摘 要：无折边锥壳在外压作用下不仅要满足自身强度和稳定性要求，还需对其大小端连接处进行加强设计和稳定性校核。基于ASME Ⅷ-1第一强度理论对无折边锥壳的加强设计原理进行了简单的理论介绍，并重点基于有限元法从应力分析的观点得出：随半锥角的增大，外压稳定性先增大后减小；增加筒锥厚度可显著提高外压稳定性；大小端筒体内径比的变化对外压稳定性无显著影响。另外，加强圈设置在最大周向压缩应力值处可显著提高外压稳定性。
关键词：无折边锥壳；加强设计；稳定性校核；有限元法
0 引言
锥壳作为压力容器的一个受压元件，需具备一定的承受外压的能力。外压作用下锥壳的失效方式：一是因压缩强度不足造成的压缩破坏；二是因刚度不足而丧失稳定性[1]。对于圆筒与锥壳连接结构(筒锥结构)，连接处的不连续性产生了较大的、需满足变形协调条件的附加边缘应力，且处于一个复杂的应力状态。因而不仅需要对其自身稳定性校核，还需要对筒锥连接处的强度和稳定性进行校核[2]。已有国外学者[3]从试验的角度对外压锥壳稳定性的理论进行了一定的验证，并有研究发现有限元法屈曲稳定分析与实际结果有比较好的一致性[4]。因而，本文基于ASME Ⅷ-1和有限元法对无折边锥壳在外压作用下的加强设计及稳定性进行了一定的理论、应力及屈曲失稳分析。
1 外压无折边锥壳加强设计分析
外压无折边锥壳筒锥连接处的应力状态：几何形状的突变，导致在大小端筒锥连接处均引起横剪力和附加弯矩，继而产生边缘应力与外压作用下锥壳的薄膜应力形成叠加或抵减效应，导致较大的局部应力[5]。前人基于有力矩理论并由外压引起的不连续力的平衡分析(见图1)得出筒体上包括边缘应力在内的总应力[6]。
图1 外压引起的不连续力简图
(1)锥壳大端筒体轴向应力和周向应力分别为：
其中：
式中 Nx——轴向压缩力
Q——由风载、自重等所引起的轴向力
对比分析σl和σθ可知，按最大主应力进行设计时，是由轴向压缩应力起决定作用，因而需将其限制在大端筒体最大压缩应力
之内，若超出最大许用压缩应力，则应在锥壳和圆筒连接处设置加强圈增加加强面积以承受过大的轴向压缩应力。加强圈所需截面积为：
其中：
若A>0，则表示可能出现的轴向最大压缩应力超过，而需要设置加强圈以增加加强面积承受过大的轴向压缩应力；反之，则不需要增加加强面积。
(2)锥壳小端筒体轴向应力和周向应力分别为：
对比分析σl和σθ可知，按最大主应力进行设计时，是由周向压缩应力起决定作用，同理得到加强圈所需截面积为：
若A>0，则表示可能出现的轴向最大压缩应力超过
,而需要设置加强圈以增加加强面积承受过大的轴向压缩应力；反之，则不需要增加加强面积。
2 外压无折边锥壳稳定性分析
2.1 有限元模型
图2 筒锥结构示意
对于筒锥连接结构，除需按上述进行加强设计，以校核加强面积是否能够承受最大轴向和周向压缩应力以外，还需校核是否有足够的惯性矩以保证在压缩应力作用下不致产生周向失稳。为更好地对外压锥壳的稳定性有直观的认识，本节以一圆筒与锥壳连接结构(见图2，半锥角α=15°～60°)建立有限元模型。模型采用Shell 181壳单元，六面体网格划分，施加相应的载荷约束和位移约束边界条件(见图3)，对外压作用下筒锥结构的周向应力分布规律及稳定性进行了分析。
图3 有限元模型网格划分及边界条件
2.2 外压作用下筒锥结构周向应力分布规律
