基于统计学规律的机床导轨接合面接触模型研究*

导轨副是高精度机床进给系统的核心部件，对机床进给精度及其保持性起着决定性作用，所以提高导轨精度对机床精度的要求有关键性影响［1］。影响导轨副精度及其保持性的因素有很多，研究人员对此进行了大量的研究。李国伟［2］研究了不同结构形状的导轨对其精度的影响，王惠祖［3］通过实验研究了不同材料对导轨副精度的影响，罗志刚［4］通过对导轨表面加工工艺的研究，分析了不同加工方法对导轨精度的影响。这些研究主要是从宏观角度出发分析导轨精度的影响因素，并没有能够从根本上解释导轨本身对其精度的影响。实际上，导轨的表面几何形貌是研究导轨接触与摩擦问题的基础，在导轨接触过程中对导轨接合面接触性质和摩擦磨损状态有很大的影响。本文作者依据实验结果，采用细观分析与统计分析相结合的方法建立了导轨表面形貌的数学模型及接合面的静态接触模型，并数字仿真分析了导轨表面形貌对接触参数的影响。

1 实验过程与数据采集

采用Taylor Hobson粗糙度轮廓仪对机床导轨试件进行实验测试，运用Ultra软件通过计算机对粗糙度轮廓仪进行控制。通过对测量数据的采集处理，得到导轨表面的形貌及其评定参数。

1.1 系统结构与测量原理

Taylor Hobson粗糙度轮廓仪由二维工作台、三维工作台，测量指针、传感器、驱动电机、立柱、测量电路等结构组成，如图1所示。

图1 Taylor Hobson粗糙度轮廓仪
Fig 1 Taylor Hobson roughness profilometer

测量前，使测定机的前端测量指针通过传感器进行标定。测量时，通过输入指令的控制，使测量指针在工件的表面进行移动。在运动的过程中，工件表面的凹凸不平变化使测量指针随着表面波浪形运动，这种变化通过和测量指针连接的传感器记录，再把这种移动通过电子装置将信号加以放大，最后通过计算机及特定Ultra软件将相关粗糙度的数据或图形输出来，如图2所示。

图2 轮廓仪工作原理框图
Fig 2 Profilometer working principle diagram

1.2 导轨试件表面形貌测量与实验数据采集

实验采用的是Taylor Hobson粗糙度轮廓仪，是接触式测量。Taylor Hobson粗糙度轮廓仪的主要技术参数如下:

(1)触针尖端半径为2 μm;

(2)分辨率为0.1 μm;

(3)触针范围为0.1～60 mm。

试件取自机床滑动导轨的一部分，导轨试件的规格为50 mm×50 mm×15 mm，如图3所示，材质为经过淬火磨削的HT300。实验中将试件固定于工作台上，经过对仪器的标定，将导轨试件设定为4个待测点。所用工作台为三维工作台，将工作台用螺钉固定于操作台上，调整试件的位置，使其方便测量。测量时，依次对如图3所示的4个待测点进行测量，且要避开导轨表面明显的缺陷，以便能得到合理的实验数据，能够正确表征导轨表面形貌。

图3 试件的规格
Fig 3 Dimension of guideway specimen

图4(a)、(b)示出了测试点1在实验过程中，根据实验结果拟合的导轨试件三维表面形貌及提取的二维表面轮廓曲线。

图4 测试点1处拟合三维表面形貌及提取的轮廓曲线
Fig 4 3D fitting surface topography(a)and extracted twodimensional profile curve(b)at test point 1

表1 表面形貌评定参数
Table 1 Assessment parameters of the surface topography

三维表面形貌数据采样参数设置如下:x、y方向的测量长度均为0.5 mm，x方向的测量间隔为5 μm，y方向测量间隔为25 μm，测量速度为0.5 mm/s。实验测量部分结果如表1所示。其中，Sku为表面高度分布的峭度;Sq为均方根偏差;Spc为算术平均峰高曲率;Spd为表面凸峰密度。

2 导轨统计学模型的建立

要对导轨表面形貌进行研究，建立导轨接合面接触的统计学模型，首先要考虑导轨表面的细观形貌。根据对导轨表面形貌进行的统计学表征，建立了导轨表面形貌的统计学模型及结合面的接触模型。

