实际感知情况是吻合的. 另外，滚动导轨的偏航扭转刚度和俯仰扭转刚度的数值基本是相同的.