由上述可知，边缘应力与外压产生的薄膜应力产生叠加或递减效应，是强度设计和稳定性校核的控制因素，边缘应力则是由于几何形状的突变(DL、DS及t)而为满足薄膜变形连续性产生的一组自平衡力系。外压锥壳的稳定性最终是由周向压缩应力决定的。因而，通过有限元法得出筒锥结构大端连接处及小端连接处的周向应力在本文计算参数范围内随半锥角变化、筒锥厚度变化及大小端筒体内径比变化的分布规律并进行一定的理论分析。
2.2.1 半锥角变化对周向应力分布的影响
半锥角变化是导致筒锥结构几何形状突变的一个重要因素，因而在筒锥厚度及大小端筒体内径比保持不变的条件下，通过改变半锥角得出筒锥结构周向应力分布规律(见图4)。
由图4可知，锥壳大端连接处周向压缩应力急剧减小，且随半锥角的增大，周向压缩应力值逐渐减小，甚至逐渐变为周向拉伸应力(半锥角为45°时)；在锥壳小端连接处，周向压缩应力并没有发生急剧的突变，而是随着锥壳半径的增加而逐渐增大，在距锥壳大端连接处约250 mm处周向压缩应力值达到最大，且最大值随半锥角的增大而增大。分析认为：由于锥壳大端连接处产生了二次弯曲应力，外压作用使得大端径向拉伸，产生附加的周向拉伸应力抵消部分周向压缩应力，进而使得周向压缩应力减小，且随半锥角增大，结构不连续性增大，造成附加的周向拉伸应力增大，甚至大于外压作用产生的一次薄膜周向压缩应力值，因而在半锥角增大到一定程度时出现了周向拉伸应力。锥壳小端连接处在外压作用下出现径向压缩，产生附加的周向压缩应力，进而使小端周向压缩应力值随锥壳半径的增加而逐渐增大。
图4 半锥角变化对筒锥结构经线方向的
周向应力分布的影响
2.2.2 筒锥厚度变化对周向应力分布的影响
厚度的不同亦会导致薄膜变形的不同，因而在半锥角及大小端筒体内径比保持不变的条件下，通过改变筒锥厚度t=5，10，20 mm(即DL/t=400，200，100)，得出大端筒体、锥壳及小端筒体周向应力随筒锥厚度变化的分布规律(见图5)。
由图5可知，筒锥结构在大小端连接处的变化趋势与图4相同，即锥壳大端连接处周向压缩应力急剧减小，甚至逐渐变为周向拉伸应力，且厚度越小，周向拉伸应力越大；在锥壳小端连接处，周向压缩应力并没有发生急剧的突变，且厚度越小周向压缩应力越大，同样在距锥壳大端连接处约250 mm处周向压缩应力值达到最大，且最大周向压缩应力值随厚度增大而减小。分析认为：由于筒锥厚度的变化仅仅导致连接处抗弯截面模数的变化，即筒锥厚度越小，连接处抗弯截面模数越小，则由二次弯曲应力产生的附加周向拉伸应力或周向压缩应力越大。因而，筒锥厚度的变化并不会影响周向应力的分布规律，而仅仅会造成周向应力值大小的不同。
图5 厚度变化对筒锥结构经线方向的
周向应力分布的影响
2.2.3 大小端筒体内径比变化对周向应力分布的影响
在半锥角及筒锥厚度保持不变的条件下，通过改变小端筒体内径DS=250,500,1000 mm(即DL/DS=8，4，2)，得出大端筒体、锥壳及小端筒体周向应力随大小端筒体内径比变化的分布规律(见图6)。
图6 大小端筒体内径比变化对筒锥结构经线方向的
周向应力分布的影响