2.1 导轨表面形貌统计学的表征

导轨表面在微观尺度上是粗糙的，实际接触面积只是部分微凸体接触的面积，所以实际接触面积只占名义接触面积的一小部分。描述表面形貌3个最重要的参数是表面微凸体高度分布函数、微凸体在表面分布的概率密度及微凸体曲率半径。

根据实验结果可知;

所以粗糙表面微凸体的高度分布服从Gauss分布，即为正态分布［5］:

微凸体分布密度及微凸体曲率半径［6］计算公式为:

式中:g(z)为微凸体高度分布概率密度函数;σ为微凸体高度分布函数的标准偏差;σ'为均方根斜率;σ″为均方根曲率;η为凸峰分布密度;R为微凸体的等效半径。

由实验结果可知Sq即为表面形貌粗糙度均方根值，且

则粗糙表面微凸体的高度分布函数为:

微凸体半径为:

表面凸峰分布密度为:

所以导轨的表面是由半径为R的微凸体、高度分布为g(z)函数以及微凸体面积密度为η构成的粗糙表面。

2.2 导轨结合面的接触模型建立

导轨表面形貌微凸体高度分布服从Gauss分布，根据经典G－W模型［7］的假设，实际接触的两粗糙表面等效为一理想刚性平面与一粗糙表面接触，研究导轨接合面的接触性质即是研究一粗糙面与一刚性平面的接触性质，导轨接触的细观形貌就等效为图5。

图5 导轨粗糙表面简化模型
Fig 5 Simplified model of the rough surface

根据Hertz接触模型［8］，单个峰的接触有:

式中:ae为Hertz模型接触面积;pe为接触载荷;d为刚性平面与微凸体高度基准面的距离;δ为微凸体的变形量，且δ=z－d;E'为复合弹性模量。

E1，E2和ν1，ν2分别代表两接触体的材料的弹性模量和泊松比。

于是，高度为z的粗糙峰接触的概率为

若有N个凹凸峰，则实际接触的微凸体期望值为:

其中N=ηAa，n为实际接触微凸体期望个数，Aa为名义接触面积。

由式(4)、(5)可知微凸体实际接触面积与接触载荷分别为

3 导轨接触模型数字仿真计算

为了能够利用所建立的粗糙表面接触统计模型［9］，清楚地认识实际接触微凸体数量、接触面积及载荷变化规律，这里将式(1)、(7)、(8)和(9)分别进行量纲一化，其结果分别如下:

其中:

式中:g*(z*)为量纲一化概率密度;n*为微凸体的量纲一化期望值;z*为凸峰量纲一化高度;d*为刚性平面与微凸体基准面量纲一化间距。

由表1的表面评定参数可知，取η=190 mm－2，R=43.05 μm，σ=1 μm，ν1=ν2=0.27，E1=E2=1.55×105MPa，给定量纲一化间距d*为 ［0，5］。

运用Matlab软件分析导轨接触面与微凸体基准面间距与接触点数、接触面积、接触载荷之间的变化关系。结果如图6所示。

图6 微凸体间距对接触点数、接触面积、接触载荷的影响
Fig 6 Effect of asperity spacing on asperity number(a)，contact area(b)and contact load(c)

由仿真结果可知:

(1)导轨结合面的接触值随着间距的减小而增大，实际发生接触的微凸体数量随着两表面间距的减小呈线性增长，且与接触面积没有太大的联系。

(2)真实接触面积仅占名义面积的一部分，实际受力面积与施加载荷随着距离的减小而增大;且增长的速率比较小。

(3)接触变形逐渐由弹性变形向弹塑性变形转化，这完全符合实际弹塑性接触理论。

4 结论

运用Taylor Hobson粗糙度轮廓测量仪测量了导轨的表面形貌数据，获得了其形貌评定参数，在此基础上建立了导轨表面形貌及接合面间的统计学数学模型。此数学模型反映了导轨表面形貌的分布规律及结合面间的变形机制，对于研究其表面的摩擦行为具有重要意义。依据导轨的表面形貌建立的导轨接合面接触模型，更加符合实际，对导轨的摩擦磨损研究提供了理论基础。