由图6可知，锥壳在大小端连接处的变化趋势与上述相同，不同的是在大端连接处周向拉伸应力几乎没有变化，小端连接处则随小端筒体内径的增大，周向压缩应力越大，而最大周向压缩应力变化很小。分析认为：由于大端筒体内径和半锥角角度都未改变，由外压产生的周向压缩应力和结构不连续产生的二次弯曲应力引起的附加周向拉应力均未发生较大改变，因而在大端连接处总的周向应力和靠近大端连接处的最大周向压缩应力几乎未发生改变；在小端连接处，随小端筒体内径的增大，由外压产生的周向薄膜压缩应力逐渐增大，而二次弯曲应力引起的附加周向压缩应力几乎未改变，因而总的周向压缩应力也随之增大。
2.3 外压作用下筒锥结构失稳分析
采用特征值屈曲分析方法进行失稳分析，且不考虑任何非线性，因而其解为屈曲载荷的上限[7]。虽采用特征值屈曲分析得到的失稳临界载荷较实际临界载荷大，但不会影响解的变化规律[8]。由于本节的重点在于特征值解的变化规律，而不是侧重于解的精确性。因而采用特征值屈曲分析研究临界失稳载荷在本文计算参数范围内的变化规律并与上述周向应力的分布规律进行对比验证。
2.3.1 半锥角变化对失稳临界载荷的影响
不同半锥角条件下，筒锥结构一阶屈曲失稳模态云图见图7～10。
由图7～10可知，半锥角α=15°，30°，45°，60°时的失稳临界载荷分别为1.5057,2.7046,3.0696和2.6773 MPa(模拟施加的外压为0.1 MPa)。随半锥角α的增大，锥壳轴向长度逐渐缩短，而其失稳临界载荷在α=15°～45°区间内先逐渐增大，后在α=45°时开始逐渐减小。分析认为，锥壳轴向长度的缩短对锥壳外压稳定性起到两种相反的作用：一方面随锥壳轴向长度的缩短，锥壳受大小端支撑线的边缘约束作用越强，与上述图4从压缩应力角度分析的观点一致，即在大端连接处，因结构不连续性加剧产生的附加周向拉伸应力导致周向压缩应力逐渐减小，有利于提高大端连接处的外压稳定性；在小端连接处，附加的周向压缩应力随轴向长度的缩短而减小，总的周向压缩应力也减小，有利于提高小端连接处的外压稳定性。另一方面，锥壳半锥角的增大，对锥壳外压稳定性有削弱作用，与上述锥壳上最大周向压缩应力值随半锥角的增大而增大的观点一致。文献[9]的研究结果也表明：半锥角增大到一定值时，锥壳大小端的边缘约束加强作用逐渐减弱，而其对锥壳的削弱作用则不断增强，会导致其外压失稳临界载荷开始减小。综上所述，筒锥结构的外压稳定性取决于其大小端约束加强与锥壳削弱的叠加作用。
图7 半锥角α=15°时屈曲失稳模态云图
图8 半锥角α=30°时屈曲失稳模态云图
图9 半锥角α=45°时屈曲失稳模态云图
图10 半锥角α=60°时屈曲失稳模态云图
2.3.2 筒锥厚度变化对失稳临界载荷的影响
不同筒锥厚度条件下，筒锥结构一阶屈曲失稳模态云图见图11～13。
图11 DL/t=400时屈曲失稳模态云图
图12 DL/t=200时屈曲失稳模态云图
由图11～13可知，不同筒锥厚度下DL/t =400，200和100时的稳临界载荷分别为0.51837，3.0696和19.267 MPa。随筒锥厚度t的增大，失稳临界载荷显著增大，即外压稳定性得到显著增强，与上述最大周向压缩应力随厚度t的增大而显著减小的结论相一致。
图13 DL/t=100时屈曲失稳模态云图
2.3.3 大小端筒体内径比变化对失稳临界载荷的影响
大小端筒体内径比变化后(半锥角及筒锥厚度保持不变)筒锥结构的一阶屈曲失稳模态云图见图14～16。
图14 DL/DS=8时屈曲失稳模态云图
图15 DL/DS=4时屈曲失稳模态云图
图16 DL/DS=2时屈曲失稳模态云图
由图14～16可知，在大小端筒体内径比为DL/DS=8，4，2时的失稳临界载荷分别为2.7835，2.6092和3.0696 MPa。失稳临界载荷先轻微减小再增大，与上述最大周向压缩应力变化很小的结论也一致。分析认为：此处失稳临界载荷的变化规律是由于随着DL/DS的增大，锥壳的轴向长度逐渐缩短，当DL/DS=4时锥壳受大小端支撑线的边缘约束加强作用大于锥壳的削弱作用，因而失稳临界载荷较小，而当DL/DS=2，锥壳轴向长度继续缩短后，锥壳受大小端支撑线的边缘约束加强作用小于锥壳的削弱作用，因而失稳临界载荷开始增大。
2.4 外压加强圈对筒锥结构稳定性的影响
通常，外压容器采用设置加强圈的方法来提高承受失稳的能力，加强圈位置的不同对提高壳体稳定性的能力则不同[10-11]。由上述的应力和屈曲失稳模态分析可知，在各参数发生变化的情况下，筒锥结构周向应力的分布规律并未发生改变，周向压缩应力值在大端筒体和锥壳上各有一个极值点，但锥壳上的压缩应力值始终大于大端筒体上的周向压缩应力值，即最大周向压缩应力值始终位于锥壳上(总是锥壳先出现失稳)，且在距锥壳大端连接处较近的一个位置处。本节主要验证加强圈位于锥壳大小端及位于锥壳上时(最大周向压缩应力值处，前述分析可知，此模型为距锥壳大端连接处约250 mm)对筒锥结构外压稳定性的提高作用(图17,18)。
由图18可看出，当加强圈位于锥壳大小端时，锥壳的失稳临界载荷为3.3077 MPa，较无加强圈时的3.0696 MPa并没有太大的增加，锥壳外压承载能力没有得到显著的提高；而当加强圈位于锥壳上时，大端筒体优先出现失稳现象，失稳临界载荷提升到5.7915 MPa，锥壳的外压承载能力得到了显著提高。由图17可看出，周向应力分布规律分析可知：加强圈位于大小端时，锥壳上的周向压缩应力值在约250 mm之前较无加强圈时的值略微有些增大，但无显著的提高，且最大压缩应力值几乎没有变化，与屈曲失稳模态临界载荷没有显著提高的结论相一致；加强圈位于锥壳上时，锥壳上的周向压缩应力值在250 mm左右范围内显著减小约2倍，使得最大周向压缩应力值比大端筒体上的值小很多，因而锥壳的外压承载能力得到显著提高，且大端筒体先出现失稳现象。综上可知，在锥壳大小端设置加强圈并不能显著提高锥壳的外压稳定性，而在锥壳上距大端一定距离内(最大周向压缩应力值处)设置加强圈则是显著提高锥壳外压稳定性的最佳位置。
图17 加强圈位于大小端及锥壳上时经线方向的
周向应力分布
(a)
(b)
图18 加强圈位于大小端及锥壳上时屈曲失稳
模态云图
3 结论
本文基于ASME Ⅷ-1及有限元方法，对本文计算参数范围内筒锥结构的加强设计和稳定性进行了一定的理论、应力及失稳屈曲分析。
(1)外压无折边锥壳大端的加强设计由轴向压缩应力决定，而锥壳小端的加强设计则是由周向压缩应力决定的，需将其限制在许用压应力以内保证强度。
(2)随半锥角的增大，外压稳定性先增大后减小；增加筒锥厚度可显著提高外压稳定性；大小端筒体内径比的变化对外压稳定性无显著影响。
(3)锥壳大小端对锥壳外压稳定性有一定加强作用，且随半锥角的增大，加强作用的程度逐渐减弱，而由于锥壳轴向长度的缩短导致对锥壳自身削弱作用的程度则增加，因而其外压稳定性最终取决于两者的叠加作用。
(4)加强圈设置在锥壳大小端连接处时，并不能显著提高其外压稳定性；而当加强圈设置在距锥壳大端一定距离内时(最大周向压缩应力值处)是显著提高其外压稳定性的最佳位置。
